x届高考数学总复习基础知识名师讲义学案第七章第八节《双曲线(二)》文

第八节双曲线二基础自测1X安徽江南十校摸底已知双曲线C1上一点P到两焦点的距离之差为X2A2Y212，则该双曲线的离心率是A2BCD3232解析由双曲线定义知2A2，得A1，又B1，C，离心率为A2B22E故选CCA2答案C2X茂名一模已知双曲线1M0的右焦点F3,0，则此双曲线的离心率为X2MY25A6B322CD3234解析因为双曲线1M0的右焦点F3,0，所以C3，MA23254，X2MY25所以E故选CCA32答案C3X唐山三模中心在原点，经过点3,0，离心率为的双曲线的标准方程为53_解析依题意，双曲线实轴在X轴上，且A3，设其方程为1B0，则X29Y2B2，得B216，故双曲线的标准方程为132B2353X29Y216答案1X29Y2164X梅州一模已知双曲线1AB0的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离X2A2Y2B23心率为_解析因为AB0，所以渐近线YX的斜率小于1，因为两条渐近线的夹角为，BA3所以，渐近线的倾斜角为，即TAN，又C2A2B2，C2A2A2，所以6BA63313，所以EC2A243233答案2331XX卷已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F3,0，离心率等于，则双曲线C32的方程是A1B1X24Y25X24Y25C1D1X22Y25X22Y25解析依题意C3，E，所以A2，从而A24，B2C2A25故选B32答案B2XX卷已知00，B0的一条渐近线的斜率为，X2A2Y2B22且右焦点与抛物线Y24X的焦点重合，则该双曲线的离心率等于3ABC2D2233解析抛物线的焦点坐标为，0，双曲线的右焦点为C,0，则C，渐近线为33YX，因为一条渐近线的斜率为，所以，即BA，所以B22A2C2A2，即BA2BA22C23A2，即E23，E故选B3答案B2X长春调研F1，F2为双曲线1A0，B0的左、右焦点，过点F2作此X2A2Y2B2双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，满足|3|，则此双曲线的渐近线方程为MF1MF2_解析设该双曲线的渐近线方程为YX，则MF2的斜率为，所以MF2的方程为BAABY（XC）所以可求得交点M所以|B，则|3B，在MF1O中，|ABA2C，ABCMF2MF1|A，|C，COSF1OMCOSF2OM在F1OM中，由余弦定理可知OMOF1AC又C2A2B2，可得A22B2，即，因此渐近线方程为YXA2C23B22ACACBA2222答案YX22六节椭圆二基础自测1X东北四校一模已知方程1表示焦点在Y轴上的椭圆，则实数K的X22KY22K1取值范围是AB1，12，2C1,2D12，1解析依题意，2K12K0，解得1K2故选C答案C2XX郴州模拟设E是椭圆1的离心率，且E，则实数K的取值范围是X24Y2K12，1A0,3B3，163C0,3D0,2163，解析当K4时，C，由条件知；K414K4K163当02，所以|4|M2N2M2N2B0的左、右焦点分别为F1、F2，PX2A2Y2B2是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为ABCD36131233解析因为PF2F1F2，PF1F230，所以PF22CTAN30C，PF1C233433又|PF1|PF2|C2A，所以，633CA1333即椭圆的离心率为故选D33答案D2X安徽卷设椭圆E1的焦点在X轴上X2A2Y21A21若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；2设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上X象限内的点，直线F2P交Y轴于点Q，并且F1PF1Q证明当A变化时，点P在某定直线上1解析因为焦距为1，所以2A21，解得A21458故椭圆E的方程为18X258Y232证明设PX0，Y0，F1C,0，F2C,0，其中C2A21由题设知X0C，则直线F1P的斜率KF1PY0X0C直线F2P的斜率KF2PY0X0C故直线F2P的方程为YXCY0X0C当X0时，Y，即点Q坐标为CY0CX00，CY0CX0因此，直线F1Q的斜率为KF1QY0CX0由于F1PF1Q，所以KF1PKF1Q1Y0X0CY0CX0化简得YX2A212020将代入椭圆E的方程，由于点PX0，Y0在X象限解得X0A2，Y01A2即点P在定直线XY1上1X长春调研以O为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足|2|MF1|2|，则该椭圆的离心率为MOMF2AB3323CD63255解析易知点M在OF2的垂直平分线上，过M作X轴的垂线，交X轴于点N，则点N坐标为，并设|2|2|2T，根据勾股定理可知，|2|2|C2，0MF1MOMF2MF1NF1|2|2，得到CT，由|MF1|MF2|2A得A，则E故选CMF2NF2623T2CA63答案C2X潮州二模设椭圆1AB0的左右顶点分别为A2,0，B2,0，离心率X2A2Y2B2E过该椭圆上任一点P作PQX轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|QP|PC|321求椭圆的方程；2求动点C的轨迹E的方程；3设直线ACC点不同于A，B与直线X2交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论解析1由题意，可得A2，E，CA32可得C，3所以B2A2C21，因此，椭圆的方程为Y21X242设CX，Y，PX0，Y0，由题意得ERROR即ERROR又1，代入得21，X204Y204X2412Y即X2Y24即动点C的轨迹E的方程为X2Y243设CM，N，点R的坐标为2，T，因为A、C、R三点共线，所以，而M2，N，4，T，ACARACAR则4NTM2，所以T，4NM2可得点R的坐标为，2，4NM2点D的坐标为，2，2NM2所以直线CD的斜率为K，N2NM2M2MNM24而M2N24，所以M24N2，代入上式可得K，MNN2MN所以直线CD的方程为YNXM，MN化简得MXNY40，所以圆心O到直线CD的距离D2R，4M2N244因此，直线CD与圆O相切，即CD与曲线E相切十一节轨迹方程的求法了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系知识梳理一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念在直角坐标系中，如果某曲线C看作满足某种条件的点的集合或轨迹上的点与一个二元方程FX，Y0的实数解建立了如下关系1曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线二、求曲线的轨迹方程求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握外，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力它一般分为两类基本题型一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程等量关系，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用1用直接法求曲线轨迹方程的基本步骤建系设点建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标MX，Y；列几何等式写出适合条件的点的集合PM|PM，关键是根据条件列出适合条件的等式；化为代数等式用坐标代换几何等式，列出方程；化简把方程FX，Y0化成最简形式；证明证明化简后的方程就是所求曲线的方程除个别情况外，化简过程都是同解变形，所以步骤可以省略不写如有特殊情况，可适当加以说明，步骤也可省略2求曲线轨迹方程应注意的问题要注意一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明X的取值范围，或同时注明X，Y的取值范围，保证轨迹的纯粹性；若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性；曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位置、类型基础自测1X衡水中学模拟下列说法正确的是A在ABC中，已知A1,1，B4,1，C2,3，则AB边上的高的方程是X2B方程YX2X0的曲线是抛物线C已知平面上两定点A、B，动点P满足|PA|PB|AB|，则P点的轨迹是双曲线12DX、三象限角平分线的方程是YX解析A选项中高线为线段，B选项中为抛物线的一部分，C选项中是双曲线的一支故选D答案D2已知点A2,0，B3,0，动点PX，Y满足X2，则点P的轨迹是PAPBA圆B椭圆C抛物线D双曲线解析设动点P的坐标为X，Y，则2X，Y，PA3X，Y，由X2，得Y2X6故选CPBPAPB答案C3已知椭圆1的左、右两个焦点分别是F1，F2，P是这个椭圆上的一个动点，延X24Y23长F1P到Q，使得|PQ|F2P|，则Q的轨迹方程是_解析提示用定义法求轨迹方程答案X12Y2161曲线C是平面内与两个定点F11,0和F21,0的距离的积等于常数A2A1的点的轨迹，给出下列三个结论曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于A212其中，所有正确结论的序号是_解析曲线C经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么A1，与条件不符；曲线C关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF1|PF2|A2，关于原点的对称点处也一定符合|PF1|PF2|A2；三角形的面积SF1F2P，因为SA22F1F2P|PF1|PF2|SINF1PF2|PF1|PF2|所以正确1212A22答案2X新课标全国卷在平面直角坐标系XOY中，已知圆P在X轴上截得线段长为2，在Y轴上截得线段长为2231求圆心P的轨迹方程；2若P点到直线YX的距离为，求圆P的方程22解析1设PX，Y，圆P的半径为R则Y22R2，X23R2Y22X23，即Y2X21P点的轨迹方程为Y2X212设P的坐标为X0，Y0，则，即|X0Y0|1|X0Y0|222Y0X01，即Y0X01当Y0X01时，由YX1得X012X1202020ERRORR23圆P的方程为X2Y123当Y0X01时，由YX1得X012X1202020ERRORR23圆P的方程为X2Y123综上所述，圆P的方程为X2Y1231XX模拟设M、N为拋物线CYX2上的两个动点，过M、N分别作拋物线C的切线L1、L2，与X轴分别交于A、B两点，且L1与L2相交于点P，若AB11求点P的轨迹方程；2求证MNP的面积为一个定值，并求出这个定值1解析Y2X，设MM，M2，NN，N2，则依题意知，切线L1，L2的斜率分别为K12M，K22N，切线方程分别为Y2MXM2，Y2NXN2，则A，B，设PX，Y，由ERRORM2，0N2，0得ERROR因为AB1，所以|NM|2，即MN24MN4，将代入上式得YX21，所以点P的轨迹方程为YX212证明设直线MN的方程为YKXBB0联立方程ERROR消去Y得X2KXB0，所以MNK，MNB，点P到直线MN的距离D，MN|MN|，所以S|KMN2MNB|1K21K2MNPDMN|MN|MN2|MN|21212|KMN2MNB|14即MNP的面积为定值22XX六校联考已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在X轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点过右焦点F与X轴不垂直的直线L交椭圆于P，Q两点1求椭圆的方程2在线段OF上是否存在点MM,0，使得|MP|MQ|若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由解析1因为椭圆的短轴长2B2，B1，又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，所以BC，得A2B2C22故椭圆的方程为Y21X222若L与X轴重合，显然M与原点重合，M0若直线L的斜率K0，则可设LYKX1，设PX1，Y1，QX2，Y2，则ERROR消去Y得X22K2X22X120，整理得12K2X24K2X2K220X1X2PQ的中点横坐标为，4K212K22K212K2代入LYKX1可得PQ的中点为N，由|MP|MQ|得2K212K2，K12K2MNPQ，则KMNK1，可得M，所以M，综合K212K2K212K211K220，12得M0，12十二节空间直角坐标系1了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2会推导空间两点间的距离公式知识梳理一、空间直角坐标系1定义在空间取定一点O，以点O为原点作三条互相垂直的数轴，分别称为X轴，Y轴，Z轴，统称为坐标轴三个坐标轴的次序和方向按右手系排列这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系O为原点坐标平面两条坐标轴确定的面；XOY平面由X轴及Y轴确定的坐标面；YOZ平面由Y轴及Z轴确定的坐标面；ZOX平面由Z轴及X轴确定的坐标面三个坐标平面将空间分成八个部分，每一部分称为卦限，从由X轴，Y轴，Z轴的正半轴所确定的半平面隔出的那一部分起，按逆时针方向，依次为第卦限，第卦限，第卦限，第卦限，第卦限，第卦限，第卦限，第卦限2空间点的坐标表示设M是空间一点，过点M分别作垂直于X轴，Y轴，Z轴的平面，它们与坐标轴的交点分别为P，Q，R，这三点在三坐标轴的坐标依次为X，Y，Z，这样，由空间一点M唯一地确定一个三元有序数组X，Y，Z反之，设X，Y，Z为一个三元有序数组，过X轴上坐标为X的点，Y轴上坐标为Y的点，Z轴上坐标为Z的点，分别作X轴，Y轴，Z轴的垂直平面，这三个平面的交点M便是三元有序数组X，Y，Z唯一确定的点所以空间点M与三元有序数组X，Y，Z一一对应，称为M点的坐标，记为MX，Y，Z3坐标轴、坐标平面上的点的特征X,0,0X轴上的点；X，Y,0XOY面上的点；0，Y,0Y轴上的点；0，Y，ZYOZ面上的点；0,0，ZZ轴上的点；X,0，ZZOX面上的点坐标系中各卦限的点的坐标的符号特征第卦限正，正，正，第卦限负，正，正，第卦限负，负，正，第卦限正，负，正，第卦限正，正，负，第卦限负，正，负，第卦限负，负，负，第卦限正，负，负4空间里点的对称规律规律1关于坐标平面对称的两点的坐标的特点点PX，Y，Z关于XOY平面对称的点为PX，Y，Z；点PX，Y，Z关于XOZ平面对称的点为PX，Y，Z；点PX，Y，Z关于YOZ平面对称的点为PX，Y，Z规律2关于坐标轴对称的两点的坐标的特点点PX，Y，Z关于X轴对称的点为PX，Y，Z；点PX，Y，Z关于Y轴对称的点为PX，Y，Z；点PX，Y，Z关于Z轴对称的点为PX，Y，Z规律3点PX，Y，Z关于原点对称的点为PX，Y，Z规律4点PX，Y，Z关于点AA，B，C对称的点为P2AX,2BY,2CZ二、空间中两点的距离公式设M1X1，Y1，Z1，M2X2，Y2，Z2，如图所示，则|M1P|X2X1|，|PN|Y2Y1|，|NM2|，|M1N|2|M1P|2|PN|2X2X1|Z2Z1|2Y2Y12，|M1M2|2|M1N|2|NM2|2X2X12Y2Y12Z2Z12，点M1与M2间的距离为DX1X22Y1Y22Z1Z22三、线段的中点坐标公式在空间直角坐标系OXYZ中，若AX1，Y1，Z1，BX2，Y2，Z2，则线段AB的中点坐标为，X1X22Y1Y22Z1Z22基础自测1X合肥模拟P关于Z轴的对称点为12，0，3A12，0，3B12，0，3C12，0，3D12，0，3解析关于Z轴对称，横、纵坐标变为原来的相反数，竖坐标不变故选C答案C2到A1,0,0的距离除以到B4,0,0的距离的值为的点PX，Y，Z的坐标满足12AX2Y2Z24BX2Y2Z2XC2Y2Z24X52D2Y2Z2XX52解析，化简得X2Y2Z24X12Y2Z2X42Y2Z212答案A3空间直角坐标系中，A6,0，1，B3，5,7，则AB_答案724设A3,3,1，B1,0,5，C0,1,0，AB的中点为M，则|CM|_解析点M坐标为，所以|CM|2，32，32023212302532答案532在空间直角坐标系中，已知点A1,0,2，B1，3，1，点M在Y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_解析设M0，Y,0，由XY2413Y21可得Y1，故M0，1,0答案0，1,0已知ABCD为平行四边形，且A4,1,3、B2，5,1，C3,7，5，则顶点D的坐标为_解析由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC的中点O，设DX，Y，Z，则，4，1，所以72，4，172X225Y21Z2X5，Y13，Z3，故D5,13，3答案5,13，3第十节抛物线二基础自测1X合肥月考已知抛物线Y22PXP0的准线与圆X2Y26X70相切，则P的值为AB1C2D412解析抛物线Y22PXP0的准线为XP2圆X2Y26X70，可化为X32Y216，则圆心为3,0，半径为4又抛物线Y22PXP0的准线与圆X2Y26X70相切，34，解得P2故选CP2答案C2已知抛物线CYX2，则过抛物线的焦点F且斜率为的直线L被抛物线截得的线段1412长为AB94178C5D4解析抛物线CX24Y，则焦点F0,1直线L为YX1由ERROR得X22X4012由韦达定理，得X1X22，X1X24由弦长公式可得，截得的线段长为1K2X1X224X1X2112252244答案C3X东北三校X次联考若拋物线Y22PXP0上一点P到焦点和拋物线的对称轴的距离分别为10和6，则P的值为_解析设PX0，Y0，则ERROR所以362P，即P220P360，解得P2或10P218答案2或184X宁夏银川一中第五次月考已知圆X2Y26X70与抛物线Y22PXP0的准线相切，则此抛物线的焦点坐标是_解析圆方程X2Y26X70化为X32Y216，垂直于X轴的切线为X1，X7抛物线Y22PXP0的准线方程为X，因为抛物线Y22PXP0的准P2线与圆X32Y216相切，所以1，解得P2所以抛物线的焦点坐标为1,0P2答案1,01X江西卷已知点A2,0，抛物线CX24Y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|A2B12C1D1355解析依题意可得AF所在直线方程为Y1，代入X24Y得Y，又X2352|FM|MN|1Y1Y15答案C2X辽宁卷如图，抛物线C1X24Y，C2X22PYP0点MX0，Y0在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，BM为原点O时，A，B