数学一轮总第十四章推理与证明训练检测PDF理新人教B

第十四章 推理与证明 第十四章 推理与证明 对应学生用书起始页码 考点一 合情推理与演绎推理 （ 北京， 分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占 一半甲、乙、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球，将其 中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙 盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入 盒中，则（ ） 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 乙盒中红球不多于丙盒中红球 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 答案 解法一：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次 取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中 无球， 错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有 一个红球， 错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第 一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两 个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的 红球， 错误故选 解法二：设袋中共有 个球，最终放入甲盒中 个红球，放入 乙盒中 个红球依题意知，甲盒中有（）个黑球，乙盒中共 有 个球，其中红球有 个，黑球有（） 个，丙盒中共有 （）个球，其中红球有（）个，黑球有（）（） 个所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多故选 本题考查推理与论证能力，对考生综合与分析的 能力要求较高 （ 北京， 分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等 级，依次为“优秀”“合格”“不合格”若学生甲的语文、数学成 绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学 生甲比学生乙成绩好”如果一组学生中没有哪位学生比另一 位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的 两位学生，那么这组学生最多有（ ） 人 人 人 人 答案 设学生人数为 ，因为成绩评定只有“优秀”“合 格”“不合格”三种情况，所以当 时，语文成绩至少有两人 相同，若此两人数学成绩也相同，与“任意两人成绩不全相同” 矛盾；若此两人数学成绩不同，则此两人有一人比另一人成绩 好，也不满足条件因此：，即 当 时，评定结果分 别为“优秀，不合格”“合格，合格”“不合格，优秀”，符合题意， 故 ，选 （ 山东， 分）观察下列各式： ； ； ； ； 照此规律，当 时， 答案 解析 由题知 （ 福建， 分）一个二元码是由 和 组成的数字串 （），其中 （ ，）称为第 位码元二 元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错 误（即码元由 变为 ，或者由 变为 ） 已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组： ， ， ， 其中运算定义为：， 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错 误后变成了 ，那么利用上述校验方程组可判定 等于 答案 解析 设 ，在规定运算法则下满足： ，可分为下列三类情形： 个 ：，个 ： ， 个 ： ，因此，错码 通过校验方程组可得： 由 ， ； 由 ， ； 由 ， ， 错码可能出现在 ，上， 若 ，则检验方程组都成立，故 若 ，此时 ，故 综上分析，为错码，故 本题主要考查推理，考查学生分析、解决问题的能 力，属中等难度题 （ 陕西， 分）观察分析下表中的数据： 多面体面数（）顶点数（）棱数（） 三棱柱 五棱锥 立方体 年高考年模拟 版（教师用书） 猜想一般凸多面体中 ， 所满足的等式是 答案 解析 观察表中数据，并计算 分别为 ，又其对 应 分别为 ，容易观察并猜想 （ 陕西， 分）观察下列等式 照此规律，第 个等式可为 答案 （）（）（） 解析 左边为平方项的（） 倍的和，右边为（ ）的（） 倍，可用数学归纳法证明成立 （ 陕西， 分）观察下列不等式 ， ， ， 照此规律，第五个 不等式为 答案 解析 先观察左边，第一个不等式为 项相加，第二个不等 式为 项相加，第三个不等式为 项相加，则第五个不等式应 为 项相加，右边分子为分母的 倍减 ，分母即为所对应项 数，故应填 本题考查了归纳推理，考查了由特殊到特殊的推理方 法 以下为教师用书专用（） （ 湖南， 分）设 （，），将 个数 ， ，依次放入编号为 ， 的 个位置，得到排列 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取 出，并按原顺序依次放入对应的前 和后 个位置，得到排 列 ，将此操作称为 变换，将 分成 两段，每段 个数，并对每段作 变换，得到 ；当 时，将 分成 段，每段 个数，并对每段作 变换，得到 例如，当 时， ，此时 位于 中 的第 个位置 （）当 时，位于 中的第 个位置； （）当 （）时，位于 中的第 个位置 答案 （） （） 解析 （）由已知可得 ， ，所以 位于 中 第 个位置 （）根据题意可知 将这 个数分成 段，每段有 个 数，每段数下标分别构成公差为 的等差数列，第 段的首 项为 ，其通项公式为 ，当 时， ；第 段的首项为 ，其通项公式为 ，当 时， ；第 段的首项为 ，其通项公式为 ，当 时， ；第 段的首项为 ，其通项公式 为 ，当 时，故 位于 中第 个位置上 评析 本题主要考查了等差数列及归纳推理的方法和思 想，要求学生能从所给的信息中总结出规律，考查学生分析问 题、解决问题的能力解题过程体现了由特殊到一般的思想 （ 北京， 分）对于数对序列 ：（，），（，）， ，（，），记 （） ，（） （）， （），其中 （），表示 （）和 两个数中最大的数 （）对于数对序列 ：（，），（，），求 （），（）的值； （）记 为 ， 四个数中最小的数，对于由两个数对（， ），（，）组成的数对序列 ：（，），（，）和：（，）， （，），试分别对 和 两种情况比较 （） 和 （）的大小； （）在由五个数对（，），（，），（，），（，），（，） 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 使 （）最 小，并写出 （）的值（只需写出结论） 解析 （）（） ， （） （）， ， （）（） ， （） ， 当 时，（） ， 因为 ，且 ，所以 （）（） 当 时，（） ， 因为 ，且 ，所以 （）（） 所以无论 还是 ，（）（）都成立 （）数对序列 ：（，），（，），（，），（，），（，）的 （）值最小，（） ，（） ，（） ，（） ， （） 评析 本题考查了集合的表示、不等式、合情推理等知识；考 查综合分析，归纳抽象，推理论证能力；熟练运用归纳的方法， 通过特例分析理解抽象概念是解题的关键 （ 福建， 分）某同学在一次研究性学习中发现，以 下五个式子的值都等于同一个常数： ； ； ； （）（） ； （）（） （）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； （）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等 式，并证明你的结论 解析 解法一： （）选择式，计算如下： （）三角恒等式为 （） （） 证明如下： 第十四章 推理与证明 （） （） （ ） （ ） 解法二： （）同解法一 （）三角恒等式为 （） （） 证明如下： （） （） （） （ ） （ ） （ ） 评析 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与 差的三角函数公式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解 能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查特殊与一般思想、 化归与转化思想 考点二 直接证明与间接证明 （ 山东， 分）用反证法证明命题“设 ， 为实数，则方 程 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） 方程 没有实根 方程 至多有一个实根 方程 至多有两个实根 方程 恰好有两个实根 答案 因为“方程 至少有一个实根”等价于 “方程 的实根的个数大于或等于 ”，因此，要做的 假设是方程 没有实根 （ 江西， 分）下列命题中，假命题为（ ） 存在四边相等的四边形不 是正方形 ， 为实数的充分必要条件是 ，互为共轭 复数 若 ，且 ，则 ， 至少有一个大于 对于任意 ， 都是偶数 答案 不是正方形的菱形四边相等，故 是真命题若 ，则 ，但 与 不是共轭复数，故 为 假命题假设 ， 都不大于 ，即 ，且 ，则有 与 矛盾，故 是真命题因 为偶数，故 是真命题，故选 本题考查命题真假的判断，考查充要条件的判断 以及组合数性质，考查了反证法以及推理论证能力 （ 浙江， 分） 设数列 满足 ， （）证明：（ ），； （）若 () ，证明：， 解析 （）由 得 ，故 ， 所 以 ， 因此（ ） （）任取 ，由（）知，对于任意 ， ， 故 () () 从而对于任意 ，均有 () 由 的任意性得 否则，存在 ，有 ，取正整数 且 ，则 () () ，与式 矛盾 综上，对于任意 ，均有 思路分析 （）要证（ ）成立，只需证明 即 可， 把 不 等 式左 边 变 形， 得 到 ， 由 已 知 可得 ，得出 ，代入上式即可得证；（）先利用（）中的结论及已知条件 证，再用反证法检验，即假设存在 ，有 ，经过推理可导出矛盾，从而证明原结论 本题主要考查数列的递推关系与单调性、不等式 性质等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决 问题的能力 （ 江苏， 分）设是首项为 ，公差为 的等差数列 （），是其前 项的和记 ，其中 为实数 （）若 ，且 ，成等比数列，证明： （， ）； 年高考年模拟 版（教师用书） （）若是等差数列，证明： 解析 由题意得，（） （）由 ，得 又因为 ，成等比数列，所以 ，即 () ()，化简得 因为 ，所以 因此，对于所有的 ，有 从而对于所有的 ，有 （） （）设数列的公差是 ，则 （），即 （），代入 的表达式，整理得，对于所有的 ，有 () () （ ） 令 ， ， （ ），则对于所有的 ，有 （） 在（）式中分别取 ，得 ， 从而有 ， ， ， 由，得 ，代入方程，得 ，从而 即 ， ， 若 ，则由 ，得 ， 与题设矛盾，所以 又因为 ，所以 本题考查等差、等比数列的定义、通项、求和等基 础知识和基本技能，考查分析转化能力及推理论证能力 考点三 数学归纳法 （ 北京， 分）设数列 ：，（）如果对 小于 （）的每个正整数 都有 ，则称 是数列 的一个“ 时刻”记 （）是数列 的所有“ 时刻”组成的 集合 （）对数列 ：，写出 （）的所有元素； （）证明：若数列 中存在 使得 ，则 （）； （）证明：若数列 满足 （ ，），则 （） 的元素个数不小于 解析 （）（）的元素为 和 （）因为存在 使得 ， 所以， 记 ， 则 ，且对任意正整数 ， 因此 （）从而 （） （）当 时，结论成立 以下设 由（）知 （） 设 （） ，记 ， 则 对 ，记 ， 如果 ，取 ，则对任何 ， 从而 （）且 又因为 是 （）中的最大元素，所以 从而对任意 ， ，特别地， 对 ， 因此 （ ） 所以 （ ） 因此 （）的元素个数 不小于 （ 北京， 分）已知数列满足：， 且 ， ， （ ，）记集合 （）若 ，写出集合 的所有元素； （）若集合 存在一个元素是 的倍数，证明： 的所有元素 都是 的倍数； （）求集合 的元素个数的最大值 解析 （）， （）证明：因为集合 存在一个元素是 的倍数，所以不妨设 是 的倍数 由 ， ， 可归纳证明对任意 ，是 的 倍数 如果 ，则 的所有元素都是 的倍数 如果 ，因为 或 ， 所以 是 的倍数，于是 是 的倍数 类似可得，都是 的倍数 从而对任意 ，是 的倍数，因此 的所有元素都是 的 倍数 综上，若集合 存在一个元素是 的倍数，则 的所有元素都 是 的倍数 （）由 ， ， ， 可归纳证明 （ ，） 因为 是正整数， ， ， 所以 是 的倍数， 从而当 时，是 的倍数 如果 是 的倍数，由（）知对所有正整数 ，是 的倍数， 因此当 时， 这时 的元素个数不超过 如果 不是 的倍数，由（）知对所有正整数 ，不是 的 倍数， 因此当 时， 这时 的元素个数不超过 当 时，有 个元素 综上可知，集合 的元素个数的最大值为 （ 湖北， 分）已知数列的各项均为正数， () （）， 为自然对数的底数 （）求函数 （） 的单调区间，并比较 () 与 的大小； 第十四章 推理与证明 （）计算 ， ， ，由此推测计算 的公式，并给 出证明； （）令 （） ，数列，的前 项和分别记为 ，证明： 解析 （）（）的定义域为（ ， ）， （） 当 （），即 时， （）单调递增； 当 （），即 时， （）单调递减 故 （）的单调递增区间为（，），单调递减区间为（，） 当 时， （）（） ，即 令 ，得 ， 即 () （） () ； () （）； () （） 由此推测： （） 下面用数学归纳法证明 （）当 时，左边右边，成立 （）假设当 时，成立，即 （） 当 时，（） () ，由归纳假设可得 （ ） （ ） () （） 所以当 时，也成立 根据（）（），可知对一切正整数 都成立 （）由 的定义，算术几何平均不等式，的定义及得 （） （） （） （ ） （） （ ） （ ） （ ） （） （） （） （） () () () () () () 即 本题考查利用导数求单调性，数学归纳法，不等 式，数列求和等基础知识，考查分析问题与解决问题的能 力 （ 江苏， 分）已知集合 ， ， ，（），设 （，） 整除 或 整除 ， 令（）表示集合 所含元素的个数 （）写出 （）的值； （）当 时，写出 （）的表达式，并用数学归纳法证明 解析 （）（） （）当 时， （） ()， ， ()， ， ()， ， ()， ， ()， ， ()， （） 下面用数学归纳法证明： 当 时， （） ，结论成立； 假设 （）时结论成立，那么 时，在 的基 础上新增加的元素在（，），（，），（，）中产生，分 以下情形讨论： ）若 ，则 （），此时有 （） （） （） ，结论成立； ）若 ，则 ，此时有 （） （） （）（） （） ，结论成立； ）若 ，则 ，此时有 （） （） （） （） ，结论成立； ）若 ，则 ，此时有 （） （） （）（） ，结论成立； ）若 ，则 ，此时有 （） （） （） （） ，结论成立； ）若 ，则 ，此时有 （） （） 年高考年模拟 版（教师用书） （）（） （） ，结论成立 综上所述，结论对满足 的自然数 均成立 以下为教师用书专用（） （ 陕西， 分） 设函数 （） （），（） （），其中 （）是 （）的导函数 （）令（）（），（）（），求（）的表达式； （）若 （）（）恒成立，求实数 的取值范围； （）设 ，比较 （）（）（）与 （）的大小， 并加以证明 解析 由题设得，（） （） （）由已知得，（） ，（） （） ， （） ，可得 （） 下面用数学归纳法证明 当 时，（） ，结论成立 假设 时结论成立，即 （） 那么，当 时， （） （） （） （） （）， 即结论成立 由可知，结论对 成立 （）已知 （）（）恒成立，即 （） 恒成立 设 （） （） （）， 即 （） （） （） ， 当 时，（）（仅当 ， 时等号成立）， （）在，）上单调递增，又 （） ， （） 在，）上恒成立， 时，（） 恒成立（仅当 时等号成立） 当 时，对 （，有 （）， （）在（，上单调递减， （）（） 即 时，存在 ，使 （） ，故知 （） 不恒 成立， 综上可知， 的取值范围是（， （）由题设知 （）（）（） ， （） （）， 比较结果为 （）（）（）（） 证明如下： 证法一：上述不等式等价于 （）， 在（）中取 ，可得 （） ， 令 ，则 下面用数学归纳法证明 当 时， ，结论成立 假设当 时结论成立，即 （） 那么，当 时， （） （） （）， 即结论成立 由可知，结论对 成立 证法二：上述不等式等价于 （）， 在（）中取 ，可得 （） ， 令 ，则 故有 ， ， （） ， 上述各式相加可得 （） 结论得证 证法三：如图， 是由曲线 ， 及 轴所围成 的曲边梯形的面积，而 是图中所示各矩形的 面积和， () （），结论得证 （ 江西， 分）随机将 ，（，）这 个连续正整数分成 ， 两组，每组 个数 组最小数为 ，最 大数为 ； 组最小数为 ，最大数为 记 ， （）当 时，求 的分布列和数学期望； （）令 表示事件“ 与 的取值恰好相等”，求事件 发生的 概率 （）； （）对（）中的事件 ， 表示 的对立事件，判断 （）和 （）的大小关系，并说明理由 解析 （）当 时， 的所有可能取值为 ， 将 个正整数平均分成 ， 两组，不同的分组方法共有 种，所以 的分布列为 第十四章 推理与证明 （） 和 恰好相等的所有可能取值为 ， 又 和 恰好相等且等于 时，不同的分组方法有 种； 和 恰好相等且等于 时，不同的分组方法有 种； 和 恰好相等且等于 （ ，）（）时，不同 的分组方法有 种， 所以当 时，（） ， 当 时，（） ( ) （）由（）知当 时，（） ，因此 （）（）， 而当 时，（）（）理由如下： （） （） 等价于 ( ) 用数学归纳法来证明： 当 时，式左边（ ） （） ，式右边 ，所以式成立 假设 （ ） 时 式成立，即( ) 成立， 那么，当 时， 左边 ( ) ( ) （） （） （）！ ！ ！ （ ）！ （ ）！ （ ）！ （ ） （）（ ）！ （ ） （ ）！ （ ）！ （ ） （）（ ）！ （） （ ）！ （ ）！ （） （ ） （ ）（ ） （）右边， 即当 时式也成立 综合 ，得，对于 的所有正整数，都有 （） （） 成立 评析 本题主要考查随机变量的分布列、数学期望及概率和 数学归纳法，同时考查学生的逻辑推理能力及分析、解决问题 的能力属难题 （ 上海， 分）对于数集 ，其中 ，定义向量集 （，）， 若对任意 ，存在 ，使得 ，则称 具有 性质 例如，具有性质 （）若 ，且，具有性质 ，求 的值； （）若 具有性质 ，求证：，且当 时， ； （）若 具有性质 ，且 、（ 为常数），求有穷数列 ，的通项公式 解析 （）选取 （，）