07 列方程解应用题教师初二培优进度二

列方程列方程解解应用题应用题 1 / 8 第七讲 列方程解应用题 【列方程的步骤】 1、审：分析题意，找出已、未知之间的数量关系和相等关系. 2、设：选择恰当的未知数（直接或间接设元） ，注意单位的统一和语言完整. 3、列：根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程（组）. 4、解：解所列的方程（组）. 5、验：有两次检验 是否是所列方程（组）的解； 是否满足实际意义. 6、答：注意单位和语言完整 【如何设元】 （一）直接设元法； （二）间接设元； （三）辅助设元法； （四）整体设元法 【列方程解应用题的主要类型及其数量关系： 】 1. 行程问题：基本关系：路程=速度时间 基本类型：直线型的相遇问题、追及问题、航行问题，环形问题 2. 工程问题：基本关系：工作量= 工作效率工作时间 相等关系：各队工作量的和=全部工作量 3. 利润问题：相等关系：利润=售价-进价；利润=利润率进价 售价=标价打折数 4. 年龄问题：两个关键： （1）两者年龄之差是一个不变量； （2）两者增长的年龄数相同 5. 数字问题：此类问题多采用间接设元，注意数位上的数字关系和含数位的数字关系的不同 列方程列方程解解应用题应用题 2 / 8 【例题1】 李明计划在一定日期内读完 200 页的一本书，读了 5 天后改变计划，每天多读 5 页，结 果提前一天读完，求他原计划每天读几页书 解题方案： 设李明原计划每天读书 x 页书，用含 x 的代数式表示： （1）李明原计划读完这本书需用_ 200 x _天 （2）改变计划时，已读了_5x _页，还剩_200-5x _页； （3）读了 5 天后，每天多读 5 页，读完剩余部份还需_ 200 6 x _天 （4）根据问题中的相等关系，列出相应方程_ 200 5(5)(6)200 xx x _ _ （5）解方程：李明原计划每天读书_20_页 【例题2】 一项工作限期完成，甲单独做可以提前 3 天完成，乙单独做，就误期 3 天，现在甲、乙 两人合作 2 天后，再由乙单独去做，结果又用了规定工期的 1 3 还多 3 天就完成了任务，求这项工 作的规定期限是多少天？ 解：设这项工作的期限是 x 天，则甲单独做需（x-3）天完成，乙独做需要（x+3）天完成根据题意， 得 1 2(3) 2 3 1 33 x xx ，整理得 2 90 xx，解得 12 0(),9xx舍 答：这项工作的规定期限是 9 天. 【例题3】 中规定：超速行驶属违法行为.为确保行车安 全，一段高速公路全程限速 110 千米/小时（即任一时刻的车速都不能超过 110 千米/小时）.以下是 张师傅和李师傅行驶完这段全程为 400 千米的高速公路时的对话片段.张： “你的车速太快了，平 均每小时比我多跑 20 千米，少用我一小时就跑完了全程，还是慢点.”李： “虽然我的时速快，但最 大时速不超过我平均速度的 10%，可没有超速违法啊.”李师傅违法超速了吗? 列方程列方程解解应用题应用题 3 / 8 解：设李师傅的平均速度为 x 千米/时，张师傅的平均速度为（x-20）千米/时.根据题意，得 400400 1 20 xx ，整理得 2 2080000 xx，解得 12 100,80()xx 舍 所以李师傅的最大时速为100(1 10%)110千米/时，没有超速. 【例题4】 一列火车从车站开出，预计行程 450 千米，当他开出 3 小时后，因抢救一位病危旅客而 多停了一站，耽误了 30 分钟，为了不影响其他旅客的行程，后来把车速提高了 0.2 倍，结果准时 到达目的地，求这列火车原来的速度？ 解：设这列火车原来的速度为 x 千米/时. 根据题意有 450345031 0.22 xx xxx ，整理得1.290 x ，解得75x . 答：设这列火车原来的速度为 75 千米/时. 【例题5】 已知轮船在静水中每小时行 20 千米，如果此船在某江中顺流航行 72 千米所用的时间与 逆流航行 48 千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米? 解：设水流的速度为 xkm/h，则顺水速度为（20+x）km/h，逆水速度为 （20-x）km/h， 依题意得： 7248 2020 xx ，解得 x=4. 答：江水每小时的流速是 4 千米. 【例题6】 小刚家去年种植芒果的收入扣除各项支出后节余 5000 元，今年他家芒果又喜获丰收，收 入比去年增加了 20%，由于实行了科学管理，今年的支出比去年减少了 5%，因此今年节余比去年 多 1750 元.求小刚家今年种植芒果的收入和支出各是多少? 解：设小刚家去年收入x元，支出y元. 则他家今年收入为(1 20%)1.2xx，今年支出为1 5%0.95yy. 根据题意可列二元一次方程组 5000 1.20.955000 1750 xy xy 解得 8000 3000 x y 所以，今年收入 9600 元，支出 2850 元. 列方程列方程解解应用题应用题 4 / 8 【例题7】 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，生产第一档次（最低档次）的产品一天生 产 76 件，每件利润 10 元，每提高一个档次，利润每件增加 2 元. 当每件利润为 16 元时，此产品质量在第几档次? 由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量减少 4 件.若生产第 x 档次的产品一天的 总利润为 y 元（其中 x 为正整数，且 1 x 10） ，求出 y 关于 x 的函数关系式；若生产某档次产品 一天的总利润为 1080 元，该工厂生产的是第几档次的产品? 解：设此产品在第 x 档，则由题意，得 10+2（x-1）=16，x=4 答：产品质量在第 4 档次 当生产产品质量在第 x 档次时题意，得102(1) 764(1)yxx， 整理得 2 8128640yxx ，当利润是 1080 时， 2 8128640=1080 xx 解得 12 5,11xx（不合题意，舍） 答：当生产产品质量在第 5 档次时，一天的利润是 1080 元 【例题8】 “丽园”开发公司生产的 960 件新产品，需要加工后才能投放市场.现有甲、乙两个工厂都 想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用 20 天，而乙 工厂每天比甲工厂多加工 8 件产品， 公司需付甲工厂加工费用每天 80 元， 乙工厂加工费用每天 120 元 求甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？ 公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成，在加 工过程中，公司需派一名工程师每天到厂里进行技术指导，并负担每天 5 元的误餐补助费请你帮 助公司选择一种既省时又省钱的加工方案 解： （1）设甲工厂每天能加工 x 件产品，乙工厂每天能加工（x+8）件产品， 根据题意，得 960960 20 8xx ，整理得 2 83840 xx，解得 12 16,24xx （不合题意，舍） 答：甲、乙两家工厂每天各能加工 16 件和 24 件新产品 （2） 甲工厂单独加工完成这批新产品所需的时间为 96016=60（天） 所需费用 8060+560=5100（元） 乙工厂单独加工完成这批新产品所需的时间为 96024=40（天） 列方程列方程解解应用题应用题 5 / 8 所需费用 12040+540=5000（元） 设甲、乙两工厂合作完成这批新产品所需的时间为 y 天. 根据题意，得 11 ()1 6040 y，解得24y 所需费用为(80 120) 245 244920 （元） 因为甲、乙两工厂合作完成这批新产品所需的钱数最少，所以选两工厂合作比较合适 【例题9】 某学校计划租用 6 辆客车送一批师生参加一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅 力.现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表.设租用甲种客车 x 辆，租车总费用为 y 元. 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 280 200 (1) 求出 y（元）与 x（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围； (2) 若该校共有 240 名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用 1650 元，试问预支的租车费用是 否可以结余？若有结余，最多可结余多少元？ 解： （1）280(6) 200801200(06)yxxxx. (3) 可以有结余.由题意知 8012001650 4530(6)240 x xx ，解得 5 45 8 x 且 x 必须是整数，取 x=4 或 5，y 随 x 的增大而增大，当 x=4 时，y 有最小值 1520 元. 则最多结余 1650-1520=130 元. 列方程列方程解解应用题应用题 6 / 8 1. 某林场原计划在一定期限造林 240 公顷， 实际每天固沙造林的面积比原计划多 4 公顷， 结果比原计 划提前 5 天完成，设原计划每天固沙造林 x 公顷，根据题意可列方程（ A ） A. 240240 5 4xx B. 240240 5 4xx C. 240240 5 4xx D. 240240 5 4xx 2. 某校原有 600 张旧课桌急需维修，进过 A、B、C 三个工程队的竞标得知，A、B 的工作效率相同， 且都为 C 队的 2 倍，若由一个工程队单独完成，C 队比 A 队要多用 10 天.学校决定由三个工程队一 齐施工要求至多 6 天完成维修任务.三个工程队都按原来的工作效率施工 2 天时，学校又清理出需 要维修的课桌 360 张，为了不超过 6 天时限，工程队决定从第三天开始，各自提高工作效率，A、 B 队提高的工作效率仍然是 C 队提高的 2 倍.这样他们至少还需要 3 天才能完成整个维修任务. (1) 求工程队 A 原来平均每天维修课桌的张数； (2) 求工程队 A 提高工作效率后平均每天多维修课桌张数的取值范围. 解： （1）设 C 队原来平均每天维修课桌 x 张，根据题意，得 600600 10 2xx ，解得30 x 答：A 队原来平均每天维修课桌 60 张. （2） 设C队提高工作效率后平均每天多维修课桌a张， 施工2天时， 已维修(606030) 2300 （张） ，从第 3 天起还需维修的张数应该为 660 张，根据题意， 得 3(22150)660 4(22150)660 aaa aaa ，解得3146228aa 答：A 队提高工效后平均每天多维修的课桌张数的取值范围是6228a. 3. 一划船爱好者逆水划船，已知船在静水的速度为 10m/min，他的帽子被风吹到水中，但他没有发觉 仍然向前划行，他划出 80 米后，才发觉帽子掉入水中，这时与帽子相距 100m，他立即转船回头追 赶帽子，经过一段时间捡回了帽子 （1）根据以上信息，试求水流速度 列方程列方程解解应用题应用题 7 / 8 （2）如果船转头时间忽略不计，从开始帽子落入水中到捡回帽子共用多长时间？ 解： （1）设水流速度为 xm/min，那么逆水划船速度为（10-x）m/min，而他划出 80 米后，才发觉帽子掉 入水中，这时与帽子相距 100m，这说明他划出 80 米与帽子漂流 20m 所用时间相等. 由此即可列出方程解决问题： 8020 10 xx ，解得 x=2，经检验 x=2 是方程的解，水流速度是 2m/min； （2）帽子在水中继续漂流的时间和返回追到捡起的时间相同；帽子在水中继续漂流的路程加 100 米和返回追帽子到捡回帽子所划的路程相等的等量关系列出方程. 设开始追帽子到捡回帽子所用时间为 t，依题意得 2100(102)tt，解之得 t=1. 帽子掉入水中到船发现时漂了 20 米的时间，