山东淄博部分学校高三数学阶段性诊断考试理

山东省淄博市部分学校2019届高三数学阶段性诊断考试试题 理（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简复数，根据纯虚数的定义即可求出实数的值。【详解】要使复数（是虚数单位）是纯虚数，则，解得：，故答案选A。【点睛】本题主要考查复数的化简以及纯虚数的定义，属于基础题。2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用一元二次不等式解出集合，利用补集的运算即可求出。【详解】由集合，解得：，故答案选C。【点睛】本题考查一元二次不等式的求解以及集合补集的运算，属于基础题。3.已知非零向量，若，则向量和夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用平面向量数量积的运算律即可求解。【详解】设向量与向量的夹角为，由可得：，化简即可得到： ，故答案选B。【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，向量夹角余弦值的求法，属于基础题。4.展开式的常数项为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】写出展开式的通项，整理可知当时为常数项，代入通项求解结果。【详解】展开式的通项公式为，当，即时，常数项为：，故答案选D。【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项系数的问题，属于基础题。5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可.【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积.故选C【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题，只需先由三视图确定几何体的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型.6.在中，角对边分别是，满足，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简，再利用余弦定理即可求出的值，代入三角形面积公式即可。【详解】，又，由余弦定理可得： ，解得：，由三角形面积公式可得 故答案选B。【点睛】本题考查余弦定理、三角形的面积公式，考查学生化简、变形的能力，属于中档题。7.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关， 初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为：有一个人要走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天恰好到达目的地，请问第三天走了（ ）A. 里B. 里C. 里D. 里【答案】B【解析】【分析】由题意可知此人每天走的步数构成公比为的等比数列，利用等比数列求和公式可得首项，由此可得第三天走的步数。【详解】由题意可知此人每天走的步数构成公比为的等比数列， 由等比数列的求和公式可得：，解得：，故答案选B。【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，求出数列的首项是解决问题的关键，属于基础题。8.函数的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分析四个图像的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解。【详解】当时，故排除D；由于函数的定义域为，且在上连续，故排除B；由，由于 ， ，所以，故排除C;故答案为A。【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法的应用，属于中档题。9.椭圆与双曲线的离心率之积为，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运用椭圆和双曲线的离心率公式，可得关于a，b的方程，再由双曲线的渐近线方程，即可得到结论【详解】椭圆中：a2，b1，所以，c，离心率为，设双曲线的离心率为e则，得，双曲线中，即，又，所以，得，双曲线的渐近线为：，所以两条渐近线的倾率为倾斜角分别为，.故选C.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于易错题10.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，即可得出结论【详解】解：第1步：S2，x4，m2；第2步：S8，x6，m；第3步：S48，x8，m，退出循环，故选B【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.11.若在上是减函数，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据辅助角公式，化简函数的解析式，再根据余弦函数单调减区间求得单调减区间，进而求得的最大值。【详解】，由辅助角公式可得： 令，解得：，则函数的单调减区间为，又在上是减函数，则，当时，函数的单调减区间为， ，解得：，故答案选D。【点睛】本题主要考查辅助角公式用法，余弦函数的单调区间的求法，属于中档题12.已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设点，要使的值最小，则的值要最大，即点到圆心的距离加上圆的半径为的最大值，然后表示出关于的方程，利用基本不等式即可求出的最小值。【详解】设点，由于点是抛物线上任意一点，则，点，则，由于点是圆上任意一点，所以要使的值最小，则的值要最大，即点到圆心的距离加上圆的半径为的最大值，则 ， ，经检验满足条件，的最小值为，故答案选A。【点睛】本题考查圆与抛物线的综合应用，以及基本不等式求最值问题，属于中档题。二、填空题（将答案填在答题纸上）13.某高中学校三个年级共有团干部名，采用分层抽样的方法从中抽取人进行睡眠时间调查.其中从高一年级抽取了人，则高一年级团干部的人数为_【答案】【解析】【分析】利用分层抽样的定义即可得到结论。【详解】 某高中学校三个年级共有团干部名，采用分层抽样的方法从中抽取人进行睡眠时间调查.其中从高一年级抽取了人，高一年级团干部的人数为：，故答案为24。【点睛】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题14.已知，且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合图像确定目标函数的最优解，代入即可求解。【详解】画出约束条件所表示的可行域，如图（阴影部分）所示：则目标函数所表示的直线过点时，取最小值，又 ，解得，故答案为-4。【点睛】本题考查简单线性规划求最值问题，画出不等式组表示的可行域，利用：一画、二移、三求，确定目标函数的最优解，着重考查数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题15.已知函数定义域为，满足，当时，则_【答案】【解析】【分析】由题可得函数为周期函数，根据函数周期的性质以及分段函数的解析式，即可求解。【详解】函数定义域为，满足，则为周期函数， 由，可得：，故答案为。【点睛】本题主要考查周期函数以及分段函数的函数值的计算，着重考查运算与求解能力，属于基础题。16.如图，直角三角形所在平面与平面交于，平面平面，为直角，为的中点，且，平面内一动点满足，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，利用向量的数量积化简可得到关于的二次函数，求出二次函数在某区间上求值域即可。【详解】在直角三角形中，过点作边上的高交于，直角三角形所在平面与平面交于，平面平面，平面，在平面内过点作边的垂线，所以，以为原点，为轴，为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：为直角，,为的中点，且, , ，又 ，则 ，即，化简即可得到： ，由于，则 ，所以 ，把 代入即可得到：，当，的范围为 ，所以的取值范围是，故答案为。【点睛】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，解题的关键是建立空间直角坐标系，求出各点坐标，表示出题目所求即可。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知等比数列的前项和为成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质以及等差中项可求得公比，代入中，求出q，即可求得数列的通项公式；（2）把数列的通项公式代入中化简，代入求得，再利用裂项相消求得。【详解】（1）设等比数列的公比为，由成等差数列知，所以，即.又，所以，所以，所以等差数列的通项公式.（2）由（1）知 ，所以所以数列的前 项和：所以数列的前项和【点睛】本题考查数列的知识，掌握等差等比数列的性质、通项是解题的关键，同时也需要掌握好数列求和的方法：分组求和、裂项相消、错位相减等，属于中档题。18.已知六面体如图所示，平面，分别是棱，上的点，且满足.（1）求证：平面平面；（2）若平面与平面所成的二面角的大小为，求.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】解法一：（1）连接，设，根据相似三角形以及等分线段性质，即可证明，连接，证明是平行四边形，得到，由两平面平行判定定理即可得到平面平面。解法二：（1）由题意可得，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，分别与平面中两个相交向量相乘等于0，即可证明平面平面；（2）由（1）可得平面的法向量，再求出平面的法向量，进而求得平面与平面所成的二面角的余弦值，由此求出。【详解】解：（1）证法一：连接，设，连接，因为，所以，所以，在中，因为，所以，且平面，故平面，在中，因为，所以，且，所以，因为，所以，所以是平行四边形，所以，且平面，所以平面，因为，所以平面平面.证法二：因为，所以，因为，平面，所以平面，所以，取所在直线为轴，取所在直线为轴，取所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得，所以，因为，所以，所以点的坐标为，同理可求点的坐标为，所以，设为平面的法向量，则，令，解得，所以，因为，所以，且，所以平面平面（2） 为平面的法向量.，可求平面的一个法向量为所以，所以【点睛】本题主要考查面面平行的证明，空间向量在立体几何中的应用，考查学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题。19.已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线斜率为，且与椭圆的另一个交点为，是否存在点，使得若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）由题可得当为的短轴顶点时，的面积有最大值，根据椭圆的性质得到、的方程，解方程即可得到椭圆的方程；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立消去，得到关于的一元二次方程，表示出根与系数的关系，即可得到的中点坐标，要使，则直线为线段的垂直平分线，利用直线垂直的关系即可得到关于的式子，再利用基本不等式即可求出的取值范围。【详解】解（1）当为的短轴顶点时，的面积有最大值所以，解得，故椭圆的方程为：.（2）设直线方程为，将代入，得；设，线段的中点为，即因为，所以直线为线段的垂直平分线，所以，则，即，所以，当时，因为，所以，当时，因为，所以.综上，存在点，使得，且的取值范围为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断以及基本不等式在解析几何中的应用，综合性强，难度大，具有一定的探索性。20.山东省高考改革试点方案规定：从年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为八个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为.选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校级学生共人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级的学生原始成绩统计如下成绩93919088878685848382人数1142433327（1）从物理成绩获得等级的学生中任取名，求恰好有名同学的等级分数不小于的概率;（2）待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到名同学的物理高考成绩等级为或结束(最多抽取人)，设抽取的学生个数为，求随机变量的数学期望(注: ).【答案】(1)0.29 (2)见解析【解析】【分析】（1）设物理成绩获得等级的学生原始成绩为，其等级成绩为，由原始成绩与等级成绩的转换公式得到关于 的关系式，即可计算出等级分数不小于的人数，利用古典概型即可计算出恰好有名同学的等级分数不小于的概率。（2）由题意得，随机抽取人，等级成绩为或的概率为，然后列出学生个数的分布列，即可计算数学期望。【详解】解：（1）设物理成绩获得等级的学生原始成绩为，其等级成绩为.由转换公式，得.由，得.显然原始成绩满足的同学有人，获得等级的学生有人，恰好有名同学等级分数不小于的概率为：.（2）由题意得，随机抽取人，其等级成绩为或的概率为.学生个数的可能取值为；，；其数学期望是：其中： 应用错位相减法“式-式”得：故.【点睛】本题主要考察排列组合问题、概率的求法，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求法，属于中档题21.已知函数（1）若存在正数，使恒成立，求实数的最大值；（2）设，若没有零点，求实数的取值范围.【答案】(1)1(2) 【解析】【分析】（1）先对函数求导，再由导数研究出原函数的单调性，确定最大值，结合条件中的不等式，分离参数，得到关于的函数就，再利用导数求出的最大值；（2）把的值代入，利用导数研究的单调区间，要使没有零点，则的最小值大于0，然后分类参数，即可求出实数的取值范围。【详解】解：（1），当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，故当时，函数取得极大值.若对任意恒成立，当且仅当，即成立.设，则.当时，是增函数；当时，是减函数，所以当时，取得极大值，即.所以，即实数的最大值是.（2），所以，设，则在上是增函数，又，所以在区间内存在唯一零点，即.当时，即；当时，即，所以在上是减函数，在 上是增函数，所以.因为没有零点，所以，即，所以的取值范围是.【点睛】本题考查导数在函数恒成立问题中应用、零点问题的判定以及分离参数法，属于较难题目22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线分别相交于异于原点的