江苏省南通市海安高级中学学年高二数学上学期期中试题

2018-2019学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期期中考试数学试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、填空题1已知集合A=x，yx2+y2=4， 集合B=x，yy=x，则AB中元素的个数为_.2已知an是等差数列，Sn是其前n项和，若S5=10，a9=20，则a1的值是_.3若不等式x2+px+20，b0过点2，2，则4a+b+1的最小值为_.12已知P在椭圆x2a2+y2b2=1ab0上，F1，F2是椭圆的两个焦点，OP-OF1OP-OF2=0，且F1PF2的三条边长成等差数列，则椭圆的离心率e =_. 13直线kx-y-2k+1=0与直线x+ky-3k-2=0相交于点M，则OM长度的最小值为_.14定义：点Mx0，y0到直线l:ax+by+c=0的有向距离为ax0+by0+ca2+b2，已知点A-2，0，B2，0，直线m过点P4，0，若圆x2+y-62=36上存在一点C，使得A，B，C三点到直线m的有向距离之和为0，则直线m斜率的取值范围是_.二、解答题15如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PA平面ABCD，且PA=AD，点E为线段PD的中点.（1）求证：PB/平面AEC； （2）求证：AE平面PCD.16如图，A，B是单位圆O上的点，C，D分别是圆O与x轴的两交点,AOB为正三角形. （1）若A点坐标为35，45，求cosBOC的值；（2）若AOC=x0xb0的离心率为22，且过点1，62，过椭圆的左顶点A作直线lx轴，点M为直线l上的动点，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于P（1）求椭圆C的方程；（2）求证：APOM；（3）试问OPOM是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由20已知常数0，设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足：a1 = 1，Sn+1=an+1anSn+3n+1an+1（nN*）(1)若 = 0，求数列an的通项公式；(2)若an+10m-20m-220-m 解得11m20，焦距为4，c2=m-2-20+m=4，解得m=13故答案为13.【点睛】本题考查椭圆中参数的求法，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质,看清焦点位置是关键.9126【解析】【分析】由题意可得数列an是首项为2，公比q=2的等比数列，运用等比数列的求和公式，即可求出 S6的值.【详解】数列an中a1=2，an+1=2an，可得数列an是首项为2，公比q=2的等比数列，可得S6=21-261-2=126 ,故答案为126【点睛】本题考查等比数列的定义和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题，注意计算的准确性.100,-1,-2【解析】略1119【解析】【分析】直线xa+yb=1a0，b0过点2，2可得2a+2b=1再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【详解】直线xa+yb=1a0，b0过点2，2可得2a+2b=1，4a+b+1=（4a+b）2a+2b+1=10+8ab+2ba+128ab2ba+11=19 当且仅当a=3，b=6时取等号4a+b+1的最小值为19.故答案为19.【点睛】本题考查了直线截距式的方程、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，注意求最值时等号成立的条件要写上.1257【解析】【分析】先根据椭圆的性质化简条件OP-OF1OP-OF2=0,得到F1PF2所满足的条件,再根据已知三条边长成等差数列,列等式求解离心率.【详解】由椭圆的性质,可知O为F1F2的中点,所以OF1=-OF2,由OP-OF1OP-OF2=0及OP-OF1OP+OF1=0得|OP|=|OF1|=|OF2|所以F1PF2=90.设|PF1|=m|PF2|,则由椭圆的定义,可得|PF2|=2a-|PF1|=2a-m,而|F1F2|=2c.因为F1PF2的三条边长成等差数列,所以2|PF2|=|PF1|+|F1F2|,即m+2c=2(2a-m),解得m=13(4a-2c),即|PF1|=13(4a-2c).所以|PF2|=2a-13(4a-2c)= 13(2a+2c).又F1PF2=90,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,即13(4a-2c)2+13(2a+2c)2=(2c)2.整理,得5a2-2ac-7c2=0,解得a=75c或a=-c(舍去).则e=ca=57.故答案为57【点睛】本题利用向量式子得出焦点三角形为直角三角形，根据三边成等差数列得出|PF1|，|PF2|的长，再结合勾股定理得出a,c的等量关系即可求出e.1322-1【解析】【详解】直线kx-y-2k+1=0可化为y-1=k（x-2）过定点P（2，1）, 直线x+ky-3k-2=0可化为x-2+k(y-3)=0过定点Q（2,3），且满足k1-1k=0，两条直线互相垂直，垂足为M，其交点M在以PQ为直径的圆上，即M落在以T（2，2）为圆心，1为半径的圆上，所以|OM|的最小值为|OT|-1=22-1，故答案为22-1.【点睛】本题考查了直线的方程、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、动点的轨迹问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题,发现两条直线垂直是关键点.14-43，0【解析】【分析】由直线m过定点（4，0）可设直线m为kx-y-4k=0，由A，B，C三点到直线m的有向距离之和为-2k-4k1+k2+2k-4k1+k2+kx-y-4k1+k2=0，化简得kx-y-12k=0即求出了点C的轨迹，又C在圆上，所以转化为直线与圆有交点，即dr即可解得斜率范围.【详解】设直线m的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,设C(x,y)则A，B，C三点到直线m的有向距离之和为-2k-4k1+k2+2k-4k1+k2+kx-y-4k1+k2=0，化简得kx-y-12k=0,又C在圆x2+y-62=35上，所以kx-y-12k=0与x2+y-62=36有交点，圆心到直线的距离为|-6-12k|1+k26 解得-43k0，故答案为-43，0.【点睛】本题考查了新定义“有向距离”、点到直线的距离公式，根据题意求出点C的轨迹是关键，点C即为直线与圆的交点，即可利用直线与圆的位置关系解决问题.15(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：（1）连结AC,BD交于点0，连结OE，通过中位线的性质得到PA/OE，由线面平行判定定理得结果；（2）通过线面垂直得到DE BC，通过等腰三角形得到DE PC，由线面垂直判定定理可得DE 面PBC，再结合面面垂直判定定理得即可得结果.试题解析：（1）证明：连结AC,BD交于点0，连结OE，四边形ABCD为正方形，O为AC的中点，又E为PC中点，OE为PAC的中位线 PA/OE，又OEBDE,PA面BDE, PA/面BDE.（2）四边形ABCD为正方形， BCCD，PDBC，BC 面PCDDE BC，又PD=DC，E为PC中点DE PC， DE 面PBC，又DE面BDE，面BDE面PBC点睛：本题主要考查了线面平行的判定，面面平行的判定，属于基础题；主要通过线线平行得到线面平行，常见的形式有：1、利用三角形的中位线（或相似三角形）；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等；垂直关系中应始终抓住线线垂直这一主线.16（1）3-4310；（2）y=3+2sin(x2+3)，ymax=5.【解析】试题分析：（1）A点的坐标为(35,45)，根据正弦、余弦定义可得sinAOC=45,cosAOC=35，所以cosBOC=cos(3+AOC)=3-4310.（2）由题意知|AB|=|OC|=|OD|=1，在AOC中，ACO=-x2，由正弦定理得|CA|sinAOC=|OA|sinACO，即|CA|=sinxsin-x2=2sinx2，同理有|BD|=2sin(3-x2)，所以y=3+|CA|+|BD|=3+2sinx2+2sin(3-x2)=3+2sin(x2+3)，又因为0x23，x2+3(3,23)，sin(x2+3)(32,1，所以当x=3时，ymax=5.试题解析：（1）A点的坐标为(35,45)，所以sinAOC=45,cosAOC=35，cosBOC=cos(3+AOC)=3-4310.（5分）（2）由题意知，y=3+|CA|+|BD|=3+2sinx2+2sin(3-x2)=3+2sin(x2+3)（8分）因为0x1 两种情况进行讨论； 试题解析：（1）解：k=3 时，f(x)=x3-6x2+9x+1 则f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3) 令f(x)=0得x1=1,x2=3列表x0(0,1)1(1,3)3(3,5)3f(x)+0-0+f(x)1单调递增5单调递减1单调递增21由上表知函数f(x)的值域为1,21 （2）方法一：f(x)=3x2-3(k+1)x+3k=3(x-1)(x-k)当k1时，x1,2,f(x)0，函数f(x)在区间1,2单调递增所以f(x)min=f(1)=1-32(k+1)+3k+1=3 即k=53（舍） 当k2时，x1,2,f(x)0，函数f(x)在区间1,2单调递减 所以f(x)min=f(2)=8-6(k+1)+3k2+1=3 符合题意 当1k2时,当x1,k)时，f(x)0 f(x)区间在(k,2单调递增 所以f(x)min=f(k)=k3-32(k+1)k2+3k2+1=3 化简得：k3-3k2+4=0 即(k+1)(k-2)2=0 所以k=-1或k=2（舍） 注：也可令g(k)=k3-3k2+4 则g(k)=3k2-6k=3k(k-2) 对k(1,2),g(k)0g(k)=k3-3k2+4在k(1,2)单调递减 所以0g(k)2不符合题意 综上所述：实数k取值范围为k2 方法二：f(x)=3x2-3(k+1)x+3k=3(x-1)(x-k) 当k2时，x1,2,f(x)0，函数f(x)在区间1,2单调递减 所以f(x)min=f(2)=8-6(k+1)+3k2+1=3 符合题意 8分当k1时，x1,2,f(x)0，函数f(x)在区间1,2单调递增所以f(x)minf(2)=3 不符合题意 当1k2时,当x1,k)时，f(x)0 f(x)区间在(k,2单调递增 所以f(x)min=f(k)4t3 ，即 |33t5|t3，解之得t153+12 (不合，舍去)或0t153-12又因为OA=2t，因此OA的最大距离为15(31)(海里)19（1）x24+y22=1（2）详见解析（3）4【解析】试题分析：（1）两个独立条件可解得两个未知数：由离心率为22得a2=2b2，由椭圆C过点(1,62)得1a2+32b2=1，即得a2=4，b2=2，则椭圆C的方程x24+y22=1（2）证明APOM，一般从坐标表示出发：先设P(x1,y1)，则x12+2y12=4，又由B,P,M三点关系可得M(-2,-4y1x1+2)，从而APOM=(x1+2,y1)(-2,-4y1x1-2)=-2(x1+2)-4y12x1-2=-2x12-4+2y12x1-2=0，也可设直线斜率表示点的坐标（3）同（2）OPOM =(x1,y1)(-2,-4y1x1-2)=-2x1-4y12x1-2=-2x12-2x1+2y12x1-2=-24-2x1x1-2=4试题解析：（1）椭圆C：x2a2+y2b2=1 (ab0)的离心率为22，a2=2c2，则a2=2b2，又椭圆C过点(1,62)，1a2+32b2=1 2分a2=4，b2=2，则椭圆C的方程x24+y22=1 4分（2）设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为y=k(x-2)，设P(x1,y1)，将y=k(x-2)代入椭圆C的方程x24+y22=1中并化简得：(2k2+1)x2-4k2x+8k2-4=0， 6分解之得x1=4k2-22k2+1，x2=2，y1=k(x1-2)=-4k2k2+1，从而P(4k2-22k2+1,-4k2k2+1) 分令x=-2，得y=-4k，M(-2,-4k)，OM=(-2,-4k) 9分又AP=(4k2-22k2+1+2,-4k2k2+1)(8k22k2+1,-4k2k2+1)， 11分APOM=-16k22k2+1+16k22k2+1=0，APOM 13分（3）OPOM=(4k2-22k2+1,-4k2k2+1)(-2,-4k)=-8k2+4+16k22k2+1=8k2+42k2+1=4OPOM为定值4 16分考点：直线与椭圆位置关系，椭圆方程20（I）an=1（II）13【解析】试题分析：（I）=0时，Sn+1=an+1anSn+an+1,变形得Sn+1an+1=Snan+1，即数列Snan为一个等差数列，从而Snan=1+n-1=n，再根据an+1=Sn+1-Sn得an+1=(n+1)an+1-nanan+1=an=1；也可变形为Sn=an+1anSn，即an+1=an，从而有an=1（II）同（I）可得Sn+1an+1-Snan=3n+1，再利用叠加法得到Sn=(3n-32+n)an，利用an+1=Sn+1-Sn得(3n+1-32+n)an+1= (3n-32+n)an，因为an+112an对一切n*恒成立，可化简为3n-32+n2n3n+