陕西西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高三数学联考试卷文

陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，3，6，则A. 2，B. 6，C. D. 【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出【详解】集合2，3，6，6，9，18，2，故选：D【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分的条形统计图（甲为黑色条框，乙为浅色条框），设甲乙两位同学成绩的平均值分别为x-甲,x-乙，标准差分别为甲，乙，则A. x-甲x-乙,甲x-乙,甲乙C. x-甲乙D. x-甲x-乙,甲x乙-，甲x乙-，甲乙故选：A【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix=cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知可得e2i=cos2+isin2，再由三角函数的象限符号得答案【详解】由题意可得，e2i=cos2+isin2，22，cos20，则e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限故选：B【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题4.设M为ABC所在平面内一点BC=3CM，则（ ）A. AM=13AB+43ACB. AM=13AB43ACC. AM=43AB+13ACD. AM=43AB13AC【答案】A【解析】【分析】由BC=3CM利用平面向量几何运算的三角形法则，可得AB-AC=3（AC-AM），化简即可得结果.【详解】因为BC=3CM，所以AC-AB=3（AM-AC），可得13AC-13AB=AM-AC，化为AM=-13AB+43AC，故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的几何运算，属于基础题向量的几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.5.张丘建算经卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？A. 18B. 20C. 21D. 25【答案】C【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织d 尺布，则305+30292d=390 ，解得d=1629 ，所以a30=5+(301)1629=21 ，故选C.6.设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r，y关于x的回归直线方程为y=kx+b，则A. k与r的符号相同B. b与r的符号相同C. k与r的符号相反D. b与r的符号相反【答案】A【解析】【分析】根据相关系数知相关系数的性质：|r|1，且|r|越接近1，相关程度越大；且|r|越接近0，相关程度越小.r为正，表示正相关，回归直线方程上升，选出正确结果【详解】相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，r为负，表示负相关，回归直线方程下降，k与r的符号相同故选：A【点睛】本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系的方法，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，当相关系数大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系7.如果对定义在R上的奇函数y=f(x)，对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f(x1)+x2f(x2)x1f(x2)+x2f(x1)，则称函数y=f(x)为“H函数”，下列函数为H函数的是A. f(x)=sinxB. f(x)=exC. f(x)=x3-3xD. f(x)=x|x|【答案】D【解析】【分析】根据题意，不等式x1f(x1)+x2f(x2)x1f(x2)+x2f(x1)等价为(x1-x2)f(x1)-f(x2)0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案【详解】根据题意，对于所有的不相等实数x1，x2，则x1f(x1)+x2f(x2)x1f(x2)+x2f(x1)恒成立，则有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，f(x)=sinx，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f(x)=ex，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f(x)=x3-3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f(x)=x|x|=-x2,x0,b0)的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为A. 2B. 2C. 5D. 5【答案】C【解析】【分析】设P为直线bx-ay=0与MF2的交点，则OP为MF1F2的中位线，求得F2到渐近线的距离为b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值【详解】设P为直线bx-ay=0与MF2的交点，则OP为MF1F2的中位线，F2(c,0)，直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，可得F2到渐近线的距离为|F2P|=bcb2+a2=b，且|OP|=c2-b2=a，|MF1|=2|OP|=2a，|MF2|=2b，可得|MF2|-|MF1|=2a，即为2b-2a=2a，即b=2a，可得e=ca=1+b2a2=1+4=5故选：C【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知F是抛物线C：y=2x2的焦点，点P(x,y)在抛物线C上，且x=1，则|PF|=_【答案】178【解析】【分析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可【详解】由y=2x2，得x2=12y，则p=14；由x=1得y=2，由抛物线的性质可得|PF|=2+p2=2+18=178，故答案为：178【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题14.已知实数x，y满足约束条件x+4y+204x+y-70x-y+20，则z=-5x+y的最大值为_【答案】10【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的最值即可【详解】作出实数x，y满足约束条件x+4y+204x+y-70x-y+20的可行域如图所示：作直线l0：-5x+y=0，再作一组平行于l0的直线l：-5x+y=z，当直线l经过点A时，z=-5x+y取得最大值，由x-y+2=0x+4y+2=0，得点A的坐标为(-2,0)，所以zmax=-5(-2)+0=10z=-5x+y的最大值为：10故答案为：10【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力15.设函数f(x)=f(x-1),x12x-1,x1，则函数f(log210)=_【答案】14【解析】【分析】推导出函数f(log210)=f(log210-1)=f(log210-2)=f(log210-3)=2log210-3-1，由此能求出结果【详解】函数f(x)=f(x-1),x12x-1,x1，函数f(log210)=f(log210-1)=f(log210-2)=f(log210-3)=2log210-3-1=1023-1=14故答案为：14【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16.如图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1和半径为3的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，A1，B1，C1，D1四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为_【答案】4【解析】【分析】设该正四棱柱的高为h，底面边长为a，计算出底面外接圆的半径r=22a，利用勾股定理h2+r2=3，得出a2=6-2h2，利用柱体体积公式得出柱体体积V关于h的函数关系式，然后利用导数可求出V的最大值【详解】设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为2r=2a，所以，r=22a由勾股定理得h2+r2=(3)2，即h2+a22=3，得a2=6-2h2，其中0h3，所以，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V=a2h=(6-2h2)h=-2h3+6h，其中0h3，构造函数f(h)=-2h3+6h，其中0h3，则f(h)=-6h2+6，令f(h)=0，得h=1当0h0；当1h3时，f(h)0所以，函数V=f(h)在h=1处取得极大值，亦即最大值，则Vmax=f(1)=4因此，该正四棱柱的体积的最大值为4【点睛】本题考查球体内接几何体的相关计算，解决本题的关键在于找出相应几何量所满足的关系式，考查计算能力，属于中等题三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=23，且(23+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC(1)求角A的大小；(2)求ABC的面积的最大值【答案】（1）3； （2）33.【解析】【分析】1直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果2利用1的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果【详解】1在ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=23，且23+bsinAsinB=cbsinC整理得：a+bsinAsinB=cbsinC，利用正弦定理得：a2b2=c2bc，即：cosA=b2+c2a22bc=12，由于：0Ab0)，半焦距c.可得c=26，(26)2a2+22b2=1，a2=b2+c2.联立解出即可得出(2)直线l与x轴平行时，把y=3代入椭圆方程可得：x236+912=1，解得x，可得AOB面积S=9.直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+m，设A(x1,y1)，B(x2,y2).原点到直线AB的距离d=|m|1+t2=3，化为：m2=9(1+t2).直线方程与椭圆方程联立化为：(t2+3)y2+2tmy+m2-36=0，利用根与系数的关系可得|AB|=(1+t2)(y1+y2)2-4y1y2，令t2+3=n3，可得AOB面积S=12d|AB|【详解】(1)由题意可设椭圆方程为：x2a2+y2b2=1(ab0)，半焦距c则c=26，(26)2a2+22b2=1，a2=b2+c2联立解得：c=26，a=6，b2=12椭圆C的标准方程为：x236+y212=1(2)直线l与x轴平行时，把y=3代入椭圆方程可得：x236+912=1，解得x=3，可得AOB面积S=1263=9直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+m，设A(x1,y1)，B(x2,y2).原点到直线AB的距离d=|m|1+t2=3，化为：m2=9(1+t2).联立x2+3y2=36x=ty+m，化为：(t2+3)y2+2tmy+m2-36=0，=4t2m2-4(t2+3)(m2-36)0，y1+y2=-2tmt2+3，y1y2=m2-36t2+3则|AB|=(1+t2)(y1+y2)2-4y1y2=(1+t2)4t2m2(t2+3)2-4(m2-36)t2+3=6(t2+1)(t2+9)(t2+3)2，令t2+3=n3，则AOB面积S=12d|AB|=1236(t2+1)(t2+9)(t2+3)2=9(n-2)(n+6)n2=9-12(1n-16)2+43943=63，当且仅当n=6，t=3时，AOB面积取得最大值63【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题21.已知函数f(x)=ex-ax(aR)有两个零点(1)求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的两个零点分别为x1，x2，求证：x1+x22【答案】（1）(e,+)； （2）见解析.【解析】【分析】(1)利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a的范围；(2)由ex1=ax1，ex2=ax2得x1=lna+lnx1，x2=lna+lnx2；得到所以x1+x2=(t+1)lntt-1；构造函数h(t)=lnt-2(t-1)t+1，求证即可【详解】(1)由f(x)=ex-ax，得fx=ex-a，当a0时，f(x)在R上为增函数，函数f(x)最多有一个零点，不符合题意，所以a0当a0时，fx=ex-a=ex-elna，fx0x0xlna；所以f(x)在(-,lna)上为减函数，在(lna,+)上为增函数；所以f(x)min=f(lna)=a-alna；若函数f(x)有两个零点，则f(lna)e；当ae时，f(0)=10，f(1)=e-a0；由零点存在定理，函数f(x)在(0,1)和(1,3a)上各有一个零点结合函数f(x)的单调性，当ae时，函数f(x)有且仅有两个零点，所以，a的取值范围为(e,+)(2)证明：由(1)得ae，0x11)，则x2-x1=lntx2=tx1，解得x1=lntt-1，x2=tlntt-1；所以x1+x2=(t+1)lntt-1，当t1时，x1+x22(t+1)lntt-12lnt-2(t-1)t+10；设h(t)=lnt-2(t-1)t+1，则ht=(t-1)2t(t+1)2 ，当t1时，ht0，于是h(t)在(1,+)上为增函数；所以，当t1时，h(t)h(1)=0，即lnt-2(t-1)t+10；所以x1+x22【点睛】本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性，以及零点定理应用与构造函数等知识点，属较难题22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程为=4cossin2，直线的参数方程为x=tcosa,y=1+tsina（为参数，0a）.（）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（）若直线经过点(1,0)，求直线被曲线C截得的线段AB的长.【答案】（1）详见解析；（2）8【解析】试题分析：（1）对曲线C的极坐标方程两边乘以，可化得其直角坐标方程为y2=4x，这是顶点在原点，焦点为(1,0)的抛物线；（2）根据直线参数方程的定义可知，直线过点(0,1)，依题意直线又过点(1,0)，由此求得直线方程为y=x+1，倾斜角为34，故直线的参数方程为x=tcos34=22ty=1+tsin34=1+22t，代入抛物线的直角坐标方程，写出韦达定理，利用|AB|=|t1t2|求得弦长为8.试题解析：（1）曲线C的直角坐标方程为y2=4x，故曲线C是顶点为O(0，0)，焦点为F(1，0