不可压缩橡胶薄膜受气压作用的大变形分析

不可压缩橡胶薄膜受气压作用的大变形分析闫立平北方交通大学力学所,北京100044摘要分析了周边固定的橡胶薄膜受气压作用的轴对称问题,推导了基本方程,并得到了数值解,给出了薄膜的应力分布和形变特征。结果表明在大变形情况下,橡胶薄膜处于单向拉伸状态。关键词非线性弹性大变形橡胶薄膜文献标识码中图分类号V25513文章编号10002132820030220190204API和QI分别为PI、QI的共轭基。基容为VPP1,P2,P3,VQQ1,Q2,Q3位移梯度为0引言橡胶材料在工程中有很广泛的应用,由于橡胶材料能承受很大的变形,而本身是非线性材料,所以对橡胶材料的研究必须考虑到材料和几何的非线性。研究橡胶材料的力学特征,应选取合理而实用的应变能密度函数。1990年,高玉臣1从形变与体变角度出发给出了一种本构关系1997年,高玉臣2从抗拉与抗压角度出发,提出了第二种本构关系,利用这两种本构关系,分别对界面裂纹尖端场、缺口、锥体等进行了研究35。薄膜大变形问题是非线性弹性理论的一个重要问题。GREEN和ADKINS于1970年在著作中提出橡胶薄膜的弹性理论6,YANG和FENG提出了非线性三元一次微分方程7。本文根据文献2中的本构关系,利用一种比已有文献上简单的方法分析了不可压缩橡胶薄膜在周边固定受气压作用的大变形问题,得到了薄膜的变形曲线和应力分布情况。PIQI03F其中0为并矢符号,EINSTEIN求和约定适用于本文。CAUCHY2GREEN应变张量分别为CFFT,GFTF4其中T表示转置,G和C具有相同的不变量。本文用到的几个应变不变量I1CEGE,Q1,Q2,Q3VQJJDETLQIPLVPP1,P2,P311I1CEGE5其中E为单位张量,表示双点乘,31,32,33表333示1,2,3的混合积,J为变形后与变形前的体积比。文献2能为中提出了橡胶材料单位体积内的变形WAIN其中A,N为材料常数。CAUCHY应力张量为1IN161基本方程考虑三维弹性体区域,P和Q分别表示变形前后物质典型点的位置矢量,XII1,2,3表示物质典型点的LAGRANGIAN坐标,则变形前后两组局部标架可相应定义为J15W0QI75QI定义基面力为5WIITVQQ8VP5Q5P5QIPI5XI,QI15XI平衡方程为PIJPIPJ,QIJQIQJ,5TI290PIJPIPJ,QIJQIQJ5XI收稿日期2002206203,修回日期2002212201。基金项目国家自然科学基金资助项目19572001本文考虑到橡胶材料的不可压缩性,则J1根据6、8、10基面力可写为量分析,我们设映射函数为10SSR,H,NR3Z,R12其中ZR,SR,R,R为待定函数。令EIIR,Z为沿R,Z坐标线的单位矢量,EJJR,Z为沿R,Z坐标线的单位矢量,EMMS,N为沿S,N坐标线的单位矢量,则TI2ANVQIN1PIJQJIN11QIJPJKQKTQK111其中T为与静水应力有关的小量,由具体问题分析得出。PRER,PRE,PZEZ2大变形分析1E,PRPQPZER,13EZR211映射函数及大变形求解方程由于本文研究的是薄膜受气压作用,属于空间轴对称问题,采用柱坐标描述比较方便。取薄膜的一条直径作为研究对象,我们引入两个坐标系,一个表示变形前的柱坐标R,Z,另一个是变形后的柱坐标R,Z。经过分析,薄膜的轴对称变形可用其中面的变形来描述,用S,N坐标来描述变形后的薄膜更直观,其中S为质点到圆心的弧长,为变形后曲线与水平方向的夹角,N为质点所在处的法线向量,变形前后的坐标系如图1A,B所示。对于变形前后同一个物质点位置的对应关系,通过大QRER,RE,QZEZSRDS,R0COSDS0COSSDR,R令DRCOSCOS1R,COS令RRRR5N1令COS1145Z,R根据不可压缩条件J1DSDNRDVQJ115DRDZRDVP11,16QS1NES,QNEN,17QRE为曲率半径,1DS18DS又由A变形前坐标ACOORDINATEBEFOREDEFORMATIONQRSESZENSES,EN19QRE,QZ1E,1ENQQRS1ES,QZ20R所以2222,222221I1I1B变形后坐标BCOORDINATEAFTERDEFORMATION因为薄膜在气压作用时Z方向的基面力为零所以Z2NAVQI1N1N131TI1TEN022图1变形前后的坐标图FIG1COORDINATESYSTEMBEFOREANDAFTERDEFORMATION得到192宇航学报第24卷IN12N12T1I123ES5TR5T29RSQENRQEN5R5TR2NARIN122IN11221又因为24E5ES5EEN,ENSINESCOS305R5T2NARIN122IN11221R将26、30带入29得255TR令COST05R31TRTRES,TTE26SINTTRRQ将27、28代入到31,并注意到所以2NARIN12TR2IN11222715I222322235R2NA1IN125I1T2IN1122283322222215R经过整理简化得平衡方程为1222N122222N122R222RN1222N122222N1222N222221COS1COS2322232R22N1222R1OS1N1222N22CR1COS22221COS223232RR1COS12221OS22N1232C20R2N122222N12SIN2NA1222N122222N1222NAR222N122222N122RQ32根据6、7、21、23各应力分量为由有限弹性理论出发,将超弹性薄膜轴对称大变形问题归结为非线性常微分方程组的两点边值问题。用打靶法来求解方程组。取A2,N2,Q30,相应的变形曲线及应力曲线见图2AD。RR2NA222NA22NN022N12222N12222N1223结论22N122331薄膜变形大小与材料常数、加载大小有关,A,N的值越大,则表示材料的刚度越大。2当薄膜受集中力作用时,应采用渐近分析的方法,来考察应力的奇异性。212定解条件及方程的解边界条件为在R0时,R0,在RR0时,RR034图2变形及应力曲线FIG2THECURVEOFDEFORMATIONANDSTRESS参考文献6GREENAE,ADKINSJELARGEELASTICDEFORMATIONSM2NDED,CHAPTIV,OXFORDCLARENDONPRESS,1960YANGWH,FENGWWONAXISYMMETRICALDEFORMATIONSOFNONLINEARMEMBRANESJJOURNALOFAPPLIEDMECHANICS,1970,37100221011GAOYCELASTOSTATICCRACKTIPBEHAVIORFORARUBBER2LIKEMATERIALJTHEORYOFAPPLIEDFRACTUREMECHANICS,1990,142192231GAOYCLARGEDEFORMATIONFIELDNEARACRACKTIPINRUBBER2LIKEMATERIALJTHEORYOFAPPLIEDFRACTUREMECHANICS,1997,261552162GAOTSARUBBERWEDGEUNDERTHETENSIONOFALINELOADATITSTIPCCRACADSCIPARISSERIESI,1994,318126LIUB,GAOYCARUBBERCONEUNDERTHECOMPRESSIONOFACONCENTRATEDFORCEJINTJSOLIDSANDSTRUCTURES,1995,3211148521493GAOYC,GAOTSNOTCHTIPFIELDSINRUBBER2LIKEMATERIALSUNDERTENSIONANDSHEARMIXEDLOADJINTJFRACT1996,782832298172作者简介闫立平19742,女,讲师,在读博士,固体力学专业研究方向计算力学。通讯地址北京市北方交通大学力学所100044电话010251688427345LARGEDEFORMATIONANALYSISOFINCOMPRESSIBLERUBBERFILMUNDERAIRPRESSUREYANLI2PINGINSTITUTEOFMECHANICS,NORTHERNJIAOTONGUNIVERSITY,BEIJING100044,CHINAABSTRACTTHEINCOMPRESSIBLERUBBERFILMUNDERAIRPRESSUREWASANALYZEDTHEFILMWITHTHECIRCLECLAMPEDUN2DERAIRPRESSURECANBESEENASANAXIALLYSYMMETRYPROBLEMTHEEQUATIONSAREOBT