数学精神与方法

1、数学精神与方法第一讲从数学是什么谈起数学是什么 历史的理解数学是人类文化中历史最悠久的知识领域之一，是人类文明的一个重要组成部分。从远古曲指计数到借助高速电子计算机进行大型科学计算，从勾股定理的发现到抽象公理化系统的产生，数学经过了五千余年的发展演变历程。即使作为一门独立而理性的学科，她也有两千五百年的历史了。与其他学科领域相比，数学的发展具有很强的累积性。数学正是经过这种发展的长期累积过程才铸就出今天这般宏大的思想理论体系。数学常常被人们比喻成一棵茂密的大树，她包含着并且正在生长出越来越多分枝。按照美国数学评论（mathematical reviews ）的分类，当前数学学科包含60 多个二

2、级学科， 400 多个三级学科，更细的分科难以统计。可以说，数学历经五千余年的累积演进，已经发展成为适用面最广泛、应用功能最强大的学科；而且，她还是人们最信得过的学科之一，被称作科学的基础。公元前 6世纪以前，数学主要是关于 “数 ”的研究，主要是计数、初等算术与算法，而几何则只能看作是应用算术。这一历史阶段，数学在古埃及、巴比伦、印度与中国等地区得到率先发展。从公元前6 世纪开始，数学在希腊蓬勃兴起并得到空前发展。希腊人主要对几何感兴趣，突出了对 “形 ”的研究；他们当然也没有忽略对“数 ”的研究，但却将“数 ”放在了几何的形式下去考察（只有少数例外，如丢番图）。从那时起，一直到17 世纪，

3、数学的研究对象是数与形 静止的、常量的数与形；而且，两千两百年间数学的研究对象没有本质的变化。数学于是成为了关于数与形的学问。亚里士多德（ aristotle , 384 322bce ）“数学是量的科学。”笛卡尔（ r. descartes, 1596-1650）“凡是以研究顺序（order）和度量（ measure）为目的的科学都与数学有关。”由笛卡尔、费马（p. de fermat, 1601-1665 ）开创的解析几何学，为数学乃至整个科学树起了一座划时代的里程碑，数学从此由常量时代进入了变量时代 这标志着数学发展迈入了近代数学时期。微积分的创立无疑是 17 世纪数学最为重要的成就，

4、也是科学发展史上最重大的事件之一。 由牛顿（ isaac newton, 1642-1727 ）和莱布尼兹（ gottfried wilhelm leibniz, 1646-1716 ）所制定的微积分，本质上就是关于运动与变化的数学，它使科学家们能够以数学为工具去深入研究行星运动、机械运动、流体运动以及动植物生长等等。因此，数学在牛顿和莱布尼兹生活的时代已经成为研究数与形、运动与变化的学问。数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。然而，就在恩格斯所在的19 世纪，数学家不仅仅研究现实世界中的数学对象，而且开始关注并研究数学自身的大量基础性问题，而这类问题 以数学自身的协调、完备以及模式化

5、为目的 只是出于使数学自身达到完美与统一的需要。从 19 世纪后期开始，数学成为了研究数与形、运动与变化以及数学自身问题的学问，而且数学理论的论述呈现以公理化倾向为特征的规范形式。从此， 数学发展进入了所谓现代数学阶段。这种对数学自身问题的研究，实现了数与形的统一，促成了数学与逻辑的融合，开辟了全新而广阔的数学发展空间和应用领域，从根本上刷新了人类的数学观念。康托尔（ g. cantor 1845-1918 ）“数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维。就是说，它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系。”罗素（ b. russell, 1

6、872-1970 ）“数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。 ”20 世纪初，英国哲学家兼数学家罗素（b. russell, 1872-1970 ）给数学下了如下一个定义：1“ 粹数学完全由 一 断 成，假定某个命 某些事物成立， 可推出另外某个命 同 些事物也成立。 里既不管第一个命 是否成立，也不管使此命 成立的那些事物究竟是什么， 。只要我 的假定是关于一般事物的，而不是关于某些特殊事物的，那么我 的推理就构成 数学。 ，数学可以定 一 学科，我 永 不知道其中所 的（事物）是什么，也不知道所 的内容（断 ）是否正确。 ” 数学是什么？2

7、0 世 80 年代，一批美国学者将数学 地定 关于“模式 ”的科学：“数学 个 域已被称作模式的科学，其目的是要揭示人 从自然界和数学本身的抽象世界中所 察到的 构和 称性。 ”搜索并揭示 藏模式的 程是在交 着 多 立面的斗争中 行的， 些 立面是：具体与抽象、特殊与一般、有限与无限、离散与 、算法的与存在的、随机的与决定 的、精确的与近似的，等等。正是 些 立面的相互作用、反复 合并在更高 面上达成 一，在不停地推 着数学的 造、更新和 用，在生 地体 着数学理 的思想脉搏和蓬勃生机。因此， 些 立 一因素构成了数学科学 展的基本要素，理 在数学教育中作 通 知 加以系 地 。数学是抽象的

8、， 追求精确性和可靠性 随着数学家开 模式的范 自然地、 无限制地 到任何 域中去，数学的 史 界已完全消失，同 数学 用的 界也没有了： 代数学不再只是自然科学和工程技 域（如物理学、化学、生物学、生 学、各种工程 和控制技 等）的 言，它与 算机相 合已 成 众多行 和部 （如 行 、制造 、医 、 与 部 、信息 理与信息安全部 等）以及社会科学 域（如 学、社会学、 史学、心理学、考古学、 言学等）必不可少的工具。“知道重大 明特 是那些 非偶然的 深思熟 而得到的重大 明的真正起源是很有益的。 不 在于 史可以 每一位 明者以 有的 价，从而鼓舞其他人去争取同 的荣誉，而且 在于通

9、一些光 的范例可以促 的 ，揭示 的方法。 ” 希 伯特（ d. hilbert , 1862-1943 )“数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力正是在于各个部分之 的 系。 ” “凡服从于科学思 的一切知 ，只要准 展成一 理 ，就必然要受公理化方法的支配，受数学的支配。”数学精神与方法第二 有限无限 横 （一） 2.1从自然数 起? 于今日受 初等教育的人，数学最明 的出 点就是自然数序列：0， 1， 2， 3， 个我 如此 的数学概念，形成却很慢， 在文明的高 段，我 才能以其 本，作 我 考察数学的起点。?如果 ：自然数是什么 ? 可就不那么容易回答了。事情 到根上，看起来 的 反

10、而 以回答。皮 的自然数公理系 ?三个基本概念：0，数，后 ?五条公理：?0 是一个数。?任何数的后 是一个数。?若两个数不同， 它 的后 也不同。?0 不是任何数的后 。?数学 法原理。2数学 法原理?如果每个数n 都 有一个命 p(n)，又如果（ 1） p(0) 真，（ 2）假若 p(n) 真， 必有 p(n+1) 真，那么 所有的数 n ， p(n) 都真。?注：数学 法原理是我 从有限通向无限的 梁。关于0、数、后 皮 所 的 “数 ”是指所有自然数所构成的 ，即指包括0 在内的自然数全体；他没有假定我 知道 中的所有分子， 假定当我 个或那个是一个数 ，我 知道我 所指的是什么。?皮

11、 以 “后 ”来代表从数到数的一种 ， 种 是一 一的，是一部以数造数的机器 一个合适的起始数，潜在地，就足以造出数的全体。? 个合适的起始数只有一个，那就是“ 0。”?“ 0”、“数” 、“后 ”是不加以定 的原始概念，它 的性 全由皮 的五条公理所界定和描皮 的自然数公理系 将 典数学“算 化 ”做到了最后完善的地步?从皮 的公理系 出 ， 可以建立起完整的算 理 可以定 数的加法、 乘法和大小关系，可以 明已有的所有算 果。当然，完成 一切 需要加上一些 的概念和命 。?算 理 是分析数学的基 ，是整个 典数学的基 ； 点以后会很清楚。看明白 一点很重要?皮 的三个基本概念是 抽象化的，

12、只有形式，没有内容，可以允 多种解 。例如，如果“0”表 数代1， “数 ”代表 数列1，0.5，0.25， 而一个数的 “后 ” 定 取 个数的一半，那么 些解 完全可以与皮 的五条公理相容不悖。? 表明 “ 0”、 “数”和 “后 ”不能由皮 的五条公理去定 ，而必 独地去了解。2.2 到 ?“ 一 个数是什么，或者， 1 个符号意 什么， 个 ，人 通常得到的答案是：一个事物。此外，如果人 注意到，一 个数是一个事物 个句子不是定 ，因 它一 是定冠 ，另一 是不定冠 ，如果人 注意到， 个句子只是 1 个数属于事物，而没有 是哪个事物，那也 人 就不得不自己 人 愿意称之 1 的任何一

13、个事物。但是，如果每个人都可以有 任意理解 个名 ，那么关于1 的同一个句子 于不同的人就会意 不同的 西； 的句子就不会有共同的内容。”一个数（自然数）是什么？?或 有人提出，我 不用回答 个 ，因 我 不能定 “ 0”、 “数 ”与“后 ”，也不必假定我 知道 些概念的意 ，不必令它 与通常的意 相符，我 可以 它 代表任何能适 皮 公理的三个概念 它 将是 ，是我 其作出某种假 而此外 无 定的概念。 种方略并不荒 ，它提供一种推广， 于某种目的，确有价 。?但是， 种方略未能 算 奠定一个适当的基 。第一，它不能使我 知道是否确有适合皮 公理的 的集合；它甚至没有略略提示任何方法，以

14、是否有 的 的集合。第二，我 需要我 的数能 数通常的事物，也就是要求我 的数不 具有某种形式的性 ， 具有一种确定的意 。 着 数1 下个定 ?1 个数是所有含一个元素的集合所 成的 个 的集合共 一个特性（含有一个元素），且 一特性 个 中的每个集合所具有。? 里所 “1的定 ”使我 在 上 于一种 境界 正好可用于定 一个特定数目的此数之特性恰恰不能用于定 个数！3启发：单独地、孤立地去定义一个特定数目是行不通的，这在逻辑上会把事情逼到“自己定义自己” 的境界， 因为我们的眼界没有超出此数的本类，即这个数的外延所界定的对象集合的范围。定义数该从何处着手？?“特有 ”，就在于它具有将该数我

15、们必须了解：每个数都有自己的特有属性；特有属性之所以本类的集合与另类的集合区分开的作用 本类的任何两个集合都“具有相等的元素个数 ”，而本类的和另类的集合之间则永不“具有相等的元素个数 ”。?判断两个集合是否“具有相等的元素个数”比定义它们的 “元素个数 ”是什么在逻辑上要简单得多。“具有相等的元素个数”?我们称集合甲与集合乙是“相似 ”的，如果集合甲与集合乙是“具有相等的元素个数”的。?“相似 ”是在集合之间建立起来的一种关系，它具有如下性质：（ 1）每个集合都自己与自己 “相似 ”；（ 2）若甲与乙 “相似 ”，则乙与甲 “相似 ”；（ 3）若甲与乙 “相似 ”，乙与丙 “相似 ”，则甲与

16、丙 “相似 ”。正是基于这些性质， “相似 ”关系可用于将全体集合划分成一个个两两互不相交的集合类若甲与乙 “相似 ”，则甲与乙归于同一个集合类。这种集合类称作“相似类 ”。数的定义? 弗雷格 -罗素说法“相似类 ”。一个集合的数是所有与此集合相似的集合所构成的类，即此集合所在的注：两个集合相似意指这两个集合间存在着双射。?所谓一个数目就是某一个集合的数。评说 “数 ”之弗雷格 -罗素定义?注意下定义的程式：一个集合的数（一个数）数（所有数目）一个相似类所有相似类所有集合因此，数的定义归约到 “集合 ” 、 “相似 ” 和 “分类 ”这三个项 逻辑主义者认为这三项隶属于逻辑范畴，我们权且这样去

17、看。关键点：数的确定性离不开的思维观念?注意，没有集合就没有这里所谓的“数 ”，这里的 “数 ”本质上就是对所有集合给出了一种分类。一个给定的 “数 ”现在之所以是确定的 不允许有多种解释 正在于它的凭借集合构成的类（即相似类）是非空的和唯一的。?在给数下定义时，无论是前面的皮亚诺定义，还是现在的弗雷格-罗素定义，有三个特别的数“ 0”、 “ 1”和 “ 2似”乎必须先验的出现在定义中。事实上，这三个数是人的两种基本思维观念的集中反映：“1与 0”意味着 “有与没有 ” 存在观念，“1与 2”意味着 “相同与相异 ”区分观念。离开这两种基本的思维观念， 我们的意识就退化到几近不存在的境界。 因

18、此，在给数下定义的表述中，先验地出现这三个数的影子我们只好容忍。数与集合的朴素观念?对数的理解离不开对集合和类的理解。? 集合和类，按我们的朴素观念去理解，都是由确定对象所组成的群体。不过，组成集合的对象我们将视作 “不必再分的 ”，故而称作 “元素 ”；而组成类的对象则可以有元素，有集合，甚至还有类。这种朴素的理解，事实上，将“集合 ”和 “类 ”视作了同义词。?定义一个具体的集合或类通常采用的定义方式有两种“外延 ”定义法和 “内涵 ”定义法：“外延 ”定义法 枚举集合的所有元素以确定集合“内涵 ”定义法 提出集合的元素应满足的一种特有属性以确定集合4? 并非所有集合都可用 “外延 ”定义

19、法去定义。全体集合可分为两大类 “可枚举集合类 ” 和“不可枚举集合类 ”。这反映到数的概念上来就会将数分为有限数与无限数两类。问题与思考?自然产生的问题：?全体集合可分为两大类， 即 “可枚举集合类 ”和“不可枚举集合类 ” ，同时又可分为一个个两两互不相交的 “相似类 ” 。试问：这两种分类法相容吗？ 答案是肯定的。?“不可枚举集合类 ”会不会是空类或只是一个 “相似类 ”呢？ 首先完满回答这个问题的人是康托。?“可枚举集合类”中的所有 “相似类 ”能是我们习以为常的自然数系吗？也就是问，在由 “可枚举集合类 ”中的 “相似类 ”组成的类上，能建立适合皮亚诺公理系统的架构吗？?在由 “不可

20、枚举集合类”中的 “相似类 ”组成的类上，能建立适合皮亚诺公理系统的架构吗？若不能，那该建立怎样的公理系统架构？?集合是什么？相似类是什么？还有，“相似类 ”作为 “数”而成为数学的基本对象能使数学家们对其性能和功效感到满意吗？逻辑主义数学与逻辑的关系至少可以上溯到数学还是一门经验科学的时代，那时逻辑已经有了最初的思想萌芽，并对数学思维开始发生作用。经过古希腊数学家们，特别是亚里士多德和欧几里德的工作，数学同当时相对比较完善的形式逻辑结合起来，真正变成了一门演绎科学。从此，数学与逻辑总是密不可分地一起发展，数学在整个科学知识体系中成为逻辑性最强的学科。到了19 世纪末 20 世纪初，数学的高度

21、公理化和形式逻辑向数理逻辑的跨越发展，似乎一度取消了数学与逻辑的分界线。在这个时期出现了逻辑主义学派（以罗素和弗雷格为代表） ，他们宣称数学与逻辑是一回事。罗素曾说：“逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代，青年与壮年没有明显的分界线，故数学与逻辑亦然。”2.3走近逻辑殿堂数理逻辑又称符号逻辑，是用数学方法研究数学思维模式的科学。它把数学的推理方法及其使用的语言作为研究对象，运用形式语言（人造符号语言） 来表达思维形式的规则和结构。筑造起一个将思维规律的研究变换为对符号系统的研究的理论体系。它既是数学， 也是逻辑学。国际数学界把它列入 “核心数学 ”（纯数学），而逻辑学界称它为现代逻辑。它

22、发展到今天已形成四大分支：公理集合论、模型论、证明论与递归论。形式逻辑的基本规律数学的语言在康托创立集合论，弗雷格创立谓词逻辑的时代（1870-1900），数学界使用的语言是混杂冗赘和模棱两可的，这对数学的研究和教育十分不利。数学家们逐渐感受到在数学的各个领域中采用相似的、统一的语言的需要。随着戴德金及其后一些人物的参与，康托的集合论和弗雷格的谓词逻辑一起以朴素的形式成为了数学界的统一语言，这就是所谓的朴素集合论语言；这种语言现今已被我们广泛使用，达到了离开它就做不成事的程度。康托的集合 “定义 ”?“定义 ”集合。康托和戴德金都觉得有必要来?”，看作一个整体，这个整体就叫做康托的 “定义 ”

23、：“把我们感觉或思维的不同对象收集在一起集合。?戴德金的定义也没有什么差别。?那时 “类 ”被视作 “集合 ”的同义词。一些基本的记号罗素悖论策墨罗的有限抽象原则?罗素的悖论，表述简单而明确，不容置疑；其特点是只用到了“集合 ” 、 “元素 ” 、“属于 ”这些5最基本的概念，涉及的集合既符合康托的集合定义，又符合弗雷格的用概念的外延来确定集合的方法。从如此基本的概念出发竟推出了矛盾，这就表明康托和弗雷格的理论存在着令人恐惧的漏洞。?数学家们觉得之所以出现罗素悖论是因为集合概念太宽泛，太不严密了。按康托和弗雷格的想法，每个性质或条件可以确定一个集合，亦即每个概念可以确定一个集合；这叫做集合的概

24、括原则，也叫做无限抽象原则。怎能不加限制地使用概括原则呢？观察概括原则的标准形式就会发现： 集合 s 由性质 p 和论域 x 所决定。 策墨罗觉得罗素悖论的产生在于x“太大 ”所致； 因此，定义一个集合应首先对论域x 加以限制。基于这样的观点，策墨罗提出了一个“有限抽象原则”： 如果已有了一个集合x，又给了一个性质 p，那么构成一个集合。?“所有集合组成的整体不构成一个集合。” 的证按有限抽象原则，罗素悖论可解释成是对命题明。策墨罗提出了第一个公理集合论系统策墨罗认为，避免悖论的最好办法是，通过用公理系统来定义集合，使集合概念恢复作为数学对象的特征。首先，策墨罗提出，任何数学对象之间只有一个“

25、本原 ”关系 ux，其它的关系由本原关系导出。然后，他提出康托的“朴素 ”集合语言中的运算，并以公理的形式陈述它们用到的性质。这些公理的第一条是所谓的外延公理，它给出了两个集合相等的条件。然后有一系列公理，断言空集 的存在性、偶的集合的存在性、集合的子集的集合的存在性。在这些公理之上，他又添加了“选择公理 ”和断言无穷集合存在性的 “无穷公理 ”。培里（ g. g. perry）型悖论（培里告诉罗素这种类型的悖论）罗素提出了集合的层次理论集合概念怎样引入才能消除悖论呢？罗素提出了集合的层次理论。他认为集合也好， 概念也好，都应当分层次地引入： 最基本的一层是第0 层，此层的东西都是个体，不是集

26、合； 以第 0 层的个体为元素的集合是第1 层集合； 第 2 层集合的元素，只能是第0 层和第 1 层的成员； 第 3 层集合的元素，只能是第0 层、第 1 层、第 2 层的成员；相应地，罗素把谓词、命题也都分了层次和类型。用这种分层的办法，罗素不仅去掉了悖论的困扰，而且还把算术归结到集合论。他与怀特海合作写了一部巨著数学原理，把自己的思想观点详细地表述在这部著作里。但是，罗素的理论太复杂，太庞大了。数学家们不倾向于接受罗素的宏大设计，而希望数学能建立在简明可靠的牢固基础之上，用尽可能简单的方式解决悖论危机。对策墨罗的继承、批判和发展?策墨罗不承认由具有给定性质p 的对象构成的集合的存在性，除

27、非这些对象已是早先已定义的一个集合的元素。但是，在策墨罗所做研究的一般性水平上，怎样理解“性质 ”这个词？策墨罗限于说 “不管一个性质是否有用，它必须由公理和普遍适用的逻辑规则以非任意的方式确定”。显然，他心中的性质是以直到那时数学家所考虑的性质为典型。培里悖论表明他对“性质 ”的界定不够精密。?对性质怎样表述适应数学家用法的限制，从而避免像培里悖论中的那种寄生式“性质 ”的陈述？弗伦克尔和斯科朗于1922 年提出的解决办法在于在数学的性质或关系的陈述中消除日常语言，代之以形式语言（一种人造符号语言） ，它由固定一组初始符号按特定方式合成符号“词语 ”（原子公式），并将 “词语 ”按一套可以避

28、免产生日常语义歧义的硬性文法排列成用于表达性质或关系的陈述（合式公式）。?从康托（ 1845 1918）和弗雷格（ 1848 1925）到策墨罗 （1871-1953 ）和罗素（ 1872-1970 ），再到弗伦科尔（ 1891-1965 ）和斯科朗（ 1887-1963 ），经过三代6?人的探索和研究，终于形成了一套用形式语言和公理条款规划的集合理论 zf-系统。集合论的这一公理系统首先由策墨罗于 1905 年提出，后经弗伦克尔于 1920 年修改完善而成，因此称作 zf- 系统。这一系统是否可以抗击悖论侵袭呢？迄今还没有人在此系统的框架内表述可以引出 “悖论 ”的性质。?当今，绝大多数数学

29、家使用zf-系统，但通常不明确声明。就数学家所关注内容而言，所有数学分支都可规约到集合论，因而最终都可规约到zf-系统或 zfc- 系统。理发师悖论某村庄有一位理发师，他把村里的人分为两类：一类是自己不给自己理发的人；另一类是自己给自己理发的人。基于此，他挂出了一张招牌，上写：“本人只给村中自己不给自己理发的人理发，请自己不给自己理发的人惠顾。”有人问： “那么您的头发由谁理？” 理发师瞠目结舌，无言以对。这是罗素于1919 年提出来的悖论，所以也叫“罗素悖论 ”。上帝是全能的吗？?甲说： “上帝是全能的。”?乙说： “全能就是什么事都能办到，对吗？那么请问，上帝能造出一个连自己也举不起来的大

30、石头吗？ ”?甲无法回答了。如果说不能，则上帝就不是全能的。如果说能，则上帝造出的石头上帝自己也举不起来，说明上帝仍然不是全能的。?这个悖论的特点是，上帝能肯定一切，也就能否定一切。但他自己也在这一切之中，所以当他肯定一切的时候，同时也就否定了自己能肯定一切。唐吉诃德悖论小说唐 吉诃德里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题： “你来这里做什么？ ”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。”旅游者被送到国王那里。国王苦苦想了好久： 他回答得是对还是错？究竟要不要把他绞死？如果说他回答得对，那就不要绞死他 可这样一来，他的回

31、答又成了错的了！如果说他回答错了，那就要绞死他 但这恰恰又证明他回答对了。实在是左右为难！、数学精神与方法第三讲有限无限纵横谈（二）2.4zfc 系统的逻辑套路今日数学的基础是建立在集合论之上的，而集合论中出现的悖论使数学家们认为有必要做出关于集合的基本假设（即提出一组适当的集合论公理） ，以便彻底避免各式各样的、已发觉的和潜在的悖论或不相容现象的出现，以使数学的各种系统和方法能够建立在一个统一的牢固的逻辑基础之上。为此，数学家和逻辑学家提出并发展了多种集合论的形式化系统，其中最有名的要数 zfc 系统和 gbn 系统。在此，我们将向大家简介zfc 系统， 它是由上节说到的zf 系统发展完善而

32、成的。逻辑套路图zfc 系统有两方面内容：一是形式语言和逻辑演算，二是非逻辑公理。本节介绍第一方面的内容。关于 zfc 系统zfc 系统是一种受到数学界偏爱的形式系统。 “形式 ”这个词常常用于这样的场合，该处用到了一些符号，而这些符号的作用和属性又完全由一组给定的规则所确定。在一个形式系统中，符号没有任何意义；在处理它们时， 我们必须注意不要在系统规定之外对它们的属性作任何假设。不过，形式符号可以加以解释，解释可以有多种版本，但这些解释并不是系统的一部分。zfc 系统像其他形式系统一样，有两方面内容， 一是它的形式语言和逻辑演算（包括逻辑公理和演绎规则） ，二是非逻辑公理（用于 “规划 ”集

33、合概念的特殊公理，又称集合论公理） 。这两方面内容，前者体现出 “逻辑数学化 ”倾向，而后者则体现出 “数学逻辑化 ”倾向，如今两者已融合7成一个有机的开放的整体。zf 系统的形式语言一 zf 符号库zf 系统的形式语言二 zf 公式库关于形式语言的注释关于形式语言的注释zf 系统的逻辑演算一 zf 的逻辑公理模式（附带等词公理模式）关于 zf 的逻辑公理模式的注释zf 系统的逻辑演算二 zf 的逻辑演绎规则关于 zf 的逻辑逻辑演绎规则的注释zf 系统的逻辑证明现在 zf 形式系统的纯逻辑要素 符号库、 公式库、 公理模式、 演绎规则 都已建立起来，那么怎样运用这些逻辑要素去进行逻辑演绎（即

34、证明推理）呢？形式证明的实例形式证明的实例形式证明的实例简单评注zfc 系统有两方面内容：一是它的形式语言和逻辑演算，二是它的非逻辑公理。以上所讲是第一方面内容的简介，目的在于帮助同学们了解数学系统的逻辑结构 这方面内容体现出zfc系统的 “逻辑套路 ”。尽管形式语言与逻辑演算的表述方式完全可以说是“数学化 ”的，但是就其本质而言，这方面的内容是没有多少数学价值的。zfc 系统的数学价值将由其第二方面的内容 非逻辑公理 体现出来。那么这组非逻辑公理又说了些什么呢？且听下回分解。 2.5zfc 系统的数学价值?逻辑主义有一个重大的不可否认的成就：它成功地根据合理的简单标准（完备性例外），把全部经

35、典数学都归约为单一的形式系统。这一成就被形式主义者 绝大多数数学家 大加赞赏，尽管他们并不像逻辑主义者那样认为“数学已被全部归约为逻辑”。?数学家们认为：数学确实有逻辑以外的题材，那就是表达式，而且她的最重要的简单真理是直观的 而非逻辑的 产物。?对于 zfc 系统，可以说现代数学建立在以其为基础的结构之上，它是否可以全部归约为逻辑呢？数学界和哲学界一般认为，答案是否定的，原因就在于它有一组公理（共九条）是非逻辑性的，我们称之为 zfc 的非逻辑公理组。这组公理体现着数学家来自心灵的共同信条，这正是 zfc 系统的数学价值之所在。zfc- 系统的非逻辑公理（ zf1）两个集合相等，当且仅当它们

36、有相同的元素。（外延公理）（ zf2）没有元素的集合存在。 （空集公理）（ zf3）给出任何集合x 和 y，总存在着集合z，它的元素是x 和 y。（配对公理）（ zf4）给出任何集合 x，总存在着集合 y，它以 x 的元素的元素为元素。 （并集公理）（ zf5）给出任何集合 x，总存在着集合 y，它以 x 的一切子集为元素。 （幂集公理）（ zf6）若对于任意的 x，恰好存在唯一的 y，使得公式 a(x,y) 成立，那么对于任意的集合z，存在集合u，使得u = v |存在 w z ，使得 a(w,v) 成立 。（替换公理模式）zfc- 系统的非逻辑公理（续）（ zf7）存在一个集合x，它含有无

37、穷多个元素。（无穷公理）8（ zf8）每个非空集合x 含有一个元素y， y 作为集合与x 无公共元素。（基础公理）（ ac ） 对任何由两两不交的非空集合组成的集合x，总存在一个集合y，它与 x 的每个成员恰有一个公共元素。（选择公理）关于 zf- 系统的非逻辑公理的评注?公理（ zf1）（ zf8）和（ ac ）的建立归功于策墨罗和弗伦克尔，但所谓zf- 系统却是指非逻辑公理只取（zf1）（ zf8）的形式集合论系统。?公理（ zf2）断言了空集的存在。可以证明空集是唯一的，记之为?。公理（ zf3）断言：对任何集合x 和 y，存在一个集合 x , y 。注意 x , y 是由 x 和 y

38、所?唯一确定的，但x 和 y 间没有次序问题，这就是说， x , y = y , x 。有了此等无序对的概念，我们可以定义单元集和序偶的概念如下： x = x , x ，（ x , y ） = x , x , y 。需指出：表述（zf6）需要利用序偶的概念。在（ zf6）中，命a(x,y)代表a(x) (x=y) ，则可推出策墨罗的有限抽象原则：对任一给定的谓词公式a(x) 和任何集合z，存在集合u使得u = v z| a(v) 。?（ zf2）和（ zf7）是分别断言集合存在和无限集合存在的公理；实质上，它们断言的正是空集 ? 和自然数集n 存在。这两条公理实难作为逻辑公理看待，它们是干脆的

39、数学公理。因此，将集合论完全划归逻辑范畴不可能得到数学界的认可。一般认为：逻辑主义自定的目标 数学化为逻辑，成为逻辑的一部分 不可能实现。如果在 zf 系统中不引入无穷公理（zf7 ），那么我们得到的是一个有限数学的框架，也就是说，我们处理的数学对象只能限于有限集合。在这样的框架里，我们无法断定“全体自然数 ”是否构成一个集合。“自然数的全体”是否为一个集合？这问题其实是“自然数的全体 ”作为一个数学对象我们该怎样看待的问题。在这个问题上，数学界的看法是统一的：“自然数的全体”构成一个集合。这是现代数学基础的任何令人可接受的模式都必须俯就的基本要求 本质上讲，这意味着数学学科不能不认可“数学归

40、纳原理 ”。 “数学归纳原理 ”是一条数学原理，它不能归约为逻辑。无穷公理的价值正是在集合论的公理系统中给出“数学归纳原理 ”的位置。】注意，公理（ zf8）所断言的是：任一非空集合x 必有 -极小元，即，存在y x，对任意的uy， u 不 x。利用（ zf8）我们立即可证如下命题：“ 对任意的集合x， x 不 x。 ”事实上， 对任意的集合x，集合 x 非空； 于是， x 有 -极小元， 此 -极小元只能是x，故 x 不 x。让我们引入 “集宇宙 ”这个术语：集宇宙由全体集合构成，记作 。这样一来，上述命题可富有启发性地表述为 =x|x 不 x 。进一步，立即可证下述命题成立：? 集宇宙 不

41、是集合。 ?公理（ zf1）（ zf8）在描述集合的基本真理性方面已经经受住了时间的考验。zf-系统引出的基本数学概念关于选择公理选择公理的各种等值形式人们研究的很多，不同的形式适应于不同的应用，这足以表明它是一条基本的数学原则。由哥德尔定理我们知道，选择公理与zf-系统是相容的；那么，一个自然的问题是：它是不是zf-系统的一条定理呢？这个问题历经半个多世纪的研究，终于在 1963 年由美国的一位年青的数学家科恩所解决。科恩证明：（ac ）不能作为zf- 系统的9定理而推演出来。将科恩和哥德尔的结果合在一起的结论是（ac ）和它的否定都不是zf- 系统的定理，它们之中任意一个都可以相容地补加到

42、zf-系统中作为新公理使用。从这样的结论看，（ac ）的可接受或不可接受必然是一个直觉问题，它乃是也只能是数学家们的基本信条之一。选择公理被证明是一条数学原理，不能归约为逻辑。哥德尔（ kurt g? del,1906-1978 ）。奥地利美国数学家、逻辑学家。美国时代杂志评选出对世纪人类思想产生重大影响的人中，哥德尔列为第。数学精神与方法第四讲有限无限纵横谈（三） 2.6自然数系有限集与无限集人类在进化的蒙昧时期，就已经有一种才能，这种才能姑且称作“数觉 ”。由于人有了这种才能，当在一个小的集合里边增减一样东西的时候，尽管他未曾知道增减已经发生，他也能觉察到其中的变化。这种原始数觉，许多权威

43、动物学家认为，少数几种鸟类和蜂类也具有。注意，依靠数觉，普通文明人可以分辨的数目很少能超过四。应该承认，这种比鸟类高明不了多少的原始数觉，就是产生“数 ”概念的核心 “ 0”、“ 1和”“ 2三”个数目的先验性区分构成为了人类理性思维的自然出发点。数觉、计数技术、模范集合但是，毫无疑问，如果单凭直接的数觉，人类在计算的技术上就不会比鸟类有什么进步。事实上，经历了一连串的特殊的环境，人类在极为有限的数觉之外，学会了另一种技巧来给自己帮忙，这种技巧注定了使人类未来的生活要受到难以估量的影响，这种技巧就是“计数 ”。 “计数 ”与“数觉 ”不同，它牵扯到一种颇为复杂的心理过程，是人类很晚以后才有的收

44、获，也是人类独有的特性。计数技术的灵魂就是序列的观念（想一想皮亚诺公理系统），它使具体的、不同质的表达多寡的各种模式演变为统一的抽象的数概念，形成了数学学科建立和发展的前提。数觉、计数技术、模范集合然而，不用计数技术，也可以得出一种合乎逻辑的明晰的数概念，那就是通过建立集合间所谓的相似关系来把全体集合分为一个个的相似类。当然，原始人类不会有弗雷格和罗素的相似类概念，但他们会不自觉地在身边的环境中找一个模范集合作为相似类的代表。原始人类有了语言及表达语言的符号（特别是能够被视觉分辨或听觉分辨的符号）后，他们就越来越依赖于语言及其符号，结果他们以符号来代替所表的模范集合 这样，最初的各式各样的数字

45、就产生了。记忆和习惯又使这些数字在人类的思维中获得了概念化的具体性，于是人类就只用数字来量度多寡，而将原来作为比较对象的模范集合渐渐忘却了。相似与计数 对应与序列数学的进一步发展实在应当归功于人类感悟到，数的相似类表示与计数表示的统一性。在实用上，相似类的数字表示很有用，也较简单，但它不能直接创造出算术来。算术的运算是依据“我们总是可以由一个数目数到它的后继数目”这一默认的假定而发展起来的，而这个假定正是计数技术的本质。相似与计数， 体现了两大数学原理 对应和序列。 这两条原理已经深深渗透到全部数学不只是数学，实际是精密思想的全部领域 之中。数的弗雷格 -罗素定义要在集合论的框架下展开全部数学

46、，首先就必须在集合论中定义自然数。回顾数的弗雷格-罗素定义：一个数目就是某个集合的数，而一个集合的数是所有与此集合相似的集合所成的类，称作相似类。“相似 ”概念由双射概念来定义：集合 x 与 y 是相似的，如果存在从x 到 y 的双射。与集合 x 相似的全体集合所组成的类称作x 的相似类。问题一：每个“相似类 ”是集合吗？在 zf- 系统的框架下，数学对象都作为集合处理；这样，数学的基础就可以避免悖论的产生。10因此，像集宇宙 的 象就不宜作 数学 象看待。依此 点，我 会形成 的 ：如果每个 “相似 ”不是 zf-集合，那么它也就不 称作是一个“数 ”。注意！“数 ”是一个数学 ，一个“数”

47、，或 一个 “数目 ”，理 是一个普通的数学 象，因而在 zf- 系 的框架下理 是一个集合。 二：在zf-系 中怎 定 自然数？在 zf- 系 中，定 自然数 当 足四条要求：每个自然数都 当用一个集合去定 ，它 当在相似关系下是其所在相似 的代表，并且全体自然数 当 成一个集合。全体自然数的集合 当适合皮 的五条公理，并因此特称作自然数系。在自然数之 能定 加法和乘法运算， 能定 序关系。在一定的意 上 ，自然数系是唯一的。答 一：非空集合的相似 不是集合 明：不是zf-集合答 二：自然数系就是最小 集 集是存在的 数学信条之一最小 集 ?a?a第一无限集合自然数和自然数系的定 自然数系

48、与皮 的自然数公理皮 所定 的自然数系n 是抽象的，其抽象性表 在：它有三个原始概念数、零、后 是未加定 的， 它 由皮 的五条公理来界定相互之 的关系，并由此得以表 自己， 此而已。因此， 三个原始概念有无 的 体存在无法由 一理 自身回答。事 上，从zf- 系 一形式集合 的角度看，皮 的自然数公理化方案可以 入到zf-系 的框架内作 自然数系的一个抽象定 理。 就是 ，可作如下定 ：自然数系的抽象定 原理 自然数系的基本定理之一数学 原理 自然数系的基本定理之二数学 原理，包含着一串无限多个三段 ，每一个自身都是一致的。其有限个三段 所断言的都是 的必然，但无限多个三段 所断定的却只能是

49、数学的必然。当一个 作一旦可能， 我 的心灵就能 想 个 作的无限次重复。 不是 和 加 我 的， 是心灵的力量才能 我 的。自然数系的 一性 自然数系的基本定理之三零，神奇无比！ 地看，零就是零，但仔 研究后，你会 通 它你将可以了解 个世界。因 ，数学表述着事物复 的本 ，而把 大的数学体系 成了一个整体的是零。从 的 数到复 的运算，从估 事物 生的几率到精确知道与我 相关的事件何 达到最大 ， 些有力的数学工具都 我 使用 的思考方法：一个事件的 生与其他的事件相关，并且所有 些都离不开零 个中心。ei +1=0数学中最重要的常数都集中在 里了，而它 ?数学的思想灵魂存乎于有限与无限之 有限集、无限集、可列集定 4设 s