2016线性变换习题库

线性变换习题1、设三维线性空间V上的线性变换在基下的矩阵为，则在123,3IJAA基下的矩阵为。23,解设基到基下的矩阵为，即有。而123,231,X23123,X，则，得到123,A231,BA。21331AB2、设是N维线性空间V上的线性变换，与分别表示的值域与核，证IMKER明下列条件等价（1）；IMKERV（2）；0（3）若是的一组基，则是的一组基；12,RI12,R2IM（4）秩秩2（注表示直和）IMKER证明显然成立12令，设的一组基为，并扩充为的一组基DIERER1,RV，。由于，11,RN1I,RNLIMKE0，则，即线性无关，从而DIMIIKERDIMI1,RN线性无关。则，故1）成立。11,RN1,RV令，则。存在，使得30RKK0RKKER。又因为是的一组基，则存在，满足1R12,RI12,R，。把扩充为的一组基，则II1,R12,RV11,RN为的一组基。即，从而1,RNKE1RNLL，故，则10RRNL110RNKLL线性无关。又因为，则，故1,R2IM2DIIMIIR，从而为的一组基。2DIMI1,R见第4题。33、设是维线性空间V上的线性变换，记，NI|V。求证下列命题等价KER|0（1）；IMKERV（2）；（3）；2ER（4）。I证明见第2题。4、设为维线性空间的线性变换关于某基的矩阵，证明的秩的秩当ANV2A且仅当。10V证明设。因为，且对于，存在2VV，使得。设，其中，。即12112，。即。从2122而有，故的秩的秩。2VA2DIMIV反过来，设秩秩，则秩,110DIM0N即秩。于是，221DIMI022I21I但，从而。1011又因为，存在，有，且，即。10VV02，则，即，即证。21015、给定上二维线性空间的线性变换，在一组基下的矩阵表示为RA，。求的不变子空间。10AA解由。E当时，特征值为，。对应的特征向量分别为11A21A，。故不变子空间有，,A2,A0，。1L1L当时，不存在特征根，则不变子空间为。6、设是数域上的一个维线性空间，是的一个基，用表示由VPN12,NA1V生成的线性子空间，令12NA211|0,NNIIIKAKP（1）证明是的子空间2V（2）证明，12（3）设上线性变换在基下的矩阵是置换矩阵（即的每一12,NAAA行与每一列都只有一个元素为1，其余元素全为0），证明与都是的不变子空间。1V2证明（1），2,VLP则，222111NNNIIIIVKABKAB，故是的子空间。2211NNIIILLLV2（2），而21212,NNVLALALAV，12121211NNNALALALALAV则。V若有交集的话，则，而这时矛盾的。则12,12NKK120NK，从而。0V（3），不妨设置换矩阵，则1212,NNAAA1A，。，则12N1V；12NNAA，则。故与2V122NKKAKAV1都是的不变子空间。7、设是维线性空间上可逆线性变换，NV（1）试证的逆变换可表成的多项式。1（2）如令为的特征多项式，试证当多项式与互素时，FGF是可逆线性变换。G证明（1），110NNFEAAA（是可逆变换）。又因为，则010NAAF，故。121NN12111NNN（2），则存在，使得，即,GF,UVUGVF，故，则是可逆线性变换。UVG8、设与是向量空间的子空间，且有（即是与的直和），1V2V12V1V2若定义映射11212F其中，V12V证明1）是的线性变换；2,F2），12F3）（零变换），（的恒等变换）。210F12VFID证明1），则2V，1111FFFFF1KKK则是的线性变换。同理可得是的线性变换。FV2FV2），则，同理可证。21111FF21F2F3），且，12V12,V121212FFF则。又由于，其中，FID0FF0V，其中，从而。212121210F2121FF9、已知中线性变换对基的作用为P,2A则在下的矩阵为21,解，则，即。121212,A0101210、为数域为的线性变换，,且对任,有P2VPAVCDX，求的全部特征值。若，中是否存在一组基，使在这组基下的矩AXDA阵为对角矩阵为什么解令，由，得12AAX，即，故。112212ACACD10ACD01AC特征多项式为，则为全部特征值。21EA若，又由于，线性变换有两个不同的特征值，故DAAD中存在一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵。V11、设，其中为任意3维实向量，则线性变换在112233XX132XR下的矩阵表示为10,_解。302112、设是N维线性空间的一组基，对任意N个向量，2,ENV12,NV证明存在唯一的线性变换使得。T,12,IIE证明设，定义线性变换。12NXEX12NTXX令，则BB12NCECE，12NCEB12NKBKEB，12NTCCT，则是一个线性变换。12NKBKKT又，即存在唯一的线00IIEE100IINE性变换使得。T,II13、设是数域P上的3维线性空间，线性变换在的基下的矩VFV123,E阵为21530（1）求线性变换在的基下的矩阵FV1213,EE（2）求线性变换的特征值和特征向量（3）线性变换可否在的某组基下矩阵为对角形，为什么F证明（1），则12312131,0EE。则在的基下的矩阵123123,502FEEFV1213,EE为。A1600305811（2）在的基下的矩阵，则特征多项式FV123,E2530B，故特征值为（三重）。当时，由得基3EB110EBX础解系为，则属于的线性无关的特征向量为，属于1,123E的全部特征向量为，其中。K0（3）由于（的重数），线性变换不可在的基下矩1DIM3V1FV123,E阵化为对角形。14、设是数域P上的3维线性空间，线性空间在的基下的矩F123,阵为，问可否在的某组基下矩阵为，为什么461532AFV648B解，则具有相同的特征值。而得31EB,A0EAX到基础解系为，线性无关的特征向量为，12,025,0112E。特征向量的个数小于特征值的重数，故不可以对角化。同理不可以对135EAB角化。故不能在的某组基下的矩阵为。FVB15、设是维向量空间,是上的线性变换即，且有个互异N,FGV,FGLVFN的特征根证明的充要条件是是恒等变换,的线性组合。FG0FI21,N证明由是,的线性组合。可令0I21,NF，则011NAFA，而，故。201NGFF1201NGFAFAFFG由，令，则F01NKGK，故。12201010NNKFFFKFK即。1GKK16、设为数域上线性空间上的线性变换,多项式互素,且满足FPVPXQ求证且为的不变子空间,这里0PFQWSF，其中表示的核。,WKFSQFKG证明由于表示的核，则可得，；GPFV0PF可得，。而，则存在，SQFV0F,1XQ,UXV。，有。1UXPVXUFVF而又因为，则，即。则FWVFQSWVS。，有，则。故VSS0PVFQ，从而有。0WV17、设是数域上全体2阶矩阵所构成的线性空间,给定一矩阵定义上的P,AV变换如下,XA1证明为上的一个线性变换V2取的一组基求在此组基下12340100,1EEEE的矩阵3求证如果可相似对角化,则可找到的一组基使在此组基下的矩阵为对角阵AV证明设为的一组基，12N取向量，NBB12NCC则，12NC12NKBKKB，AA，则是一个线性变换。KK（2）令，则ABCD，123410100,AAECCC12340101,0ABAAECDCC1234000,110BABBECDDD123400,1ABBBECDDD所求矩阵为。0ABCD（3）设可对角化，即存在可逆矩阵，使得，即存在T12AT也是的一组基，且11234,TEETV，11112AET11112222TET111133332AET1111444242TET从而。12111123423412,EEETE18、设看成上的线性空间，取定。对任，令NVP,NABCDPNX。求证XABCX1是的线性变换2当时,可逆的充要条件是0D0AB证明，,NXYP,ABCXYDAXY，KKKBCK则是的线性变换。V（2），则，从而有0CDXAXA先证充分性若，则存在，并且,在上定义线性变换为B1,NPV，可证明也是的线性变换。且，其中是上的恒等变1XAV换。则可逆。再证必要性。由于可逆，在存在可逆变换，使得。取级单位阵N有，两边去行列式，则，即。EVEAB1AEB0A19、设是线性空间的线性变换且。令证明212,V。12证明由于，又因为，则1221DIMI0DIMI0NV2，即。但是，则2DIIV11。，存在，。而1101V，则，即，从而有。2210010V综上可得。12V20、设是复数域上的维线性空间,是的线性变换,且,证明N,FGVFG1如果是的特征值,那么,的特征子空间是的不变子空间F2至少有一个公共的特征向量。,FG证明（1）令，则，则，即，则是的VFFGFGVG不变子空间。（2）是的不变子空间，令，则，。而G|V，即，从而至少有一个公共的特征向量。|VF0GH,FG21、设是数域所有3维列向量构成的线性空间,定义的映射F460351AVXA1证明是线性变换2求的核和值域的维数KERIM3求的特征值和对应的特征向量。证明（1）由，XA,YV,XYKXAKX，则是的线性变换。V（2）由可得基础解系为。则，。0AX0,DIMKER0DII3（3）得特征值为，。设线性空间的一组基为。E123V123,当时，得基础解系为，则属于1的全部的10AX12,0,特征向量为，其中为任意非零常数。123KK2,K得基础解系为，则属于的全部的特征向量为2E，其中为任意非零常数。313K3K22、令为数域上一维线性空间,是上线性变换,且在中有个不同的特征根VPNVPN证明线性无关的充分必要条件是其12,N21,N1,NI中是相应于的特征向量,。II,I证明其中是相应于的特征向量。则，1,NIIAI1N。令，且由于线性无11NNN120NK1,N关，则有，系数矩阵为范德蒙德行列式，由于互不相同，121120NNKKI则，则线性无关。10K1,N反之，若线性无关，则。1,N112,NNVLL，则，V1212,NNL1,I，。且是相应于的特征向量。II,II23、设数域上三维线性空间的线性变换在基下的矩阵是,则PV123,201在基下的矩阵是_123,解，其中。令123123,A120。而，其中，123123,B123123,X102则1021BXA24、设是数域上偶数维线性空间上的线性变换,那么与具有不相同的BPV特征值行列式特征多项式在同一基下的矩阵CD解设，一组基为，且。DIM2VN12,N1212,NNA则1212,NNNA即与具有相同的特征多项式，特征值，在同一基下的矩阵相同。25、设表示实数域上的次数小于3的多项式,再添上零多项式构成的线性空间,而3PX是的一组基,线性变换满足22123,1,FXFXFX3PX1X1求在已知基下的矩阵2设求。213,FXXF证明（1），2221123113,FXXXFXFX，2221232,FXXXFXFX2223123211,1FXXXFXFX则在这组基下的矩阵为。321（2），221FXXFFX则。2212331FFX26、设使二维列向量空间的线性变换,设定义P12,P,X1求值域的基与维数22求核的基与维数103求证21P证明（1）。设的一组基为，1212XXX2P1,0,在这组下的矩阵为。而，则一组基为。A2DIM,（2）由得基础解系为，故核的基为与维数为1。0X1,10,（3）显然有，而，则20P212DIIDIMPP。2127、设是维线性空间上的线性变换。若则NV1I0,RN1存在个向量使线性无关R12,NR12,NR2存在的一个非恒等线性变换,使得。V证明（1）由设的一组基为，并扩充为的一组1DIM01012,RV基为。则，21,RN12,RNVL，111,RNRVL又因为，故，从而线性无关。即1DIMI0VNDIMVNR1,RN存在个向量使线性无关。NR12,RRR12,R（2），。则属于的特征值。，II0II。属于的一个特征值。则存在一个非零恒等变换，使得是幂零,IR变换，满足，。，。则0I1,2RII1,2,RN，即证。1211,RNRNRNL28、设为数域上二阶方阵，定义上变换如下ABACDP2P2,XX1）证明为线性变换；2）求在基下的矩阵，其中1212,E10,E12,0。210,203）证明必以0为特征值，并求出0作为的特征值得重数。证明（1），,XYVAAXAYXY，KKK则为线性空间的一个线性变换。V（2），11121200,BBEAECC，12121212,00CADADC，2121121200,BBEAEDADA2212120,0BBCC则在基下的矩阵为。1212,E00BADBBCC（4），显然是线性变换的四重特征根。4BAD29、给定标准度量。求出中所有保持下列正方形22XYNOQMPDCBA（其中，）整体不变（即正方形四1,A1,B1,1,条边上的点经过变换后仍落在这四条边上）的正交变换。证明取上的一组标准正交基，。设上的变换在21,02,2下的矩阵为。根据题意得不仅是正交变换，而且或者12,A1，而或者。满足这样条件的线性变换对应221I的矩阵为，可以分别取为，I1020A301A，。他401A50A607180们的几何意义分别对应的是表示逆时针以坐标原点旋转（）。I2I1,34表示关于轴对称变换，表示关于轴对称变换，表示关于轴对5X6YYYX称变换，表示关于轴对称变换。8YX30、设为维复线性空间，是上一些线性变换组成的非空集合，已知VNMV中的元素没有非平凡的公共不变子空间，又线性变换满足M,证明必存在复数使得，其中为恒等变换。II证明假设不是数乘变换，则中必存在一个特征子空间，且是的一V个非平凡子空间。由于，故是的一个不变子空间，这与M中的元素没有非平凡的公共不变子空间矛盾。故是一个数乘变换。M31、在实维线性空间中是否可能存在线性变换满足NN20I其中为单位变换。证明你的结论。I证明假设存在线性变换满足条件，且设属于特征值的特征向量为，即，则。从而有，由于，则22210I0在实数域上无解。这与存在特征值矛盾。故不可能存在这样的线性210变换。32、设为维线性空间的线性变换，及分别为的象空间以及核空间，NVV10证明。1DIMI0N证明设的一组基为，它们的原像为，即，12,R12,RII。取的一组基，则为的一组基。1,2IR1,RS12,SV，有。又因为为的一组基，则存在V12SKK12,R，使得，即12,RLL1RRLLLL。则有10R，即，从而1RRSLLL11RRSLLL为的一组基。而，则。由于，12,SVDIMVNSDIMVR，则。DIM0RN1I0N33、设和是线性空间的两组基，且到12,E12,NFF12,NE的过度矩阵是，若是上的线性变换，且则在NFFPV,IF下的矩阵是（）。12,E解，有12,NNFFE1,2,IEF，即在1221,NNEFEP下的矩阵是。,NP34、设是4维欧式空间，是的一个正交变换。若没有实特征值，求证可分VV解为两个正交的二维不变子空间的直和。证明是4维空间，则的特征多项式为4次，又没有实特征值，从而特征多项式一定A是两个实数域不可约二次多项式的乘积。在4维复空间内一定存在复特征值，且其虚部不为0，共轭成对，令为，A1AIB，都不为0，易知共轭的特征值对应的特征向量也共轭，从而，一对共轭特2AIB12,征值对应于两个4维实数列向量，且AUIVA1IB1,UV1AIVAIBUIVUIV，则，。线性无关，否则令，则可得到1AUABV1AAB,H，这是不可能的，所以线性无关。由此可得的生成子空间即为0HUV,UV在下的一个不变子空间，同理可得另一个不变子空间。因为不同特征值的特征向量线V性无关，从而这两个不变子空间的直和为。进而可以将不变子空间的基标准化，得到两V个这个正交的不变子空间。35、设为中线性变换，且，证明当且仅当,2,KER，其中为的核。KER证明，则，。由的任,22意性，则，即。0R，则，同理。KER036、设为中线性变换，且，。证明,PXFXFFXF，其中为单位变换。证明，FXFFXFFXFFXFFX则。37、设是数域上维线性空间的一个线性变换，证明可以在中选取这样的二FNVV个基和，使得对V中的任意向量，若，则1,N1,1NIK，这里。RIK0R证明设为的一组基，且在这组基下的矩阵为。不妨设，故12,NEAR存在可逆矩阵，使得。,PQ0REA令，则，从而有1212,NNE11212,NNEQ。，则11212,NNQA212,NX11122211222,NNNNNXXXQPA令，故，则11212,NNQP12120,RNNXE，。从而存在和即为所12RXX0R12,N12,求的的两组基。V38、已知上的一个线性变换在一组基下的矩阵为1234,30121求其特征值及对应的特征向量；2求的一组基使的矩阵对角化；V解（1）设，则根据特征多项式，特征值3021A23EA为。当时，由得基础解系为，则线性无2,330EAX1,0,01关的特征向量为，。124当时，由得基础解系为，则线性无关的特X,征向量为，。3243（2）令为到的过渡矩阵，则在基10T1234,1234,的矩阵为对角阵。1234,03239、设是数域上的维线性空间，是的个非零向量，为上的线VPN12,NVV性变换，满足110,2,3IIN（1）证明是的一个基。N,2V（2）对于求线性变换的值域（也成为的像）的K,KKVKIMKA一个基。证明1）假设线性相关，即，。，这是12,1201210矛盾的，故线性无关。假设中个向量线性无关，考虑个。不妨令12,NMM，则0KK，12213210MMMMKKK即，则，从而。即线性无关。有归230MMK20MK1K12,M纳假设可得线性无关，即为的一组基。12,N12,NV2），其中。1212,NNA01100，其中中前列和后行元素均为零。1212,KKNNKNK即秩秩。则。KA12121,KVL40、已知全体实的2维向量关于下列运算构成上的线性空间RV221121,AKBAKB（1）求的一组基。V（2）定义变换，证明是一个线性变换，并求在的一,V组基下的矩阵表示。证明1）令，其中为不为零的实数。则12,0,0K12,，即，解得，即12,1K20K120K线性无关。，则，即,0,0AB123,AB，若，则，故311323,0KKAKB3K230K，线性相关。若，则，至少一个不为零。,0,BA13123,从而为线性空间的一组基。V2），。12,A1212,BA，12AB，即是一个线性变换。2111,KKABAK为其一组基。且。,010,0,41、设，是上的线性空间，是线性变换，使得1NNVR1KNKV，求象空间和核空间0,1212KNNKXXXXIMK的基和维数。KER解对于进行讨论，当时，当NM2K，1120,0,KN,，120,0KNKK，121,0,1KNN11200,0KNNNKK则，其中1212,KNNA，表示第行。秩秩，1000101KKANKKKA2K。，则1,KKNKNVL1DIMI0KKVN。DIM0211,L当时，则，其中K12,KNNA，秩秩，。1001001KAKA32KVN1DIM02KN1112,KNKKNNKNVL。2同理时，KM，秩秩，。12NKAKV1DIM02KNK，秩秩，。N，秩秩，。KK32KK1I2K42、线性变换使。则在基下2R,2ABBA1,0的矩阵是（）130013131DCBA解，则B2,3,43、设是欧氏空间，是的对称变换，证明如果是的不变子空间，则在VVWW中的正交补也的不变子空间。W证明是不变子空间，。，。,0,0又因为是的对称变换，即证。V,044、设是维线性空间上的线性变换，证明与有相同的特征值。,FGNFG证明令，是属于特征值的特征向量。，则的特征值GF也为。45、设数域上维线性空间上的线性变换，但，。证明FNV10N0N（1）所有与可交换的作一线性变换，即都可表为如下形式，其中是上的恒等变换，。2101NVAAVI01,NAF（2）如果记表示上的所有线性变换构成的向量空间，END，则是维线性空间，并求的一组基。,CCC证明（1）由，但，则。从而10N0N0N，即，两边作用于2101NNAA1210NNAA可得。1012VN（2）可得，。即110NN0V，则，又因为211NAA21NAA中，则的一组基。0210VNC21,N46、数域上维线性空间上的线性变换关于的基的矩阵为对角阵，FVV12N，则向量是线性变换的_（特征向量）12N，47设是数域上的维线性空间的线性变换，如果存在向量，使得，但10N证明（1）线性无关，（2）在某基下的矩阵为0,N1,N，001010证明（1）令，把等式两边作用，则112NKK1,N，故线性无关。2NK,，（2），10,0N，11,0NN，则。1100,010NN，48、对，定义其上变换如下2ABRCD1ABCD（1）、证明是一个线性变换；（2）求在基下的矩阵；（3）求的值域1212000,1EE，给出它的一个基和维数；（4）把核的一个基扩张为的一个基，并求IMKER2R在该基下的矩阵。解（1）任取，则可以验证加法和数乘满足，即是一个线122,ABRCD性变换，这里省略。（2），111220,1EE1212122,01，2121122,0EE，2212121,。1212121201,EE（3），即。12121212,VLEDIM2V（4），即可得基础解系为，。10234001X1,0,10则。由于，线性无1122,LE1212,E1212,E关，因此也可以作为的一个基。且R121212121212121201,E49、设是维线性空间的线性变换，是的子空间，表示由中向量的象组NVWVW成的子空间，证明维（）维维。10证明由于，。根据10|0V1|0W，则。DIMIDIMVN1DIIMDIW50、设，是二维向量空间的一组基，。1,2,1V2,34,9是上的一个线性变换，且，。2（1）写出线性变换在基之下的矩阵。12,（2）求出线性变换的逆变换。（3）求出线性变换的特征值和特征向量。（4）求出线性变换的全部不变子空间。解（1）12124,39（2）。则在基下的矩阵为。14053912,32105（3）令，则，特征值为。属于5的特征向量2A56EA,6为，属于6的特征向量为。12124,31212,（4）的全部不变子空间，。01L212,L51、如果都是幂等（，）的线性变换。证明,22（1）如果，则也是幂等变换。（2）如果是幂等变换，则。0证明（1）2222（2）2220则或。若，则，即，这是矛盾的。则。0052、证明数域上的维线性空间的任一子空间都是某一线性变换的核。FNV证明令的一子空间为，且。若结论显然成立。否则的话，令的VWDIMR0W一组基为，把看做是的基础解系，则秩，由于1,R1,RAXANR，则存在在某基下的矩阵为，即。NR1W53、设是数域上的维线性空间，是的线性变换，是的两个非平凡子空VFNV12,V间，且试证明是可逆线性变换的充要条件是。12,2证明设为的一组基，为的一组基，则1,R11,RN2是的一组基。且。1,RNV11,RRNA先证必要性由于是可逆线性变换，则是可逆的。是的一组基。A,NV，则。111,NRRNVLLL12再证充分性，设，。则2V1RV2,RNL，从而11,R,RN，又由于111,RRNRNLLL，从而12DIMIDI,RVV线性无关，故，则是可逆的，从而是可逆线性变换。1,RNA54、设的线性变换在标准基下的矩阵为2R21（1）求的特征值和特征向量。（2）求的一组标准正交基，使得在此基下的矩阵为对角矩阵。3解（1）的特征多项式为A，故特征值为1二重，521215E1,5把代入齐次线性方程组得10EAX，基础解系为，则属于1的两个特征值为230X12,1，而属于1的全部特征向量为，不全为零。132312K12,KP把代入齐次线性方程组得50EAX，基础解系为，则属于5的两个特征值为12340XX31,，而属于5的全部特征向量为，不全为零。31233KP（2）,01221,2。3标准化为，。12,0261,3231,令，有。623062T15TA55、在次数不超过的复系数多项式线性空间中，定义线性变换N1NCX，其中是的次项系数（若的次数小于，00FXFAX0AFFXN则）。0A（1）写出线性变换在基下的矩阵；1,NX（2）是不是可逆变换如是，求其逆变换的矩阵（基同上）；如果不是，请说明理由。（3）是否存在使的矩阵为对角形的基为什么证明（1），10,NNNXXX，1100,NNXXX。1010,NXX故。其中11,NNXXA。00110A（2），则是可逆变换。1N。101A（3）。在复数域内的根为，其中NEN2COSINIK。则可对角化，即0,1K。11NA56、证明线性变换的特征子空间维数不超过的重数。0V0证明设维，的重数为,在中取一组扩充为的一组0VT0S0V12T，V基，由，故由12N，01212TNNEBA，知至少是重，故。00TTEBFEAA0的重数TTS57、设是阶实矩阵,若对于任意维非零实向量,恒有。NNX，0则证明设有实特征值,是有实特征值,则，由条件知，T所以。若有虚特征值，则也有虚特征值，所以，0A12S，A12S，。12120RS58、设为幂零矩阵，且，则。BB证明（1）当是可逆矩阵时，由，知，因为为幂零矩阵，A11ABA所以存在正整数，使得，则，所M02211以。即，从而的特征值全为零，所以11AB1MB1的特征值全为1，则，所以。EAE1ABEB（2）当不是可逆矩阵时，存在，所以0,TT当时，是可逆矩阵，因为两端都是关于的连续函数，故当，。ABTT0时A58、设，证明1212,AAAEAAN是的两个不同的特征值，秩秩可对角化。证明设秩，则秩，对时，解1ER2NR1，因为，所以有个线性无关的特征向量。对10AAX1AA秩时，解，因为，220220AEAX时，解2AEANR秩所以有个线性无关的特征向量。R注意到，知上述个特征向量也是线性无关的，故可对角化。12AN注意本体结论的应用。如矩阵，满足，则可对角化，是因为秩A2A秩；矩阵，满足，则可对角化。是因为秩0EAE秩。EAN59、设是欧式空间的一个正交变换，构造子空间TV100|,VTV证明。2|,V12证明任意的，任意的，则010T则20，所以。由000,的任意性，知，所以。任意的，考察02V122V,TTT，所以，从而，所以。综20112V上。12V60、设阶实方阵，有，证明的每一个实特NIJNAA1,2,NIJJANA征值的绝对值。1证明设是的属于的特征向量，则，记NXXAAX。因为，所以，则取的个方程MAX|1,2KI0X0KXK，即1KKNAX，故。21121NKKKKKNXAAA61、已知中线性变换，求的值域和核。NMR,TNTXMRT解设，则IJXX，其121212200NTNNXXXIJJIX中。故所有的反对称矩阵充满的值域，所有的对称矩阵充满01,IJIJT的核。T62、设是维线性空间上的线性变换，且，求证NV2IV是上的正交变换上的对称变换。是V证明在中取一组标准正交基，设。因为12N,，1212,NNA所以，即。2,I2AEA设，从而，所以，故上TE是正交变换，所以1TAT是V的对称变换。设上的对称变换，则，即，从而为正交矩阵，所以是VT1T为正交变换。63、设是维线性空间上的线性变换，且，若有个互异的特征值，NK有个互异的特征值，则至少有个公共的不变子空间。S，MIN,KS证明设，令是的个互异的特征值AX,KSKS，则12K，因为，所以是的不变子空间，又|,12IIVIV是的不变子空间，所以是的个公共的不变子空间。I,IVK，K64、设是数域上的维线性空间，为一组基，PN12N,1NL，（1）证明是的子空间，（2）。（3）211|0,NNIIIVKK2V12V设是上的线性变换，在的基下的矩阵是一个置换矩阵，则12N,A是的不变子空间。12,证明（1）证明略。（2）任意的，则V121212NNNLLL，则11122NNNIIILLL1212NNLL1V，即。11122NNNIIILLL2V12，由，由，知，12V112NK，知20,NK所以即。故。02（3）任意的，则。由1V1212,NNKK，知1212,NNA所以121212,NNNKKK，故是的不变子空间。1V任意的，所以211212,NNKKK1111222,INNNIKAKK，即，故是的不变子空间。12IINKV2V64、设阶方程满足，证明（1）不是的特征值。（2）若,ABB1B相似于对角形，则存在可逆矩阵为对角形。BP，使得证明（1）若是的特征值，则存在是的属于的特征向量，1，即。又因为，所以，即，0BABABA故，这与相矛盾，从而假设不成立，故不是的特征值。01（2）因为相似于对角形，所以存在可逆矩阵，又1,NP使得因为，所以，即，从而AB11PAB11ABEP。因为，所以11NNPI可逆，从而11N。11111NNNPA65、设是维线性空间，是上的线性变换，证明存在的另一个线性变换，VVV使得，并且维。0维维证明设，扩充成，则12,KERE是的一组基12,NE的一组基，,RNVLVNR且维任取定义，显然是线性变换。12,KEKE12RKEKE所以，则维，从而。,RRVN维维，所以。V12RKEKEN066、设为阶实方阵，证明若对于任何维实向量，都有，则ANN0A的特征值的实部小于零。证明设是的特征值，是的属于的特征向量。ABINIR，ABI所以，从而。则IIAA，所以故ABA，所以。AA0A67、设为数域上的维线性空间上的一个线性变换，且，证明PNV2；1KER|；2V，则。3V如果是上的线性变换,且KER和都是的不变子间证明（1）任意的，则，所以R0，故。又任意的|VKER|V，则，|220所以，故，故KERER|。KER|V（2）任意的，有，显然，KER，所以。又显然，故KERKERVV。设任意的，则KERVVR，所以，所以0,且存在，使得2，故，故。ER0KERVV（3）任意，由（2）知。所以V1212,。因为是的不变子空11ERK，间。故，所以。故。又KER02是的不变子空间，知。所以2,V2V。反之，因为，所22121KER以。，由，知。所以102，所以任意的。综上。2,68、设是有限维线性空间，是的非零子空间，证明存在唯一的的子空间V1VV，使。2121证明设，20只能是，否则直和不成立。（反证）若，则，在扩充成1V1VRN维112,R中取基，令，则有，令12,RNV的基22,RNL12V，则有仍为的基，故22RRL11,RN。但是，这与题意矛盾，所以假设不正确，从而命题成立。21V69、设，已知有3个线性无关的特征向量，是的二重1435AXYA2A特征根，试求可逆矩阵，使为对角形。B1解因为有3个线性无关的特征向量，所以可以对角化。又是的二重特征根，所以。注意到，2EA秩112203EAXYXY知，故。0XY,Y70、用表示元素全为的阶矩阵，设是有理数域上的多J1N2FXAB项式，令，（1）求的所有特征值。（2）求的所有特征子空间。0BAFJAA（3）是否可以对角化。若可以，求可逆矩阵，使得为对角形。P1解（1）由1ABFEABJAE知的特征值为。1NABANNB重，（2）当即，,0,AEX时解0AEJX。所以，故0BJX120NXX。1210N，当时，解，即ANB0ABEAX，解方程组得。11BNB11N故特征向量为，所以的特征子空间为及A1NINK和A21,ANVL。ANBNVL（3）易知线性无关，所以可对角化。取，易知12,N12,NP是可逆矩阵，且满足为对角形。P1PA71、设是位线性空间，是上的可