2020届山西省大同市高三上学期第一次联合考试数学（文）试题（解析版）

2020届山西省大同市高三上学期第一次联合考试数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】化简集合,再根据交集的概念进行运算可得.【详解】因为函数的值域为所以,又集合,所以.故选:D【点睛】本题考查了交集的运算,函数的值域,解一元二次不等式,属于基础题.2欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【解析】根据定义把写出复数的代数形式，再写出对应点坐标【详解】由题意，对应点为，在第二象限故选B【点睛】本题考查复数的指数形式与代数形式的转化，考查复数的几何意义解题关键是依定义把复数的指数形式化为代数形式本题考查数学文化，使学生认识到数学美3质监部门对2辆新能源汽车和3辆燃油汽车进行质量检测，现任取2辆，则选中的2辆都为燃油汽车的概率为（ ）A0.6B0.5C0.4D0.3【答案】D【解析】对所有车辆编号，能源车与燃油车区别开来，用列举法写出任取2辆的所有情况计数后可求得概率【详解】2辆新能源汽车编号为，3辆燃油汽车编号为，任取2辆的所有情况如下：共10种，其中2辆都为燃油汽车的有共3种，所以所求概率为故选：D【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有的基本事件，得事件的总数，然后再计算出所求概率事件所包含的基本事件的个数即可计算概率4已知角的终边经过点，则（ ）ABCD【答案】A【解析】结合三角函数定义求出，然后再计算【详解】角的终边经过点，是第一象限角，不妨设其为锐角，又，故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题5“”是“方程为椭圆”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】求出方程为椭圆时的取值范围，再分析充分必要条件【详解】方程表示椭圆，则，解得或“”是“方程为椭圆”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查方程表示椭圆的条件注意二次方程表示椭圆时除了要求以外还有，这个容易遗忘6设为等差数列，为其前n项和，若，则公差（ ）ABC1D2【答案】B【解析】用基本量法求解，即把用和表示【详解】为等差数列，解得故选：B【点睛】本题考查等差数列的前项和公式，方法是基本量法，属于基础题7函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】A【解析】用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选.【详解】因为 ,所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除;因为,故排除,因为由图象知,排除.故选:A【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.8为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A向右平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向左平移个单位【答案】B 【解析】试题分析：，可以将函数的图象向右平移个单位即可.【考点】1、三角恒等变换；2、图象平移.【方法点睛】先平移的话，如果平移个单位长度，那么相位就会改变， 而先伸缩势必会改变的大小，这时再平移，要使相位改变值仍为，那么平移长度一定不等于， 因此二者平移长度不一样，原因就是发生了变化 . 平移到，因为是自变量，平移的长度只与有关，毕竟是在轴上平移，所以要针对而不是来确定，这也是三角函数图象平移伸缩变换问题中要特别注意的原因，像平移到，就得向右平移个单位长度.9如图，在中，是上一点，若，则实数的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意，可根据向量运算法则得到（1m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.【详解】由题意及图，又，所以，（1m），又t，所以，解得m，t，故选C【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.10过抛物线的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段中点的纵坐标为4，则（ ）A6B8C10D12【答案】B【解析】利用抛物线的定义，即抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离求解【详解】如图，设是中点，在抛物线准线上的射影分别为，设，抛物线中，又是的中点，故选：B【点睛】本题考查抛物线的焦点弦性质，可直接利用焦点弦性质解题焦点弦性质：对抛物线，是它的焦点弦，则，11设是定义在R上的偶函数，且在单调递增，则（ ）ABCD【答案】A【解析】利用偶函数性质函数值中的自变量转化为上，然后利用单调性比较大小【详解】，是偶函数，易知，又在上递增，即故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查指数函数与对数函数的性质利用偶函数把函数值中自变量转化为上的数，利用指数函数与对数函数的性质比较它们的大小，最后由函数的单调性得出结论12如图所示的三棱柱，其中，若，当四棱锥体积最大时，三棱柱外接球的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】四棱锥体积是三棱柱体积的，因此要三棱柱体积，而棱柱的高最大值为，因此只要最大即可，此时三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，是斜边，因此其外接球球心是和的交点由此可得外接球半径【详解】，只要三棱柱体积取最大值，则四棱锥体积最大，三棱柱的高最大值为，此时，当且仅当时等号成立，的最大值为2（此时），连接交于点，设分别是的中点，则，且，从而平面，由知是的外心，是三棱柱外接球的球心，在正方形中，故选：C【点睛】本题考查球的体积，考查三棱柱与其外接球，考查棱柱与棱锥的体积本题难点有两个，一个是三棱柱体积最大时三棱柱中的线面位置关系，一个是外接球的球心位置多面体的外接球球心一定在过各面外心的该面的垂线上二、填空题13已知函数在点处的切线方程为，则_【答案】3【解析】由f（x）aex+b，得f（x），因为函数f（x）在点（0，f（0）处的切线方程是y2x+1，故（0，f（0）适合方程y2x+1，且f（0）2；联立可得结果【详解】由f（x）aex+b，得f（x）aex，因为函数f（x）在点（0，f（0）处的切线方程是y2x+1，所以解得a2，b1ab3故答案为：3【点睛】本题主要考查函数与导数的关系，特别是曲线的切线与函数导数之间的关系，属于中档题14已知正实数m，n满足，则的最小值是_.【答案】【解析】利用已知条件配凑出：，展开后可用基本不等式求得最小值【详解】正实数m，n满足，当且仅当，即时，等号成立，的最小值是故答案为：【点睛】本题考查用基本不等式求最值基本不等式求最值的条件：一正二定三相等其中定值常常需要我们配凑出，而“1”的代换是常用的配凑法15在中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则面积为_【答案】【解析】由题意首先求得角A的大小，然后结合余弦定理和三角形面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，.利用余弦定理有：，结合，可得：，则.故答案为.【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，余弦定理的应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题16已知，若，使得成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】将题设中，使得成立可转化为，进而求出参数.【详解】，则可知在单调递增，在单调递减.故.在单调递减，在单调递增.故.，使得成立，则，所以.【点睛】本题解题的关键是将存在性问题转化为最值问题求解. 常见的存在性问题有：（1）有解，则.（2）有解，则.三、解答题17已知数列是递减的等比数列，且，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前n项和.【答案】（1）,（2）=【解析】（1）由，成等差数列求出公比后，可得的通项公式；（2）由（1）计算出，因此用裂项相消法求数列的和【详解】（1）设数列的公比为q，由成等差数列得，又，所以，即，解得或（舍去），故，即数列的通项公式为.（2），,.【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，考查等差数列的性质，考查裂项相消法求数列的和，在用裂项相消法求数列和时，要注意相消的项是连续相消还是间隔相消18四棱锥中，底面为直角梯形，平面，为中点.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.【答案】(1)见证明；(2)1【解析】（1）根据题意，求得，再利用余弦定理求出，是等腰三角形，最后得出平面得证；(2) 取中点，证明，再证明平面，故平面，然后求得BM的长即可.【详解】（1）在直角梯形中，在中，由余弦定理，是等腰三角形，所以，平面，则平面平面.（2）取中点，连接，为平行四边形，所以，由，所以，又由于平面，所以，所以平面，所以平面，所以到平面的距离为1.【点睛】本题主要考查了立体几何的综合知识，垂直关系是解题的关键，属于中档题.19峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别它是将一天24小时划分成两个时间段，把8：0022：00共14小时称为峰段，执行峰电价，即电价上调；22：00次日8：00共10个小时称为谷段，执行谷电价，即电价下调为了进一步了解民众对峰谷电价的使用情况，从某市一小区随机抽取了50 户住户进行夏季用电情况调查，各户月平均用电量以，（单位：度）分组的频率分布直方图如下图：若将小区月平均用电量不低于700度的住户称为“大用户”，月平均用电量低于700度的住户称为“一般用户”其中，使用峰谷电价的户数如下表：月平均用电量（度）使用峰谷电价的户数3913721(1)估计所抽取的 50户的月均用电量的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)（）将“一般用户”和“大用户”的户数填入下面的列联表:一般用户大用户使用峰谷电价的用户不使用峰谷电价的用户()根据（）中的列联表，能否有的把握认为 “用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关？0.0250.0100.0015.0246.63510.828附：，【答案】（1）众数600度，平均数640度（2）（）见解析；()不能有的把握认为 “用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关.【解析】(1)由频率分布直方图计算出众数与平均数(2)完善列表联并计算出是否有关【详解】（1）根据频率分布直方图的得到度到度的频率为：，估计所抽取的户的月均用电量的众数为：（度）；估计所抽取的户的月均用电量的平均数为：（度）（2）依题意，列联表如下一般用户大用户使用峰谷电价的用户2510不使用峰谷电价的用户510的观测值所以不能有的把握认为 “用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关.【点睛】本题考查了频率分布直方图，并完善列表联计算线性相关性，较为基础，需要掌握解题方法20设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆：的圆心.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（）由题意求得a，b的值即可确定椭圆方程；（）分类讨论，设直线l代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，根据点到直线的距离公式可求出|CD|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围试题解析：（1）由题意知，则， 圆的标准方程为，从而椭圆的左焦点为，即，所以，又，得 所以椭圆的方程为：. （2）可知椭圆右焦点 （）当l与x轴垂直时，此时不存在，直线l：，直线，可得：，四边形面积为12. （）当l与x轴平行时，此时，直线，直线，可得：，四边形面积为. （iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为 ，并设，.由得. 显然，且， . 所以. 过且与l垂直的直线，则圆心到的距离为，所以. 故四边形面积：.可得当l与x轴不垂直时，四边形面积的取值范围为(12,). 综上，四边形面积的取值范围为21已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，试判断的零点个数.【答案】（1）当时，在上是增函数，当，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；（2）1【解析】（1）对求导后对进行分类讨论，找到和的区间，即为的单调区间.（2）由（1）可知时，有极大值和极小值，研究他们的正负，并且找到令的点，根据零点存在定理，找出零点个数.【详解】（1）函数的定义域为，令，则，（i）若，则恒成立，所以在上是增函数，（ii）若，则，当时，是增函数，当时，是减函数，当时，是增函数，（iii）若，则，当时，是增函数，当时，是减函数，当时，是增函数，综上所述：当时，在上是增函数，当，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；（2）当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，所以的极小值为，的极大值为,设，其中，,所以在上是增函数，所以，因为，所以有且仅有1个，使.所以当时，有且仅有1个零点.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，极值、最值，以及函数的图像和零点问题，涉及分类讨论的数学思想，题目比较综合，属于难题.22在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）设点分别为曲线与曲线上的任意一点，求的最大值；（2）设直线（为参数）与曲线交于两点，且，求直线的普通方程.【答案】(1)7；(2) 或【解析】(1)将曲线和都化成普通方程后,可知的最大值是圆心距加上两个圆的半径;(2) 将直线的参数方程代入中后,利用韦达定理以及参数的几何意义可得弦长,代入已知,可解得斜率,再由点斜式可得直线的方程.【详解】解：（1）由得，所以曲线的普通方程为，圆心，半径.曲线的直角坐标方程为，圆心，半径.（2）将直线的参数方程代入中，得，整理得，.设两点对应的参数分别为，则，.由及参数的几何意义，得，解得，满足，所