上海高一上期末数学复习专题三：函数

高一（上）数学期末专题复习三：函数（1）函数的有关概念、函数的运算、函数关系的建立知识梳理：1、某个变化过程中有两个变量x 和y，如果对于x 在某个范围D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y 都有唯一的值与它对应，那么y 就是x 的函数，记作yf（x），xD ，x 叫做自变量，y叫做应变量。x 的取值范围D叫做函数的定义域，y 叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.2、函数的三大要素：定义域、值域、解析式.3、函数的和运算、积运算（注意定义域）.4、函数的表示方法：解析法、列表法和图像法.具体训练：1、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.A. B. C. D. 2、给出下列两个条件：（1）f(+1)=x+2;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.3、求下列函数的定义域：（1）y=; (2)y=; (3)y=.4、设函数y=f(x)的定义域为0，1，求下列函数的定义域.（1）y=f(3x); (2)y=f();(3)y=f(; (4)y=f(x+a)+f(x-a).5、求下列函数的值域：（1）y= (2)y=x-; (3)y=.6、已知函数，求作业附加：1、.等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a，BC=a，BAD=45，作直线MNAD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.2、若函数f(x)的定义域是0，1，则f(x+a)f(x-a)（0a）的定义域是 （ ） A. B.a，1-a C.-a，1+a D.0，13、求下列函数的值域：（1）y=; (2)y=|x|.学案答案：1、C2、解：（1）令t=+1,t1，x=（t-1）2.则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x1，+).（2）设f(x)=ax2+bx+c (a0),f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.，又f(0)=3c=3,f(x)=x2-x+3.3、解：（1）由题意得化简得即故函数的定义域为x|x0且x-1.（2）由题意可得解得故函数的定义域为x|-x且x.（3）要使函数有意义，必须有即x1,故函数的定义域为1，+）.4、解：（1）03x1,故0x,y=f(3x)的定义域为0, .（2）仿（1）解得定义域为1，+).（3）由条件，y的定义域是f与定义域的交集.列出不等式组故y=f的定义域为.（）由条件得讨论：当即0a时，定义域为a,1-a;当即-a0时，定义域为-a,1+a.综上所述：当0a时，定义域为a，1-a；当-a0时，定义域为-a，1+a.5、解：（1）方法一 （配方法）y=1-而0值域为.方法二 （判别式法）由y=得(y-1)y=1时,1.又R，必须=(1-y)2-4y(y-1)0.函数的值域为.（2）方法一 （单调性法）定义域，函数y=x,y=-均在上递增，故y函数的值域为.方法二 （换元法）令=t,则t0，且x=y=-（t+1）2+1（t0）,y（-，.（3）由y=得,ex=ex0,即0,解得-1y1.函数的值域为y|-1y1.7、作业附加答案：1、解：作BHAD，H为垂足，CGAD，G为垂足，依题意，则有AH=，AG=a.（1）当M位于点H的左侧时，NAB，由于AM=x，BAD=45.MN=x.y=SAMN=x2（0x）.（2）当M位于HG之间时，由于AM=x，MN=，BN=x-.y=S AMNB =x+（x-）=ax-（3）当M位于点G的右侧时，由于AM=x，MN=MD=2a-x.y=S ABCD-SMDN=综上：y=2、B3、解：（1）(分离常数法)y=-，0,y-.故函数的值域是y|yR,且y-.(2)方法一 y=|x|0y即函数的值域为.【作业试卷：数学单元测试P37-40】高一（上）数学期末专题复习三：函数（2）函数的性质（奇偶性、周期性、单调性、零点、最大值和最小值）知识梳理：1奇、偶函数的概念f(x)f(x)：偶函数f(x)f(x)：奇函数奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称【判断奇偶性，先看定义域】2奇、偶函数的性质(1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇3周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期4函数的单调性：增函数、减函数5函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数y分别在(，0)，(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(，0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)，不能用“”连接具体训练：1设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f()A. B. C. D.2 f(x)x的图象关于()Ay轴对称 B直线yx对称 C坐标原点对称 D直线yx对称3设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()Af(x)|g(x)|是偶函数 Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数 D|f(x)|g(x)是奇函数4若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.5. 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)x2|xa|2.6. 已知f(x)x(x0)(1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)0.7. 已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于x1对称，当x0,1时，f(x)2x1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x1,2时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2013)的值8. 设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(，)内函数f(x)的单调增(或减)区间9已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3.若有f(a)g(b)，则b的取值范围为()A2，2 B(2，2) C1,3 D(1,3)10、讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性11、已知函数f(x)(a0)在(2，)上递增，求实数a的取值范围12、已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值13、 当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_学案答案1解析因为f(x)是周期为2的奇函数，所以fff.故选A.答案A2 解析f(x)的定义域为(，0)(0，)，又f(x)(x)f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称答案C3 解析由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数，A项：偶偶偶；B项：偶偶偶，B错；C项与D项：分别为偶奇偶，偶奇奇均不恒成立，故选A.答案A4解析法一f(x)f(x)对于xR恒成立，|xa|xa|对于xR恒成立，两边平方整理得ax0对于xR恒成立，故a0.法二由f(1)f(1)，得|a1|a1|，得a0.答案05. 解(1)解不等式组得2x0，或0x2，因此函数f(x)的定义域是2,0)(0,2，则f(x).f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(2)f(x)的定义域是(，)当a0时，f(x)x2|x|2，f(x)x2|x|2x2|x|2f(x)因此f(x)是偶函数；当a0时，f(a)a22，f(a)a2|2a|2，f(a)f(a)，且f(a)f(a)因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数6. 审题视点 (1)用定义判断或用特值法否定；(2)由奇偶性知只须求对称区间上的函数值大于0.(1)解法一f(x)的定义域是(，0)(0，)f(x)x.f(x)f(x)故f(x)是偶函数法二f(x)的定义域是(，0)(0，)，f(1)，f(1)，f(x)不是奇函数f(x)f(x)xxxxx(11)0，f(x)f(x)，f(x)是偶函数(2)证明当x0时，2x1,2x10，所以f(x)x0.当x0时，x0，所以f(x)0，又f(x)是偶函数，f(x)f(x)，所以f(x)0.综上，均有f(x)0. 根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可7. 审题视点 (1)只需证明f(xT)f(x)，即可说明f(x)为周期函数；(2)由f(x)在0,1上的解析式及f(x)图象关于x1对称求得f(x)在1,2上的解析式；(3)由周期性求和的值(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，函数f(x)的图象关于x1对称，则f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数(2)解当x1,2时，2x0,1，又f(x)的图象关于x1对称，则f(x)f(2x)22x1，x1,2(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1又f(x)是以4为周期的周期函数f(0)f(1)f(2)f(2013)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1. 判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题8. 第(1)问先求函数f(x)的周期，再求f()；第(2)问，推断函数yf(x)的图象关于直线x1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；第(3)问，由图象观察写出解答示范 (1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，(2分)f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(4分)(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得：f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称(6分)又0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示(8分)当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.(10分)(3)函数f(x)的单调递增区间为4k1,4k1(kZ)，单调递减区间4k1,4k3(kZ)(12分) 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题9解析函数f(x)的值域是(1，)，要使得f(a)g(b)，必须使得x24x31.即x24x20，解得2x2.答案B10、解设1x1x20时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递增11、 审题视点 求参数的范围转化为不等式恒成时要注意转化的等价性解法一设2x1x2，由已知条件f(x1)f(x2)(x1x2)a(x1x2)0恒成立即当2x1a恒成立又x1x24，则0a4.法二f(x)x，f(x)10得f(x)的递增区间是(，)，(，)，根据已知条件2，解得0a4.已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解12、审题视点 抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形(1)证明法一函数f(x)对于任意x，yR总有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0.再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是减函数法二设x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上为减函数(2)解f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)f(x2)与0的大小，或与1的大小有时根据需要，需作适当的变形：如x1x2或x1x2x1x2等13、解析法一当x(1,2)时，不等式x2mx40可化为：m5，则m5.【作业试卷：数学单元测试P41-44】高一（上）数学期末专题复习三：函数（3）幂函数、指数函数、抽象函数与函数的综合运用知识梳理：幂函数1幂函数的定义一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数2幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数yx，yx2，yx3，y，yx1的图象分别如图3幂函数的性质yxyx2yx3yyx1定义域RRR0，)x|xR且x0值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)时，增x(，0时，减增增x(0，)时，减x(，0)时，减定点(0,0)，(1,1)(1,1)4.二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0,nN;f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2N*;f(2)=4同时成立?若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.【作业一课一练P80-82】学案答案：1解析f(x)bx2(ab2a)x2a2由已知条件ab2a0，又f(x)的值域为(，4，则因此f(x)2x24.答案2x242 解析设yf(x)，t2x1，则y，t2x1，x(，)t2x1在(，)上递增，值域为(1，)因此y在(1，)上递减，值域为(0,1)答案A3、审题视点 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决解(1)由于ax10，且ax1，所以x0.函数f(x)的定义域为x|xR，且x0(2)对于定义域内任意x，有f(x)(x)3 (x)3(x)3 x3f(x)，f(x)是偶函数(3)当a1时，对x0，由指数函数的性质知ax1，ax10，0.又x0时，x30，x30，即当x0时，f(x)0.又由(2)知f(x)为偶函数，即f(x)f(x)，则当x0时，x0，有f(x)f(x)0成立综上可知，当a1时，f(x)0在定义域上恒成立当0a1时，f(x).当x0时，1ax0，ax10，ax10，x30，此时f(x)0，不满足题意；当x0时，x0，f(x)f(x)0，也不满足题意综上可知，所求a的取值范围是a1. (1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f(x)f(x)，来判断(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法y，ylg(10x1)等4、 解析作函数yf(x)10x，yg(x)lg x，yh(x)10x的图象如图所示，由于yf(x)与yg(x)互为反函数，它们的图象是关于直线yx对称的又直线yh(x)与yx垂直，yf(x)与yh(x)的交点A和yg(x)与yh(x)的交点B是关于直线yx对称的而yx与yh(x)的交点为(5,5)又方程10x10x的解为A点横坐标，同理，为B点横坐标5，即10.答案105、【抽象函数】1.换元法解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0u2),则f(u)=-u