量子力学导论习题答案

第一章量子力学的诞生11设质量为M的粒子在一维无限深势阱中运动，E）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。解势阱为0002204020,41,16VEVEVEEVEEVVR38）利用HERMITE多项式的递推关系（附录A3。式（11），证明谐振子波函数满足下列关系21121212121222211XNNXNXNNXXXNXNXXNNNNNNNYYYAYYYAY并由此证明，在NY态下，2,0NEVX证谐振子波函数222XHEAXNXNNAYA（1）其中，归一化常数HWAPAM,2NANN（2）XHNA的递推关系为02211XNHXXHXHNNNAAAA（3）2121211212121221212212211112112112121122222222222222222XNXNXHENNXHENNXHENXNHENXNHXHEAXXXHEAXXHEAXXNNNXNNXNNXNNXNNNXNNXNNXNNYYAAPAAAPAAAPAAAPAAAAAAAAAYAAAAAAA2112121222121221212121222222112XNNXNXNNXNXNNXNXNNXXNXXNXXNNNNNNNNNNYYYAYYYYAYYAY0212111DXXNXNXDXXXNNNNNYYAYYY2212112212112212121222222NNNNNENNMDXXNMXDXXXMXVWAWYAWYYWYH39）利用HERMITE多项式的求导公式。证明（参A3式（12）2222211211212212NNNNNNNNNNNNXDXDNNXDXDYYYAYYYAY证A3式（12）2DXDH,21N1XHNXNHHNNNAAAXX2122212221111112122222222XNXNXNXNXNXNXXXHNEXHEXAXDXDNNNNNNNNXNXNNYYAYAYYAAYYAAAAAYAA22222222112122221212212NNNNNNNNNNNNNNNNNNNXDXDYYYAYYAYYAAY021211DXNNIDXDXDIPNNNNNYYAYYYHH2212112412421121222222222222222NNNNNNNNNENNMMDXNMDXNNNNNMDXDXDMMPTWWYYAYYYAYYYHHHHHH310）谐振子处于NY态下，计算212DXXX，212DPPP，DDPX解由题36），WWWMNMEMVXXNH212,0222由题37），WHMNMETMPPN212,02HHHDDDD212121212122212212122212NPXMNPPPPPMNXXXXXWW对于基态，2,0HDDPXN，刚好是测不准关系所规定的下限。311）荷电Q的谐振子，受到外电场E的作用，XQXMXVEW2221（1）求能量本征值和本征函数。解XQHXQXMMPHEEW0222212（2）0H的本征函数为222XHEANXNNAYA，本征值WH210NEN现将H的本征值记为NE，本症函数记为XNJ。式（1）的势能项可以写成2020221XXXMXVW其中20WEMQX（3）如作坐标平移，令0XXX（4）由于PDXDIDXDIPHH（5）H可表成2022,2221212XMXMMPHWW（6）（6）式中的H与（2）式中的0H相比较，易见H和0H的差别在于变量由X换成X，并添加了常数项20221XMW，由此可知202021XMEENNW（7）0XXXXNNNYYJ（8）即LHH,2,1,0,2212121222222NMQNMQMNENWEWWEWW（9）22222WEAJWEAMQXHEAXNMQXNN10其中HWAPAM,2NANN11312）设粒子在下列势阱中运动，X的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的H和谐振子的H完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的SEQ）。振子的具有12KN的奇宇称波函数在0X处为零，因而这些波函数是这一问题的解（KN2的偶宇称波函数不满足边条件00Y）所以LH,2,1,0,232KKEKW313）设粒子在下列势阱中运动，AR1是否存在束缚定态求存在束缚定态的条件。解SEQYYDYEAXRDXDM2222H2对于束缚态（0），AB时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时1COTHAB，式（10）给出22HMRB即222222HHMRMEB（13）与势阱XRXVD的结论完全相同。令HBA，则式（10）化为22COTH1HMRAHH（14）由于1COTH1HH，所以只当122HMRA时，式（10）或（14）才有解。解出根H之后，利用HMEAA2BH，即可求出能级2222MAEHH（15）第四章力学量用算符表达与表象变换41）设A与B为厄米算符，则BAAB21和BAABI21也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F均可分解为IFFF，F与F均为厄米算符，且FFIFFFF21,21证）BAABABBABAABBAAB21212121BAAB21为厄米算符。）BAABIABBAIBAABIBAABI21212121BAABI21也为厄米算符。）令ABF，则BAABABF，且定义FFIFFFF21,21（1）由），）得FFFF,，即F和F皆为厄米算符。则由（1）式，不难解得IFFF42）设,PXF是PX,的整函数，证明F,F,PIFXXIFPHH整函数是指,PXF可以展开成0,NMNMMNPXCPXF。证（1）先证11,NNMMPNIPXXMIXPHH。111111331332312221111,1,3,2,MMMMMMMMMMMMMMMMMMXMIXIXIMXXPXIMXXPXIXXPXXPXXIXXPXXPXXIXXPXPXXPHHHHLHHH同理，1221222111,2,NNNNNNNNNPNIPPXPIPPXPPXPPIPPXPXPPXHLHH现在，0,10,0,NMNMMNNMNMMNNMNMMNPXMICPXPCPXCPFPH而0,1NMNMMNPXMICXFIHH。F,XIFPH又0,10,0,NMNMMNNMNMMNNMNMMNPNIXCPXXCPXCXFXH而0,1NMNMMNPNIXCPFIHHF,PIFXH43）定义反对易式BAABBA,，证明CABCBABCABCACBACAB,证BCACBABCAACCBBCACABACBACBABCBCACBACAB,CABCBACAACBCBAABBCABACBACABCCABCBABCA,44）设A，B，C为矢量算符，A和B的标积和矢积定义为ABGBAABGAAAEBABABABA,ZYX,GBA，ABGE为LEVICIVITA符号，试验证GABGBAABGECBACBACBA（1）AACBACBACBA（2）CBACBACBAAAA（3）证（1）式左端XYYXZZXXZYZYZYXCBCBACBCBACBCBACBAGABGBAABGECBA（1）式右端也可以化成GABGBAABGECBACBA。（1）式得证。（2）式左端BGGBACBACBACBA（3,2,1GBA）AGGBBGAGBABGAAGGABBABCBABACBACBACBCBACBCBA（2）式右端AACBACBAAGGBBGAGBABAGGABBAAAGAGBABAAACBABACBACBACBACBACBACBACBACBA故（2）式成立。（3）式验证可仿（2）式。45）设A与B为矢量算符，F为标量算符，证明BFABAFBAF,（1）BFABAFBAF,（2）证（1）式右端FBBFABFAAFFBABFABFABAFBAFFBABAF,（1）式左端（2）式右端FBBFABFAAFFBABFABFABAFBAFFBABAF,（2）式左端46）设F是由R，P构成的标量算符，证明RFRIPPFIFLHH,（1）证KFLJFLIFLFLZYX,（2）24,题YFZZFYIPPFPPFIPPFIYFZIPYFIZFYIPFZFPZPFYFPYFZPYYPZFLXYZZYYZZYYZZHHHHHHXXRFRIPPFIHH（3）同理可证，YYYRFRIPPFIFLHH,（4）ZZZRFRIPPFIFLHH,（5）将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。47）证明PIPLLPH2PLPLLPI,2H。证ZYZYYZZYYZZYXPLLPPLPLLPLPPLLP,利用基本对易式GABGBABAEPILPPLH,即得XXPIPLLPH2。因此PIPLLPH2其次，由于XP和XL对易，所以XYZZYYZZYYZZYZYYZXZZZXZXYYYXYXZXYXPLLPIPLPLLPLPIPLLPPLLPIPLLLPLPLLLPLPLPLPLHHH,222因此，PLPLLPI,2H48）证明PRIPRPRLH222（1）2222PLLPPLLPPL（2）22224PPLPLLPH（3）2PLIPLPLH（4）证（1）利用公式，CBACBA，有PRRPPRPPRRPRRPPRRPPRRPL22其中RIPRRIPRRPHH22222HHIPRRIPRRP3因此PRIPRPRLH2222（2）利用公式，0PPLPPL（）可得LPPLLPPL02,L0222PPLLPLLPPLPPLPLPLPLPLPL202,L222PPLPLPLPLLPLPLPLPLP2222PLLPLPPL由，则（2）得证。（3）PILPLPPLLPH217422222224222174PPLPPLPIIPLPLPILPHHHHD（4）就此式的一个分量加以证明，由44）（2），AAACBACBACBAXXXPLPLPLPLPLPL，其中YYZZXXEPEPILPPLH（即KPIJPIKPJPIPLYZZYXXHH0,）22PLIPLIPPLPPLIPPLIPLPLEPEPPLILPPLPLPLXXXXZYYZZXXHHHHH类似地。可以得到Y分量和Z分量的公式，故（4）题得证。49）定义径向动量算符RRPPRRPR1121证明RRPPA，RRIPBR1H，HIPRCR,，RRRRRRRPDR222222212HH，22221RPLRPE证ABCAABCQ，R112111211121PPRRRRPPRRRRPRRPPRRPR即RP为厄米算符。RRIRRIRIRRRRIRIRRRRIRRIRRIPRRRRIPRRPRRRRPPRRPB11323211222111213RHHHHHHHHHHHHHHIRRRRIRRRRIRRIRRRIPRCR1,1,2221BRRPDRH2222111RRRRRRHRRRRRRRRRR2111122222222HHRRRR2221HE据48）（1），PRIPRPRLH2222。其中RRIRIPRHH，因而RRRRRRPRL22222HHRRRRPR2222222H以2R左乘上式各项，即得RRRLRP21222222HD942221RPLR410利用测不准关系估算谐振子的基态能量。解一维谐振子能量222212XMMPEXXW。又022DXXEXXAPA奇，HWAM，0XP，（由38、39题可知0,0XPX）XXXXD，XXXXPPPPD，由测不准关系，,2HDDXPX得XPX2H。22221221XMXMEXWH028232XMXMDXDEXWH，得WMX22HWWWWHHHH2122128220MMMMEX同理有WH210YE，WH210ZE。谐振子（三维）基态能量WH230000ZYXEEEE。411利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。解类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数E换成ZE（Z为氢原子系数）而U理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径220UEAH，在类氢原子中变为ZAA0。类氢原子基态波函数AREA31001PY，仅是R的函数。而JQQJQDDREDDREDRDERSIN11，故只考虑径向测不准关系HRPRDD，类氢原子径向能量为RZEUPER222。而RZEUPH222，如果只考虑基态，它可写为RZEUPHR222，RDRDIPR1HRP与R共轭，于是HRPRDD，RRD，RZERMRZEUPER2222222H（1）求极值RZERMRE2320H由此得AZAMZER022H（0A玻尔半径；A类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）。代入（1）式，得基态能量，AZEEMZE222242H运算中做了一些不严格的代换，如RR11，作为估算是允许的。412证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。证设定态波函数的空间部分为Y，则有YYEH为求P的平均值，我们注意到坐标算符IX与H的对易关系UPIXVUPPXHXIJJJIIH2,。这里已用到最基本的对易关系IJJIIPXDH,，由此0,YYYYYYYYYYYYIIIIIIIEXEXIUHXHXIUHXIUPPHHH这里用到了H的厄米性。这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符C可以表示为两个厄米算符A和B的对易子BAIC,，则在A或B的本征态中，C的平均值必为0。413）证明在的本征态下，0YXLL。（提示利用XYZZYLILLLLH，求平均。）证设Y是ZL的本征态，本征值为HM，即YYHMLZXLIHQYZZYZYLLLLL,L，YLIHZXXZXZLLLLL,L，0111YYYYYYYYYYYYYYYZZYYZZYXLMLMILLLLILLLLILHHHHH同理有0YL。414设粒子处于JQ,LMY状态下，求2XLD和2YLD解记本征态LMY为LM，满足本征方程LMLLLML221H，LMMLMLZH，LMMLLMZH，利用基本对易式LILLH，可得算符关系XYZXZYXYZZYXXXLLLLLLLLLLLLLILIHH2XYZZXYYXYZYZXYLLLLLLLILLLLILLL2HH将上式在LM态下求平均，因ZL作用于LM或LM后均变成本征值HM，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此22YXLL又2222221HQMLLLLLLZYX2222121HMLLLLYX上题已证0YXLL。2222222121HMLLLLLLLLXXXXXXD同理222121HMLLLYD。415设体系处于202111YCYCY状态（已归一化，即12221CC），求（A）ZL的可能测值及平均值（B）2L的可能测值及相应的几率；（C）XL的可能测值及相应的几率。解1121122YYLHQ，2022026YYLH；1111YYLZH，20200YYLZH。（A）由于Y已归一化，故ZL的可能测值为H，0，相应的几率为21C，22C。平均值H21CLZ。（B）2L的可能测值为22H，26H，相应的几率为21C，22C。（C）若1C，2C不为0，则XL（及YL）的可能测值为H2，H，0，H，H2。1）XL在1L的空间，ZLL,2对角化的表象中的矩阵是0101010102H求本征矢并令1H，则CBACBAL01010101021，得，ABL2，BCAL2，CBL2。1,0L。）取0L，得ACB,0，本征矢为AA0，归一化后可得本征矢为10121。）取1L，得CAB22，本征矢为AAA2，归一化后可得本征矢为12121。）取1L，得CAB22，归一化后可得本征矢为12121。在0011111CYC态下，XL取0的振幅为21012100111CC，XL取0的几率为221C；XL取H的振幅为21212100111CC，相应的几率为421C；XL取H的振幅为21212100111CC，相应的几率为421C。总几率为21C。2）XL在2L的空间，ZLL,2对角化表象中的矩阵利用1211MJMJMJJMJX1211MJMJMJJMJX11222XJ，230212XJ，231202XJ，12212XJ。01000102300023023000230100010XL，本征方程EDCBAEDCBAL01000102300023023000230100010ABL，BCAL23，CDBL23，DECL23，EDL，2,1,0L。）0L，0B，CA23，0D，CE23本征矢为10320183。在001002202CYC态下，测得0XL的振幅为2103201830010022CC。几率为422C；）1L，AB，0C，BD，ED，本征矢为1101121。在202YC态下，测得HXL的振幅为01101121001002C，几率为0。）1L，AB，0C，BD，DE，本征矢为1101121，在202YC态下，测得HXL几率为0。）2L，AB2，AC6，AED22，ACE6，本征矢为1262141，在202YC态下，测得H2XL的振幅为2246126214100100CC。几率为2283C；）2L，AB2，AC6，AD2，AE，本征矢为1262141，在202YC态下，测得H2XL的几率为2283C。2222418383CC。在202111YCYCY态中，测XL（和YL）的可能值及几率分别为222122212122834141214183202CCCCCCHHHH416）设属于能级E有三个简并态1Y，2Y和3Y，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。解11111,1YYYYJA12122,JYJYJ，2222,1JJJJ，23213133,JYJJYJYJ，3333,1JJJJ。321,JJJ是归一化的。0,1,1121212221JJYJYJJJJJ，0,1,21321131313331JJYJJJYJYJJJJJ，0,1,22321231323332JJYJJJYJYJJJJJ。它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证它们仍对应于同一能级）。417）设有矩阵SCBA,等，证明BAABDETDETDET，AASSDETDET1，BATRABTR，TRAASSTR1，CABTRBCATRABCTR，ADET表示矩阵A相应的行列式得值，TRA代表矩阵A的对角元素之和。证（1）由定义NNNIIIIINAAAIIPALLL211211DET，01111111其他情形的奇置换是当的偶置换是当NIINIIIIPNNNLLLLL故上式可写成NNNIJIJIJIINNAAAJJPIIPALLLL2211111DET，其中NJJL1是NL1的任意一个置换。NNNIIIIINCCCIIPABCLLL211211DETDETNNNNNIIJJIJNJIJJIJJNBABABAIIPLLLL11222111211NNNNNJJIIIJIJIJNNJJJBBBIIPAAALLLLL11221121121NNNNNJJIIIJIJIJNNNJJJNBBBJJPIIPAAAJJPLLLLLLL1122112111211BADETDET（2）ASSSASASSDETDETDETDETDETDETDET111AASSDETDETDET1（3）BATRABBAABTRIKIKKIIKKIIK（4）TRAASSTRSASTRASSTRASSTR1111（5）CABTRBACBCATRACBCBAABCTRJKIJIJKKIIJIJKKIJKIJKKIJKIJ第五章力学量随时间的变化与对称性51）设力学量A不显含T，H为本体系的HAMILTON量，证明HHAADTD,222H证若力学量A不显含T，则有HAIDTDA,1H,令CHA,则HCHCIDTCDIDTAD,1,11222HHH,HHAADTD,222H52）设力学量A不显含T，证明束缚定态，0DTDA证束缚定态为HTIENNNERTRYY,。在束缚定态TRN,Y，有TRETRTITRHNNNN,YYYH。其复共轭为TREERTITRHNNTIENNN,YYYHH。NNDTDADTDAYY,NNNNNNAAADTDYYYYYY,NNNNHIAAHIDTDAYYYYHH1,1NNNNAHIHAIHAITAYYYY,1,1,1HHHNNHAAHIHAIYY,1,1HH0,1AHHAIH。53）HXXIAPXAADEXPEXP表示沿X方向平移距离A算符证明下列形式波函数（BLOCH波函数）XEXKIKXFY,XAXKKFF是ADX的本征态，相应的本征值为IKAE证AXEAXXADKAXIKXFYYXEXEEIKAKIKXIKAYF,证毕。54）设M表示ZL的本征态（本征值为HM），证明MEEYZIKLIKLHHQJ是角动量L沿空间JQ,方向的分量NLQJQJQCOSSINSINCOSSINZYXLCLLNLLN的本征态。证算符HQYIKLE相当于将体系绕Y轴转Q角，算符HJZIKLE相当于将体系绕Z轴转J角，M原为ZL的本征态，本征值为HM，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的Z轴（开始时和实验室Z轴重合）已转到实验室坐标系的JQ,方向，即N方向，MYLM变成了Y，即变成了NL的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为HM。（还有解法二，参钱剖析P327）55）设HAMILTON量RVUPH22。证明下列求和规则UXEENNMMN222H。X是R的一个分量，N是对一切定态求和，NE是相应于N态的能量本征值，NENHN。证XXXPUIPIUPXUHXHH221,21,2（D）ANNMMNXEE2MEENNXMMNNMXHNMHXNNXMNMHXNNXMN,2,21DMPXNNXMUXNMPNNXMUIXNHNXNXPMUIH又ANMNMXNNEEMMXNNHXMN,DNXNXPMUIHA2NXXMXPXPMUIHNXMPXMUI,HUIUI2HHH，AUXEENNMMN222H。不难得出，对于ZY,分量，亦有同样的结论，证毕。56）设PRF,为厄米算符，证明能量表象中求和规则为KFHFKFEENNKKN,212（1）证式（1）左端令AKFNNFKEENKNKFHHFNNFKNKFHFK,（2）计算中用到了公式1NNN。由于FH,是厄米算符，有下列算符关系FHHFFHFHHFFHHFFH,（3）式（2）取共轭，得到AAKFHFK,KFFHK,3,KFFHK（4）结合式（2）和（4），得AKFHFKFEENNKKN,212证毕。57）证明SCHRDINGER方程变换在GALILEO变换下的不变性，即设惯性参照系K的速度U相对于惯性参照系K运动（沿X轴方向），空间任何一点两个参照系中的坐标满足下列关系,TTZZYYVTXX。（1）势能在两个参照系中的表示式有下列关系TXVTTXVTXV,U（2）证明SCHRDINGER方程在K参照系中表为2222YYVXMTIHH在K参照系中表为YYVXMTI2222HH其中TTXTMXMI,2EXP2UYUUYHH证由波函数的统计解释，Y和Y的意义完全相同。TXWTX,2Y，是T时刻在X点找到粒子的几率密度；2,TXWTXY，是T时刻在X点找到粒子的几率密度。但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即,TXWTXW（6）从（1）式有TXWTTXW,U（6）由此可以得出，Y和Y两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以TTXETXETXTXISIS,UYYY（7）TXETTXTXIS,YUY（7）由（1）式，XX,TXVT,2222XX（3）式变为222,2TXTXVTXXMYYH,TXTITXXIYYUHH（8）将（7）代入（8）式，可得YUYUYTSXSXSMTSMITXVXXSMIXMHHHHHHH2222222222,2TIYH（9）选择适当的TXS,，使得（9）（4），0UXSMH。（10）02222222TSXSXSMXSMIHHHHU（10）从（10）可得TFXMSHU。（11）TF是T的任意函数，将（11）代入（10），可得H22UMTF积分，得CTMTFH22U。C为积分常数，但0U时，K系和K系重合，Y应等于Y，即S应等于0，故应取0C，从而得到TMXMSHH22UU（12）代入（7）式，最后得到波函数的变换规律TMXMI2211EXPUUYYH（13）逆变换为221EXPTMXMIEISUUYYYH（13）相当于式（13）中的UU，带”，“的量和不带”，“的量互换。讨论TXS,的函数形式也可用下法求出因TXS,和势能V无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在K和K系中的表现形式，即可确定TXS,沿X方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为UMPP2222212122UUUUMPEMPMPMPE（14）据此，K系和K系中相应的平面波波函数为HETPXIEY，HTEXPIEY（15）（1）、（14）代入（15），即得TMXMI2211EXPUUYYH此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于K和K系的相对速度U，而与粒子的动量P无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。第六章中心力场61利用613节中式（17）、（18），证明下列关系式相对动量21121PMPMMRPVVVVM（1）总动量21PPRMPVVVV（2）总轨迹角动量PRPRPRPRLLLVVVVVVVVVVV221121（3）总动能M222222222121PMPMPMPTVVV（4）反之，有,11RMRRVVVMRMRRVVV22M（5）PPMP21M，PPMP12M（6）以上各式中，212121,MMMMMMMM证212211MMRMRMR，（17）21RRR，（18）相对动量21122121211PMPMMRRMMMMRPVVVVM（1）总动量2121221121PPMMRMRMMMRMPVVVV（2）总轨迹角动量221121PRPRLLLVVVVVVV52211PRMURPRMUR2112211PMPMMRPPR21PRPR由（17）、18可解出21,RRVV，即（5）式；由（1）（2）可解出（6）。总动能22112262221212222MPPMMPPMMPMPTVVVVVVMM2122222122112222122222MMPPUMPPMMUMMPPUMPPMMU2122221222211112122MMPPMMMPMMMM2222PMPV（4）从（17），18式可解出（5）式；从（1），2式可解出（6）式62同上题，求坐标表象中P、P和L的算术表示式RIPHRIPH，PRPRLVVVVV解211221121RRMMMIPMPMMPH（1）其中1111ZKYJXIR，而XXMMXXXXXXX1111，同理，YYMMY11ZZMMZ11；（利用上题（17）（18）式。）1RRRMM1；仿此可设2RRRMM1（2）代入（1）中，得RRRRMMMMMMMMMIP121221HRIH（3）2121RRIPPPHVVV2RIH（4）PRPRLVVVVV只要将（3）、（4）式中的P、P以相应的算符代入即可。63）利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱（A）电子偶素（POSITRONIUM，指EE束缚体系）（B）U原子（MUONICATOM）（C）U子偶素（MUONIUM，指UU束缚体系）解由氢原子光谱理论，能级表达式为22412NUEENH,PEPEMMMMU。（A）电子偶素能级22414NUEENH，（2EEEEEMMMMMU）（B）U原子能级22412NEUEUNH，（PUPUUMMMMU）（C）U子偶素能级22414NEMEUNH，（2UUUUUMMMMMU）64）对于氢原子基态，计算PXDD。解在求坐标系中，空间反演RR（JPJQPQ,RR）。氢原子基态波函数为021301001AREAPY（1）宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所以0,0XPX（2）由于100Y各向同性，呈球对称分布，显然有222222223131PPPPRZYXZYX（3）容易算出TYDRR21002222JQQPDDRDREARARSIN10230203A（4）2PTYYD10021002HTYYYYD1001001001002HTYD21002H2JQQYDDRDRRSIN21002H202AH（5）因此2X20A，022AXXXD（6）20223APXH，0223APPPXXXHD（7）3HDDXPX（8）测不准关系的普遍结论是2HDDXPX（9）显然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且3H很接近式（9）规定的下限2H。65）对于氢原子基态，求电子处于经典禁区AR2（即0。因此，电子处于经典不允许区的几率为AARDDDRREAP2020223SIN1PPJQQP（令AR2X）423324XXXDEAA23810134E66）对于类氢原子（核电荷ZE）的“圆轨迹”（指1,0NLNR的轨迹），计算（A）最可几半径；（B）平均半径；（C）涨落2122RRRD解类氢原子中电子波函数NLMY可以表示为JQJQY,1,LMLNLMLNNLMYRURYRRRR（1）（A）最可几半径由径向几率分布的极值条件0RUDRDLNR（2）决定。1NL时，0RN。NAZRNNECRRU1,0代入（2）式，容易求得ZANR02几（4）这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。（B）在NLMY态下，各LR之间有递推关系（KRAMERS公式）01241212222212LLLLLLRZALRZARRN5（参钱伯初、曾谨言量子力学习题精选与剖析P197）在（5）式中令0L，注意到10R。可设ANZRNLM216依次再取2,1L，得到AZLLNRNLM13212122NLAZNN（7）（C）222213512AZLLNNRNLM122121NLAZNNN（8）因此，R的涨落2122RRRDZANN4223（9）121222DNNNNRR（10）可见，N越大，RRD越小，量子力学的结果和玻尔量子轨迹的图像越加接近。67）设电荷为ZE的原子核突然发生B衰变，核电荷变成EZ1，求衰变前原子Z中一个K电子（S1轨迹上的电子）在衰变后仍然保持在新的原子1Z的K轨迹的几率。解由于原子核的B衰变是突然发生的。可以认为核外的电子状态还来不及变化。对于原来的K电子，其波函数仍未AZREAZRZ213100,PY（1）而新原子中K电子的波函数应为ARZEAZRZ121331001,1PY（2）将RZ,100Y按新原子的能量本征态作线形展开RZCRZNLMNLMNLM,100YY（3）则衰变前的S1电子在衰变后处于新原子的RZNLM,1Y态的几率为210021ZZCPNLMNLMNLMYY（4）因此，本题所求的几率为100P2212262332100100411DRREAZZZZARZPPYY6363321111211ZZZZZ（5）展开时保留到第三项当1Z，上式可近似取成2100431ZP（5）例如，10Z,99320100P；30Z,99920100P。68）设碱金属原子中的价电子所受电子实（原子核满壳电子）的作用近似表为222RAERERVL（10T时，A粒子1自旋向上的几率（答2COS2AT，取1H）B粒子1和2的自旋向上的几率（答0）C总自旋S0和1的几率（答都是21）D求和的平均值（答02211YXYXSSSS，ATSZCOS211，ATSZCOS212）。解从求体系的自旋波函数入手，由于232221SASSAH（1）易见总自旋S是守恒量，所以定态波函数可以选为2S、ZS的共同本征函数，按照总自旋量子数S的不同取值，本征函数和能级为43,0,4,100011AESAESSMCC（2）0T时，体系的自旋态为001021210CCBAC（3）因此，0T时波函数为TIETIEEET0100102121CCC（4）即434212121212121IATIATEETABBAABBAC42SIN212COS21IATEATIATABBA（4）A）由式（4）可知，在时刻T，粒子1自旋“向上”同时粒子2自旋“向下”，相当于21BA项的几率为2COS2AT。B粒子1和2自旋均“向上”相应于21AA，式（4）中没有这种项的几率为0。这是容易理解的。因为总自旋ZS为守恒量，而体系初态0ZS，所以任何时刻ZS必为0，不可能出现两个粒子均“向上”1ZS的情形。C由式（4）可知，总自旋量子数S取1和0的几率相等，各为21。由于2S守恒，这个几率不随时间改变D利用式（4）容易算出1S和2S的平均值为COS21,COS212SIN2COS21,0122212211。ATSSATATATSSSSSTZTZTZTYTXTYTX（5）第九章力学量本征值问题的代数解法91）在82节式（21）中给出了自旋（21）与轨迹角动量（L）耦合成总角动量J的波函数JLJMF，这相当于21,21SJLJ的耦合。试由82节中式（21）写出表91（A）中的CG系数JMMMJ21121解82节式（21A）（21B）21,021MMLLJJJLJMF11121LMLMYMLYMLL21,2121,212121,21JJMJJMJJYMJYMJJMJMLJ（21A）21JLJLJMF11121LMLMYMLYMLL21,2121,211122121,021JJMJJMJJYMJYMJJMJMLLJ（21B）21JL此二式中的L相当于CG系数中的1J，而212SJ,21,21MMMMJ。因此，（21A）式可重写为JM222112211MJMMJMJMJMJ212121212121212111111111MJJMMJMJJMMJ212112212121122111211111211121121,21MJJMJMJJMJJLJA（21A）对照CG系数表，可知当21121JJJJ,212M时，21111112212121JMJJMMJ而212M时，21111112212121JMJJMMJ对于21211JLJ的（21B）式，有21111111221,212121JMJMJMJ21111111221,212121JMJMJMJ92）设两个全同粒子角动量21JJJ，耦合成总角动量J，JMJ2Y21212121JMJMMMJMMJJMYY（1）利用CG系数的对称性，证明JMJJJJMJP22212YY由此证明，无论是BOSE子或FERMI子，J都必须取偶数证由式（1），JMJP212Y12212121JMJMMMJMJMJMYY把21MM,12122112JMJMMMJMJMJMYY利用CG系数的对称性21212112212JMJMMMJJJMMJMJYYJMJJJ22Y2对于FERMI子，J半奇数，J2奇数，但要求YY12P，即要求12JJ，所以J必须为偶数。12MAXJJ，（JJ2MAX情况，只能构成交换对称态，为什么）因此0,2,32,12LJJJ可验证态JMJ2Y的总数为12JJ。1212120JJJJJ。对于BOSE子，J整数，J2偶数，但要求YY12P即12JJ，故J也必须为偶数0,2,22,2LJJJ93）设原子中有两个价电子，处于NLE能级上，按LS耦合方案，LLL21，SSS21，JSL（总角动量）证明（A）SL必为偶数；（B）SLSLJ,L。当0S时，LJ（偶）；1S时，1,1LLLJ，J可以为奇，也可以为偶。证自旋的耦合2121SS，01反对称，单态对称，三重态S轨迹角动量的耦合LLL21，0,1,12,2LLLL其中L偶是对称态，L奇是反对称态，总的波函数（对于交换全部坐标，包括自旋）要求反对称，所以0S时，0,22,2LLLL1S时，1,12,2LLLL在两种情况下，SL都为偶数，但SLSLJ,L对于0S，LJ偶；1S，1,1LLLJ。J可以为奇，也可以为偶讨论本题结论与题92有无矛盾（按JJ耦合方案，似乎J必为偶数）。提示在本题中，若用JJ耦合来分析，J是否只有一个J值两种耦合方案得出的态数是否相等94）大小相等的两个角动量耦合成角动量为0的态00JJY，证明ZZJJ21JJJ,1,L的几率却相等，即121J。提示利用1200JMJMJMJ（P235，式（23）证DIRAC符号表示，有00JJYJMJJ2100JJ，JMJMJJ21122112211MJMMJMJMJMJ（1）在本题的情况下，JJJ21，0MJ，MMM令21。则（1）成为00JJMMJMJMJMJ00（2）其中00MJMJ即为耦合表象中的态00JJ用无耦合表象基矢展开时的展开式系数CG系数，其模即表示体系处于00JJ态时，测得ZJ1取值M（同时ZJ2取值M，M取JJJ,1,L各可能值）的几率。由提示，1200JMJMJMJ（3）121002JMJMJ（4）即，对于给定的JJJ21所合成的态00JJY，ZZJJ21JJJ,1,L的几率与M的具体取值无关，皆为121J。95）设JJJ21，在JMJJ21态下，证明（取1H）02211YXYXJJJJ，1211122111JJJJJJJJMJZ1211111222JJJJJJJJMJZZJM1证（参剖析，868等）96）在ZLL,2表象以为LM基矢中，1L的子空间的维数为3，求XL在此三维空间中的矩阵表示，再利用矩阵方法求出XL的本征值和本征态解在ZLL,2表象中，1L的子空间中的基矢为LMM1，1,0,1M。由于11MJMJMJJMJMMJMJJMJMJX1211MJMJJMJMJX1211121JJJX。对于本题，以上方式中LJ，XXLJ，LJ，ZZLJ不难求得01111110011XXXXXMMXLLLLLL2210011010XXXXLLLL。XL在此三维空间中的矩阵表示为ZLL,2表象01010101022XL（1）设XL的本征值为L1H，本征矢为CBAF，则本征方程为02102121021CBALLL（2）此方程有非平庸解的条件为系数行列式等于零，由此可解得本征值,012LL1,0,1L（3）将1L代入（2），可得02BA，022CBA，02CB。由此得2BCA，1212BCBA归一化112122B，取21B。121211F1L（4）同理，将1,0L分别代入（2），可求得121212F0L；121213F1L。第十章定态问题的常用近似方法101设非简谐振子的HAMILTON量表为0HHH222220212XUDXDUHWH3XHB（B为实常数）用微扰论求其能