湖南长沙一中高三数学第二次模拟文

湖南省长沙市一中高三第二次模拟试卷文科数学命题：长沙市一中高三文科备课组时量：120分钟 满分：150分一、选择题（第小题5分，共8小题，共40分，每小题只有一个选项是正确的）1化简的值为（ ）A5BC5D2为得到函数y = log22x的图象，可以把函数y = log2x的图象（ ）A向上平移一个单位B向下平移一个单位C向左平移一个单位D向右平移一个单位3函数y = cos (x + )的一个单调递增区间是（ ） A，B，C，0D0，4若平面向量与向量= (1，2)的夹角为180，且| = ，则= （ ）A(3，6)B(3，6)C(6，3)D(6，3)5甲、乙、丙、丁四位同学计划暑假分别外出旅游，有A、B、C三条线路可选，若每条线路至少有1人选择，则不同的安排方法有（ ） A72种B36种C18种D16种6与圆x2 + (y + 5)2 = 3相切，且纵截距和横截距相等的直线共有（ ） A2条B3条C4条D6条7等差数列an各项为正数，公差为2，前n项和为Sn，若 也是等差数列，则a1 = （ ） A1B2C3D8已知平面，直线l，点Pl，平面、间的距离为5，则在内到点P的距离为13且到直线l的距离为的点的轨迹是（ ） A一个圆B双曲线的一支C两条直线D四个点二、填空题（每小题5分，共7小题，共35分）9若sin= ，则cos2= 10()6的展开式中的常数项为 11统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数为 ；优秀率为 12集合A = y| y = x2 + 2x 3，B = y| y = x + ，x0，则AB = 13正三棱锥P ABC底面正三角形的边长为1，其外接球球心O为 ABC的重心，则此正三棱锥的体积为 14某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费和总存储费用之和最小，则x = 吨15我们把在线段上到两端点距离之比为的点称为黄金分割点。类似地，在解析几何中，我们称离心率为的椭圆为黄金椭圆，已知= 1 (ab0)是黄金椭圆，给出下列四个命题： a、b、c成等比数列；若F2为右焦点，B为上顶点，A1为左顶点，则：以两通径的4个端点为顶点的四边形为正方形；若直线l过椭圆中心，与椭圆交于点E、F，P为椭圆上任意一点（除顶点外），则KPE KPF为定值其中正确命题的序号为 三、解答题16（本小题满分12分）一项“过关游戏”规定：在第n关要抛掷一颗均匀的骰子n次，如果第n关的n次抛掷所出现的点数之和大于n2就算过关问： （1）玩家小强在这项游戏中最多能连过几关？ （2）他连过前两关的概率是多少？ 17（本小题满分12分）设函数f (x) = ，其中向量= 若函数y = sin2x按向量= (p，q) (|p|)平移后得到函数y = f (x)的图象，求实数p，q的值若f (x) = 1 + ，求sinxABCB1A1C118（本小题满分12分）如图：正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为，若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平面交上底面于DB1 （1）试确定D点的位置，并证明你的结论； （2）求二面角A1AB1D的大小 19（本小题满分13分）数列an前n项和为Sn，Sn = 2an 3n (nN*)（1）若数列an + t成等比数列，求常数t 的值；（2）求数列an的通项公式；（3）数列an中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由20（本小题满分13分）已知x=1是函数的一个极值点，且m0（1）求m与n的关系表达式；（2）若f (x)的单调区间；（3）当时，函数y= f (x)的的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围21（本小题满分13分）已知函数y = kx与y = x2 + 2 (x0)的图象相交于不同两点A (x1，y1)，B (x2，y2)，l1，l2分别是y = x2 + 2 (x0)的图象在A、B两点的切线，M、N分别是l1、l2与x轴的交点，P为l1与l2的交点 （1）求证：直线l1，y = kx，l2的斜率成等差数列； （2）求l1与l2交点P的轨迹方程； （3）是否存在实数k使得ABP的面积最大？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由 第二次模拟考试文科数学教师用卷一、选择题（第小题5分，共8小题，共40分，每小题只有一个选项是正确的）1化简的值为（ C ）A5BC5D2为得到函数y = log22x的图象，可以把函数y = log2x的图象（ A ）A向上平移一个单位B向下平移一个单位C向左平移一个单位D向右平移一个单位3函数y = cos (x + )的一个单调递增区间是（ B ） A，B，C，0D0，4若平面向量与向量= (1，2)的夹角为180，且| = ，则= （ A ）A(3，6)B(3，6)C(6，3)D(6，3)5甲、乙、丙、丁四位同学计划暑假分别外出旅游，有A、B、C三条线路可选，若每条线路至少有1人选择，则不同的安排方法有（ B ） A72种B36种C18种D16种6与圆x2 + (y + 5)2 = 3相切，且纵截距和横截距相等的直线共有（ C ） A2条B3条C4条D6条7等差数列an各项为正数，公差为2，前n项和为Sn，若 也是等差数列，则a1 = （ A ） A1B2C3D8已知平面，直线l，点Pl，平面、间的距离为5，则在内到点P的距离为13且到直线l的距离为的点的轨迹是（ D ） A一个圆B双曲线的一支C两条直线D四个点二、填空题（每小题5分，共7小题，共35分）9若sin= ，则cos2= 10()6的展开式中的常数项为 15 11统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数为 800 ；优秀率为 20 12集合A = y| y = x2 + 2x 3，B = y| y = x + ，x0，则AB = 4，2 13正三棱锥P ABC底面正三角形的边长为1，其外接球球心O为 ABC的重心，则此正三棱锥的体积为14某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费和总存储费用之和最小，则x = 20 吨15我们把在线段上到两端点距离之比为的点称为黄金分割点。类似地，在解析几何中，我们称离心率为的椭圆为黄金椭圆，已知= 1 (ab0)是黄金椭圆，给出下列四个命题： a、b、c成等比数列；若F2为右焦点，B为上顶点，A1为左顶点，则：以两通径的4个端点为顶点的四边形为正方形；若直线l过椭圆中心，与椭圆交于点E、F，P为椭圆上任意一点（除顶点外），则KPE KPF为定值其中正确命题的序号为 三、解答题16（本小题满分12分）一项“过关游戏”规定：在第n关要抛掷一颗均匀的骰子n次，如果第n关的n次抛掷所出现的点数之和大于n2就算过关问： （1）玩家小强在这项游戏中最多能连过几关？ （2）他连过前两关的概率是多少？ 【解析】（1）因为点数最大为6，抛掷n次点数之和的最大值为6n，所以6112，6222，6332，6442，6552，66 = 62，6772，当n6时，点数之和不可能大于n2，即此时过关的概率为0所以小强在这项游戏中最多能连过5关（2）记第n次过关为事伯An，基本事件总数为6n第一关：由12 = 1知，点数不小于2即可，所以P (A1) = ，第二关：由22 = 4知，考虑对立事件，即“不能过第二关”依次取a = 2，3，4，解不定方程x + y = a，得其解的个数是，从而P (A2) = 1 P所以他连过前两关的概率是P = (12分)17（本小题满分12分）设函数f (x) = ，其中向量= 若函数y = sin2x按向量= (p，q) (|p|)平移后得到函数y = f (x)的图象，求实数p，q的值若f (x) = 1 + ，求sinx【解析】f (x) = cos2x sinx cosx = = sin (6分)sin (2x + ) + sin (2x + ) = 1 2x + = 2x = x = (kZ) x，x = (10分)sin () = (12分)ABCB1A1C118（本小题满分12分）如图：正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为，若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平面交上底面于DB1 （1）试确定D点的位置，并证明你的结论；C1B1AA1DCEB （2）求二面角A1AB1D的大小 【解析】（1）点D为A1C1中点。证明如下 (2分) 设AB1与A1B交于点E，连结DE，DEBC1 BC1面DAB1 面DAB1即为所求平面，D点即为所求 (6分)z （2）建立如图空间直角坐标系C1DB1则A (0，1，0) A1 (0，1，) B1 (0，1，) A1D () C1 CBy OAx 设=为平面AB1D的一个法向量，则 又平面A1AB1的法向量，设的夹角为，则cos= ，又知二面角A1AB1D是锐角，所以二面角A1AB1D的大小为12分19（本小题满分13分）数列an前n项和为Sn，Sn = 2an 3n (nN*)（1）若数列an + t成等比数列，求常数t 的值；（2）求数列an的通项公式；（3）数列an中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由【解析】（1）Sn = 2an 3n Sn + 1 = 2an + 1 3 (n + 1) an + 1 = 2an + 1 2an 3an + 1 = 2an + 3 t = 3 (5分)（2）a1 = S1 = 2a1 3 a1 = 3，an + 3 = 62n1 an = 32n 3 （nN*） (8分)（3）假设存在s，p，rN*，且spr，使as，ap，ar成等比差数列 2ap = as + ar，即2 (32p 3) = (32s 3) + (32r 3) 2p + 1 = 2s + 2r 2p + 1s = 1 + 2rs p，r，sN*2p + 1 s为偶数，1 + 2rs为奇数，产生矛盾，不存在满足条件的三项 13分20（本小题满分13分）已知x=1是函数的一个极值点，且m0（1）求m与n的关系表达式；（2）若f (x)的单调区间；（3）当时，函数y= f (x)的的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围【解析】（1）x=1是函数f (x)的一个极值点 在x=1处的值为0,即 3分（2）,令，即 m0, ,的增区间为，减区间为 6分（3）曲线在点（x,y）处切线的斜率 恒成立即 恒成立令此抛物线顶点横坐标为 m0 , 0 ,即 9分当-1 时， ，即 12分综上可知，m的取值范围为 13分21（本小题满分13分）已知函数y = kx与y = x2 + 2 (x0)的图象相交于不同两点A (x1，y1)，B (x2，y2)，l1，l2分别是y = x2 + 2 (x0)的图象在A、B两点的切线，M、N分别是l1、l2与x轴的交点，P为l1与l2的交点 （1）求证：直线l1，y = kx，l2的斜率成等差数列； （2）求l1与l2交点P的轨迹方程； （3）是否存在实数k使得ABP的面积最大？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由 【解析】（1）证明：对y = x2 + 2求导得：y= 2x，则y即l1，l2的斜率分别为2x1，2x2又由得x2 kx + 2 = 0 x1 + x2 = k即2x1 + 2x2 = 2k2x1，k，2x2成等差数列 （2）解：A，B两点坐标为A (x1，+ 2)，B (x2，)，l1，l2的方程分别为：y 2 = 2x1 (x x1) ，即：y = 2x1x y 2 = 2x2 (x x2) ， 即：y = 2x2