罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用

1、罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用 第3章 中值定理与导数的应用 内容概要 名称 3.1 中值 定理 名称 罗尔中值定理 主要内容（3.1、3.2） 条件 （1）在a,b上连续；（2）在(a,b)y?f(x)：内可导；（3）结论 至少存在一点?(a,b)使得f(a)?f(b) f/()?0 至少存在一点拉格朗日中值定理 柯西中值定理 （1）在a,b上连续；（2）在(a,b)y?f(x)：内可导 ?(a,b) 使得f/()?f(b)?f(a)b?af(x)、g(x)：（1）在a,b上连续，在(a,b)内可导；（2）在(a,b)内每点处g/至少存在一点?(a,b) 使得(x)?0

2、 f/()f(b)?f(a)?b?ag/()3.2 洛必达 法则 基本形式 00型与?型未定式 ?通分或取倒数化为基本形式 0?型或型； 0?0?2）0?型：常用取倒数的手段化为型或型，即： 0?00?0?或0?； 1/?01/0?1）?型：常用通分的手段化为1）0型：取对数得000取对数化为 基本形式 ?e0?ln0，其中0?ln0?0?； 1/0?00?1/?0或0?ln0?0?2）1型：取对数得1?e?ln1， 00? 1/?0?； 或?ln1?0?1/0?其中?ln1?0?3）?型：取对数得?00?e0?ln?， 00? 1/?0?。 或0?ln?0?1/0? 其中0?ln?0?课后习

3、题全解 习题3-1 1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值 ?。 （1） f(x)?2x2?x?3,?1,1.5； （2） f(x)?x3?x,0,3。 知识点：罗尔中值定理。 思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程f/()?0，得到的根便为所求。 2解：（1）f(x)?2x?x?3在?1, 1.5上连续，在(?1,1.5)内可导，且f(?1)?f(1.5)?0， 得?1?0f(x)?2x2?x?3在?1,1.5上满足罗尔定理的条件。令f?()?4? （2） 1?(?1,1.5)即为所求。 4f(x)?x3?x在0,3上连续，在(0,3)内可导，且f

4、(0)?f(3)?0， f(x)?x3?x在0,3上满足罗尔定理的条件。令 ?0，得?2?(0,3)即为所求。 23?f?()?3?2.验证拉格朗日中值定理对函数 y?4x3?5x2?x?2在区间0,1上的正确性。 f(1)?f(0)1则，若得到的根?0,1?032知识点：拉格朗日中值定理。 思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程f?()?可验证定理的正确性。 1连续，在(0,1)内可导，y?4x?5x?x?2在解：y?f(x)?4x?5x?x?2在0,1上满足拉格朗日中值定理的条件。又区间0,f?(?)?32f(1)?2,f(0)?2，f?(x)?12x2?10x?1， 要使 f(

5、1)?f(0)5?13?0，只要：?(0,1)， 1?012?f(1)?f(0)5?13?(0,1)，使f?()?，验证完毕。 1?0123.已知函数 f(x)?x4在区间1,2上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的33。 解：要使 的?。 f(2)?f(1)15153f?()?，只要4?15?，从而?(1,2)即为满足定理 2?1444.试证明对函数 y?px2?qx?r应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间。 证明：不妨设所讨论的区间为a,b，则函数y?px2?qx?r在a,b上连续，在(a,b)内可导，从 而有 f(b)?f(a)(pb2?qb?r)?(pa2?qa?

6、r)f?()?，即2?q?， b?ab?a解得?b?a，结论成立。 25.函数 f(x)?x3与g(x)?x2?1在区间1,2上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满 足定理的数值。 知识点：柯西中值定理。 思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程 f?()f(b)?f(a)?，得到的根?g()g(b)?g(a)便为所求。 解：f(x)?x3及g(x)?x2?1在1,2上连续，在(1,2)内可导，且在(1,2)内的每一点处有 g?(x)?2x?0，所以满足柯西中值定理的条件。要使 得f?()f(2)?f(1)327?，只要?，解 g?()g(2)?g(1)23?14?(1,2)， 9

7、即为满足定理的数值。 6.设 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(1)?0。求证： 存在?(0,1)，使f?()?f()。 知识点：罗尔中值定理的应用。 思路：从f()?/f()结论出发，变形为 f/()?f()?0，构造辅助函数使其导函数为 f/(x)x?f(x)， 然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常 用的方法。 证明：构造辅助函数f(x)?xf(x)，f?(x)?f(x)?xf?(x) 根据题意f(x)?xf(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(1)?1?f(1)?0， f(0)?0?f(0)?0，从而由罗尔中值定理得：存在?

8、(0,1)，使 f?()?f?()?f()?0，即f?()?f()。 注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使f?(x)?f(x)，只要 x f?(x)1xf(x)?lnf(x)?lnx?lnxf(x)?0?0?xf(x)?0 f(x)xxf(x)?xf(x) 只要设辅助函数f(x)7.若函数 f(x)在(a,b)内具有二阶导函数，且f(x1)?f(x2)?f(x3) (a?x1?x2?x3?b)，证明：在(x1,x3)内至少有一点，使得f?()?0。 知识点：罗尔中值定理的应用。 思路：连续两次使用罗尔中值定理。 证明： f(x)在(a,b)内具有二阶导函数，f(x)在x1,x2、

9、x2,x3内连续， 在(x1,x2)、(x2,x3)内可导，又 f(x1)?f(x2)?f(x3)， 由罗尔定理，至少有一点1?(x1,x2)、2使得 ?(x2,x3)， f?(1)?0、f?(2)?0；又f?(x)在1,2上连续，在(1,2)内可导， (x1,x3)，使得f?()?0。 从而由罗尔中值定理，至少有一点?(1,2)?8.若4次方程 a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a4?0有4个不同的实根，证明： 4a0x3?3a1x2?2a2x?a3?0 的所有根皆为实根。 知识点：罗尔中值定理的应用。 思路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。 证明：令f(x)?a0x4?a1x3?a

10、2x2?a3x?a4 则由题意，又 f(x)有4个不同的实数零点，分别设为x1,x2,x3,x4， f(x)在x1,x2、x2,x3、x3,x4上连续，在(x1,x2)、(x2,x3)、(x3,x4)上可导， f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)?0， 由罗尔中值定理，至少有一点1?(x1,x2)、2使得 ?(x2,x3)、3?(x3,x4) f?(1)?f?(2)?f?(3)?0，即方程4a0x3?3a1x2?2a2x?a3?0至少有3个实根，又 三次方程最多有3个实根，从而结论成立。 9.证明：方程 x5?x?1?0只有一个正根。 知识点：零点定理和罗尔定理的应用。 思路：讨论某

11、些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来 讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。 解：令f(x)?x5?x?1，f(x)在0,1上连续，且f(1)?1?0，f(0)?1?0， 由零点定理，至少有一点假设x则 5?(0,1)，使得f()?5?1?0； ?xl 知识点：罗尔中值定理的应用。 思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。 解： f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)在1,2、2,3、3,4上连续， 在(1,2)、(2,3)、(3,4)内可导，且由罗尔中值定理，至少有一点1使得 f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?0， ?(1,2)、2?(2,3)、3?(3,4)， f?(1)?f?(2)?f?(3)?0，即方程f?(x)?0至少有三个实根， f?(x)?0为三次方程，至多有三个实根， 又方程 f?(x)?0有3个实根，分别为1?(1,2)、2?(2,3)、3?(3,4)。 11.证明下列不等式： （1） arctana?arctanb?a?b ； （2） 当 x?1时，ex?ex ； 。 （3） 设