西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案3

试 题 三 试 题 三 （考试时间：（考试时间：120 分钟）分钟） 一、 填空题（每小题 4 分，共 32 分）一、 填空题（每小题 4 分，共 32 分） 1若n阶方阵A的特征值为0,1,2,1nL，且方阵B与A相似，则BE+= 2设 12 , 01 A = 1 ( ) 32 x g x x = + ，则( )g A= . 3. 向量 3 123 (1,1,0) ,(0,1,1) ,(1,1,1) TTT R=是的一组基，则向量(3,4,3)T=在该 基下的坐标为 . 4 二 次 型 222 1231231223 ( ,)22f x xxxxxx xtx x=+是 正 定 的 ， 则t的 取 值 范 围 是 . 5 设矩阵 101 110 012 A = ，则 1 A= 6 设n维行向量 11 ( ,00) 22 =L， ，矩阵,2 TT AEBE =+，其中E为n阶单位 阵，则AB= . 7设A是34阶矩阵，且A的秩2)(=Ar，而 = 301 020 201 B，则)(ABr= 8 设, , 为3维 列 向 量 ， 记 矩 阵( , ),(,)AB =+， 若 3,AB=则= . 二、 （10 分）二、 （10 分）计算n阶行列式的值 1231 11000 02200 0001 1 n nn D nn = L L LLL L 三、 （12 分）三、 （12 分）问,a b为何值时，线性方程组 1234 1234 1234 1234 231; 363; 3153; 51012. xxxx xxxx xxaxx xxxxb += += += += 无解？有唯一解？有无穷多解？有无穷多解的情况下，求其通解. 四、 （12 分）四、 （12 分） 设(1,1, 1)T=是矩阵 212 53 12 Aa b = 的一个特征向量.（1）试确定参数 , a b及特征向量所对应的特征值； （2）问A能否相似于对角阵，试说明理由. 五、 （12 分）五、 （12 分）已知二次型 222 12312312 ( ,)(1)(1)22(1)2f x xxa xa xxa x x=+的秩为 （1） 求a的值; （2）求正交变换,XQY=把 123 (,)f x xx化成标准形. 六 、 （ 10 分 ）六 、 （ 10 分 ） 设3阶 方 阵 1 ,6,A BA BAABA =+满足关系式, 求 矩 阵.B其 中 1 00 3 1 00. 4 1 00 7 A = 七、 （12 分） （选做一题） 七、 （12 分） （选做一题） （1）设向量组 12 , r L是线性方程组0AX =的基础解系，向量 满足0A. 证明：向量组 12 , r +L 线性无关。 （2） 已知向量组)3(, 21 k k L线性无关， 试讨论向量组 13221 ,+ k L 的线性相关性. 试题三参考答案 试题三参考答案 一填空题 1. !n 2 08 00 ()1,1,2 T 22t 211 221 111 E 二 解() (1) 1(1)! 2 n n n Dn + = ? （或() ()11 ! 2 n n + + -1 或 () () 1 1 1 ! 2 n n +） 三 解： 1 11231 0121 1 00224 0003b+5 AA a = 初等行 （） 当2a 时，( ) ( ) 4r Ar A=，方程组有唯一解； （） 当2a =时， 12 11231 0121 1 00012 00001 AA b = 1o若2a =且1b 时，( ) ( ) 34r Ar A=，方程组无解； 2o若2b1a =且时，则 2 10008 0120 3 0001 2 0000 0 A 得基础解系为() 1 0, 2,1,0 T =，特解() 0 8,3,1,2 T = ， 故通解为 10 k=+ （k为任意常数） 四 解：(1) 设所对应的特征值为，由A=，()0EA=即得： 21210 5310 1210 a b = + 即 2 120 530 120 a b + += + += = 解得：3, 0, 1ab= = (2) 由 212 533 102 A = 得 3 (1)EA=+， 故 1 1= 为A的三重特征值 解 1 ()0EA X=因 312101 523011 101000 EA = 得其基础解系中只含一个解向量( 1, 1,1)T= ，从而属于 1 1= 的线性无关的特征向 量只含一个解向量，不等于 1 的重数，故A不可对角化 五 解：(1) 二次型f所对应的矩阵 110 110 002 aa Aaa + =+ 由f的秩为 2 知 ( )r A=2. 所以有 11 4 11 aa a aa + = + =0，得0a= (2) 当0a =时, 110 110 002 A = 则 2 110 110(2) 002 EA = 故A的特征值 1 2=(二重), 2 0= 当 1 2=时，由() 1 0EA X=得线性无关的特征向量为 ()() 12 1,1,0, 0,0,1 TT = 同理，当 2 0=时，得线性无关的特征向量为() 3 1,1,0 T = 将 123 , 单位化得 () 1 1 1,1,0 2 T =，() 2 = 0,0,1 T ，() 3 1 1,1,0 2 T = 记() 123 Q=，,则Q为正交矩阵. 令 XQY=则有 () 22 12312 ,22f x x xyy=+ 六解：对矩阵方程 1 6A BAABA =+两端右乘 1 A得 1 6A BEB =+故6BAAB=+ 即()6EA BA= 则 1 1 2 00 3 3 6()6 00 4 6 00 7 BEAAA = 13 0000 32 41 6 0000 34 17 0000 76 = 300 020 001 七 （1） 证明：考察 1122 ()().()0 rr kkkk+= 即 112212 .(.)0 rrr kkkkkkk+= （） 对（）式两端左乘A，且由题设0 i A= (1,2,., )ir=得 12 (.)0 r kkkk A+= 而0A，故 12 . r kkkk+ 代入（）式得 1122 .0 rr kkk+= 又因为 12 ,., r 是0AX =的基础解系， 从而有 12 .0 r kkk= 故0k= 即 12 ,., r +线性无关 (2) 设 1122231 ()().()0 kk lll+= 则有 111222331 ()()().()0 kkkk llllllll += 由题设 12 ,., k (3)k线性无关知 1 12 23 1 0 0 0 0 k kk ll ll ll ll += += += += K 考虑这个一次线性方程组的系数矩阵A的行列式的值 100001 110000 011000 000110 000011 k k A = L L L L L L L L L L L L 11 (1) (1) 11000 01100 1 1