天津市南开区2016届九年级上期中数学试卷含答案解析

2015）期中数学试卷 一选择题（共 36分） 1方程 x（ x+ ） =0的根是 ( ) A ， B ， C ， 2 D ， 2下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 3关于 x+1=0有两个不相等的实数根，则 ) A k 1 B k 1 C k0 D k 1且 k0 4设二次函数 y=（ x 3） 2 4图象的对称轴为直线 l，若点 点 ) A（ 1， 0） B（ 3， 0） C（ 3， 0） D（ 0， 4） 5如图，已知经过原点的 P与 x、 、 ) A 80 B 90 C 100 D无法确定 6如图，正六边形 O，若直线 ，则 ) A 30 B 35 C 45 D 60 7将抛物线 y=先向左平移 2个单位，再向下平移 3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是 ( ) A y=（ x+2） 2+2 B y=（ x+2） 2 2 C y=（ x 2） 2+2 D y=（ x 2） 2 2 8如图是二次函数 y=bx+列结论： 二次三项式 bx+； 4a+2b+c 0； 一元二次方程 bx+c=1的两根之和为 2； 使 y3成立的 3x1 其中正确的有 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 9如图，在平面直角坐标系中， （ 1， 0）， B（ 2， 3），C（ 3， 1），将 按顺时针方向旋转 90，得到 ，则点 B的坐标为 ( ) A（ 2， 1） B（ 2， 3） C（ 4， 1） D（ 0， 2） 10如图，一次函数 y1=y2=bx+、 函数 y= b 1） x+ ) A B C D 11如图，若正 ) A B C D 12如图，已知边长为 2的正三角形 的坐标为（ 0， 6）， 在 在点 、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中 ) A 3 B 4 C 4 D 6 2 二 18分 . 13坐标平面内的点 P（ m， 2）与点 Q（ 3， 2）关于原点对称，则 m=_ 14若抛物线 y=（ x m） 2+（ m+1）的顶点在第一象限，则 _ 15请写出一个二次函数，使其满足以下条件： 图象过点（ 2， 2）； 当 x 0时， y随 的解析式可以是 _ 16若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为 10约为 2该铅球的直径约为 _ 17某校去年对实验器材的投资为 2万元，预计今明两年的投资总额为 8万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为 x，则可列方程： _ 18抛物线 y=bx+c（ a， b， a0）经过点（ 1， 0）和（ m， 0），且 1 m 2，当 x 1时， 列结论： 0； a+b 0； 若点 A（ 3， 点 B（ 3， 在抛物线上，则 a（ m 1） +b=0； 若 c 1，则 4a其中结论错误的是 _（只填写序号） 三解答题：本大题共 7小题，共 66分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 . 19（ 1） x（ x 2） +x 2=0（适当方法） （ 2） 2=3x（配方法） 20二次函数中 y=3的 x、 x 1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 m （ 1）求该二次函数的解析式； （ 2）求 21如图，在圆 2 0 （ 1）求 （ 2）求 22如图，已知 ，点 接 A， 求证： 23某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留 1知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 28m，求建成的饲养室总面积的最大值（墙体厚度忽略不计） 24在 A=90， B=4， D， B， 等腰 逆时针旋转，得到等腰 旋转角为 （ 0 180），记直线 （ 1）如图 1，当 =90时，线段 _，线段 _；（直接填写结果） （ 2）如图 2，当 =135时，求证： （ 3）求点 直接写出结果） 25如图，半径为 2的 C与 ，与 ，点 1， 0）若抛物线 y= x2+bx+， （ 1）求抛物 线的解析式； （ 2）在抛物线上是否存在点 P，使得 存在求出 存在说明理由； （ 3）若点 第一象限 内的部分）上一点， ，求 ）值 2015）期中数学试卷 一选择题（共 36分） 1方程 x（ x+ ） =0的根是 ( ) A ， B ， C ， 2 D ， 【考点】 解一元二次方程 【专题】 计算题；一次方程（组）及应用 【分析】 方程利用两数之积等于 0，两数至少有一个为 0求出解即可 【解答】 解：方程 x（ x+ ） =0， 可得 x=0或 x+ =0， 解 得： ， 故选 B 【点评】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 2下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的 有 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【考点】 中心对称图形 【分析】 根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解 【解答】 解：第一个图形是中心对称图形， 第二个图形不是中心对称图形， 第三个图形是中心对称图形， 第四个图形不是中心对称图形， 所以，中心对称图有 2个 故选： B 【点评】 本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后两部分重合 3关于 x+1=0有两个不相等的实数根，则 ) A k 1 B k 1 C k0 D k 1且 k0 【考点】 根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】 在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（ 1）二次项系数不为零；（ 2）在有不相等的实数根时，必须满足 =40 【解答】 解：依题意列方程组 ， 解得 k 1且 k0 故选 D 【点评】 本题 考查了一元二次方程根的判别式的应用切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件 4设二次函数 y=（ x 3） 2 4图象的对称轴为直线 l，若点 点 ) A（ 1， 0） B（ 3， 0） C（ 3， 0） D（ 0， 4） 【考点】 二次函数的性质 【分析】 根据二次函数的解析式可得出直线 x=3，点 的横坐标一定为 3，从而选出答案 【解答】 解： 二次函数 y=（ x 3） 2 4图象的对称轴为直线 x=3， 直线 ， 点 点 ， 故选 B 【点评】 本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数 y=a（ x h） 2+h， k），对称轴是 x=h 5如图，已知经过原点的 P与 x、 、 ) A 80 B 90 C 100 D无法确定 【考点】 圆周角定理；坐标与图形性质 【分析】 由 据圆周角定理，即可求得 0 【解答】 解： 0， 0 故选 B 【点评】 此题考查了圆周角定理此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到 6如图，正六边形 O，若直线 ，则 ) A 30 B 35 C 45 D 60 【考点】 切线的性质；正多边形和圆 【分析】 连接 多边形是正六边形可求出 根据圆周角定理即可求出 用弦切角定理 【解答】 解：连接 多边形 =60， 60=30 直线 ， 0， 故选 A 【点评】 本题主要考查了正多边形和圆，切线的性质，作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键 7将抛物线 y=先向左平移 2个单位，再向下平移 3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是 ( ) A y=（ x+2） 2+2 B y=（ x+2） 2 2 C y=（ x 2） 2+2 D y=（ x 2） 2 2 【考点】 二次函数图象与几何变换 【专题】 几何变换 【分析】 先利用顶点式得到抛物线 y=的顶点坐标为（ 0， 1），再利用点平移的规律得到点（ 0， 1）平移后的对应点的坐标为（ 2， 2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式 【解答】 解：抛物线 y=的顶点坐标为（ 0， 1），把点（ 0， 1）先向左平移 2个单位，再向下平移 3个单位得到的对应点的坐标为（ 2， 2），所以所得抛物线的函数关系式 y=（ x+2）2 2 故选 B 【点评】 本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 8如图是二次函数 y=bx+列结论： 二次三项式 bx+； 4a+2b+c 0； 一元二次方程 bx+c=1的两根之和为 2； 使 y3成立的 3x1 其中正确的有 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【考点】 二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与 【分析】 直接根据二次函数的图象与 【解答】 解： 二次函数的顶点坐标为（ 1， 4）， 二次三项式 bx+，故 正确； 当 x=2时， y 0， 4a+2b+c 0，故 正确； 抛物线与 3， 0），（ 1， 0）， 一元二次方程 bx+c=0的两根之和 = 3+1= 2，故 正确； 由函数图象可知， 当 y3时， x0或 x2，故 错误 故选 C 【点评】 本题考查的是二次函数与不等式组，能利用函数图象求出不等式的解集是解答此题的关键 9如图，在平面直角坐标系中， （ 1， 0）， B（ 2， 3），C（ 3， 1），将 按顺时针方向旋转 90，得到 ，则点 B的坐标为 ( ) A（ 2， 1） B（ 2， 3） C（ 4， 1） D（ 0， 2） 【考点】 坐标与图形变化 【分析】 根据旋转方向、旋转中心及旋转角，找到 B，结合直角坐标系可得 出点 B的坐标 【解答】 解：如图所示： 结合图形可得点 B的坐标为（ 2， 1） 故选 A 【点评】 本题考查了坐标与图形的变化，解答本题的关键是找到旋转的三要素，找到点 B的位置 10如图，一次 函数 y1=y2=bx+、 函数 y= b 1） x+ ) A B C D 【考点】 二次函数的图象；正比例函数的图象 【分析】 由一次函数 y1=y2=bx+、 出方程 b 1） x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数 y= b 1） x+c与 据方程根与系数的关系得出函数 y= b 1） x+x= 0，即可进行判断 【解答】 解： 一次函数 y1=y2=bx+、 方程 b 1） x+c=0有两个不相等的根， 函数 y= b 1） x+c与 0， a 0 = + 0 函数 y= b 1） x+x= 0， a 0，开口向上， 故选 A 【点评】 本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 11如图，若正 ) A B C D 【考点】 三角形的内切圆与内心 【分析】 由于 此它们的外心与内心重合；可过 B、 接 构建的含特殊角的直角三角形中，用 B、 而可求出它们的比例关系，进而得出 【解答】 解：设圆心为 O， ，连接 它们的内心与外心重合； 如图：设圆的半径为 R； 0， ； D = R， 即 R； 同理可求得： R， = = ， 则 ） 2= 故选： C 【点评】 此题主要考查了等边三角形的性质 、相似三角形的性质以及正多边形的内外心重合等知识，得出 = 是解题关键 12如图，已知边长为 2的正三角形 的坐标为（ 0， 6）， 在 在点 、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中 ) A 3 B 4 C 4 D 6 2 【考点】 正多边形和圆；坐标与图形性质；等边三角形的性质 【分析】 首先得到当点 后分别求得 长，最后求得 长即可 【解 答】 解：如图，当点 C=2 BB= ， 正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为 2， E=2 点 0， 6） 4 故选 B 【点评】 本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，解题的关键是从图形中整理出直角三角形 二 18分 . 13坐标平面内的点 P（ m， 2）与点 Q（ 3， 2）关于原点对称，则 m= 3 【考点】 关于原点对称的点的坐标 【分析】 平面直角坐标系中任意一点 P（ x， y），关于原点的对称点是（ x， y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆 【解答】 解：平面直角坐标系中任意一点 P（ x， y），关于原点的对称点是（ x， y），所以 m= 3 【点评】 关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，是需要识记的基本问题 14若抛物线 y=（ x m） 2+（ m+1）的顶点在第一象限，则 m 0 【考点】 二次函数的性质 【分析】 直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列 出不等式组解答即可 【解答】 解： 抛物线 y=（ x m） 2+（ m+1）， 顶点坐标为（ m， m+1）， 顶点在第一象限， m 0， m+1 0， m 0 故答案为： m 0 【点评】 此题考查二次函数的性质，二次函数 y=a（ x h） 2+h， k），以及各个象限点的坐标特征 15请写出一个二次函数，使其满足以下条件： 图象过点（ 2， 2）； 当 x 0时， y随 的解析式可以是 y= 2 【考点】 二次函数的性质 【专题】 开放型 【分析】 根据该函数 的增减性确定其比例系数的取值，然后代入已知点后即可求得其解析式 【解答】 解： 当 x 0时， y随 设解析式为： y= 2x2+b， 图象经过点（ 2， 2）， 2= 222+b， 解得： b=6 解析式为： y= 2（答案不唯一） 故答案为： y= 2（答案不唯一） 【点评】 此题考查二次函数的性质，掌握性质，设出二次函数的顶点式是解决问题的关键 16若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为 10约为 2该铅球的直径约为 【考点 】 垂径定理的应用；勾股定理 【专题】 应用题 【分析】 根据题意，把实际问题抽象成几何问题，即圆中与弦有关的问题，根据垂径定理，构造直角三角形，小坑的直径就是圆中的弦长，小坑的深就是拱高，利用勾股定理，设出未知数，列出方程，即可求出铅球的直径 【解答】 解：根据题意，画出图形如图所示， 由题意知， 0， ， B=5， 设铅球的半径为 r，则 OC=r 2， 在 据勾股定理， 即（ r 2） 2+52= 解得： r= 所以铅球的直径为： 24.5 【点评】 解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为 r，弦长为 a，这条弦的弦心距为 d，则有等式 r2= ） 2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个 1 7某校去年对实验器材的投资为 2万元，预计今明两年的投资总额为 8万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为 x，则可列方程： 2（ 1+x） +2（ 1+x） 2=8 【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】 增长率问题 【 分析】 关键描述语是： “预计今明两年的投资总额为 8万元 ”，等量关系为：今年的投资的总额 +明年的投资总额 =8，把相关数值代入即可 【解答 】 解： 去年对实验器材的投资为 2万元，该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为 x， 今年的投资总额为 2（ 1+x）；明年的投资总额为 2（ 1+x） 2； 预计今明两年的投资总额为 8万元， 2（ 1+x） +2（ 1+x） 2=8 【点评】 解决本题的关键是找到相关量的等量关系，注意预计明年的投资总额是在今年的投资总额的基础上增加的 18抛物线 y=bx+c（ a， b， 数，且 a0）经过点（ 1， 0）和（ m， 0），且 1 m 2，当 x 1时， 列结论： 0； a+b 0； 若点 A（ 3， 点 B（ 3， 在抛物线上，则 a（ m 1） +b=0； 若 c 1，则 4a其中结论错误的是 （只填写序号） 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【专题】 压轴题；数形结合 【分析】 根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得 a 0，由抛物线的对称轴位置得 b 0，由抛物线与 位置得 c 0， 于是可对 进行判断；由于抛物线过点（ 1， 0）和（ m， 0），且 1 m 2，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到 0 ，变形可得 a+b 0，则可对 进行判断；利用点 A（ 3， 点 B（ 3，对称轴的距离的大小可对 进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得 a b+c=0，bm+c=0，两式相减得 a+bm+b=0，然后把等式左边分解后即可得到 a（ m 1） +b=0，则可对 进行判断；根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到 c 1，变形得到 44a，则可对 进行判断 【 解答】 解：如图， 抛物线开口向上， a 0， 抛物线的对称轴在 b 0， 抛物线与 c 0， 0，所以 的结论正确； 抛物线过点（ 1， 0）和（ m， 0），且 1 m 2， 0 ， + = 0， a+b 0，所以 的结论正确； 点 A（ 3， 对称轴的距离比点 B（ 3， 对称轴的距离远， 以 的结论错误； 抛物线过点（ 1， 0），（ m， 0）， a b+c=0， bm+c=0， a+bm+b=0， a（ m+1）（ m 1） +b（ m+1） =0， a（ m 1） +b=0，所以 的结论正确； c， 而 c 1， 1， 44a，所以 的结论错误 故答案为 【点评】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=bx+c（ a0），二次项系数 a 0时，抛物线向上开口；当 a 0时，抛物线向下开口；一次项系数 a与 0），对称轴在 当 a与 0），对称轴在 简称：左同右异）；常数项 物线与 0， c）抛物线与 决定： =40时，抛物线与 个交点； =4时，抛物线与 个交点； =40时，抛物线与 三解答题：本大题共 7小题，共 66分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 . 19（ 1） x（ x 2） +x 2=0（适当方法） （ 2） 2=3x（配方法） 【考点】 解一元二次方程 一元二次方程 【专题】 计算题 ；一次方程（组）及应用 【分析】 （ 1）方程利用因式分解法求出解即可； （ 2）方程利用配方法求出解即可 【解答】 解：（ 1）分解因式得：（ x 2）（ x+1） =0， 可得 x 2=0或 x+1=0， 解得： ， 1； （ 2）方程整理得： x= ， 配方得： x+ = ，即（ x ） 2= ， 开方得： x = ， 解得： ， 【点评】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及配方法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 20二次函数中 y=3的 x、 ： x 1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 m （ 1）求该二次函数的解析式； （ 2）求 【考点】 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）设一般式 y=bx+c，再取三组对应值代入得到关于 a、 b、 后解方程组即可； （ 2）先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解 【解答】 解：（ 1）设抛物线解析式为 y=bx+c， 把（ 1， 0），（ 0， 3），（ 1， 4）代入得 ，解得 a=1， b= 2， c= 3， 所以抛物线解析式为 y=2x 3； （ 2） y=2x 3=（ x 1） 2 4， 所以抛物线的对称轴为直线 x=1，顶点坐标为（ 1， 4） 【点评】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 选择设其解析式为交点式来求解也考查了二次函数的性质 21如图，在圆 2 0 （ 1）求 （ 2）求 【考点】 圆周角定理；解直角三角形 【分析】 （ 1）连接 垂径定理可得 而可求出 （ 2）若 0，则 0，通过解直角三角形即可求得 长 【解答】 解：（ 1）连接 弦， ， 0； （ 2） 0； C3 【点评】 本题考查了圆周角定理、垂径定理以及特殊角的锐角三角函数值得运用，连接 到 22如图，已知 ，点 接 A， 求证： 【考点】 切线的判定 【专题】 证明题 【分析 】 连接 通过计算得到 根据勾股定理的逆定理得 0，然后根据切线的判定定理得 【解答】 证明：连接 图， D=， ， 22+22=（ 2 ） 2， 0， 又 点 【点评】 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为 半径），再证垂直即可也考查了勾股定理的逆定理 23某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留 1知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 28m，求建成的饲养室总面积的最大值（墙体厚度忽略不计） 【考点】 二次函数的应用 【分析】 设中间隔开的墙 成的饲养室总面积为 据题意可知出式子 2+3x=28，得出用 根据矩形的面积 =关于 再利用二次函数的性质即可求解 【解答】 解：设中间隔开的墙 成的饲养室总面积为 据题意得 2+3x=28，解得 0 3x， 则 S=x（ 30 3x） = 30x= 3（ x 5） 2+75， 故当中间隔开的墙长为 5米时，饲养室有最大面积 75平方米 【点评】 本题考查二次函数的应用，配方法，矩形的面积，有一定难度，解答本题的关键是得到建成的饲养室总面积的解析式 24在 A=90， B=4， D， B， 等腰 逆时针旋转，得到等腰 旋转角为 （ 0 180），记直线 （ 1）如图 1，当 =90时，线段 ，线段 ；（直接填写结果） （ 2）如图 2，当 =135时，求证： （ 3）求点 直接写出结果） 【考点】 几何变换综合题 【专题】 压轴题 【分析】 （ 1）利用等腰直角三角形的性质结合