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文档简介

二 圆内接四边形的性质与判定定理庖丁巧解牛知识巧学一、圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理包括两个:定理1是圆的内接四边形对角互补;定理2是圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.这两个定理的表述形式稍有差别,但反映的本质相同,都反映了圆内接四边形所具有的特征.知识拓展 利用这两个定理,可以借助圆变换角的位置,得到角的相等关系或互补关系;再进行其他的计算或证明.利用这两个定理可以得出一些重要结论:如内接于圆的平行四边形是矩形;内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程.二、圆内接四边形的判定定理1.定理:如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形内接于圆.2.符号语言表述:在四边形ABCD中,如果B+D=180,那么四边形ABCD内接于圆.疑点突破要证明四边形ABCD内接于圆,就是要证明A、B、C、D四点在同一个圆上.根据我们的经验,只要能证明这四个点到一个定点距离相等即可.但是这个定点一时还找不出来.不过对于不在同一条直线上的三点来说,总可以确定一个圆.因此我们可以先经过A、B、C、D中的任意三个点,譬如A、B、C三点作一个圆,再证明第四个点D也在这个圆上就可以了.但是直接证明点D在圆上很困难,所以我们采用反证法证明.也就是假设点D不在圆上,经过推理论证,得出错误的结论,这就说明点D不在圆上是错误的,因此点D只能在圆上.由于点D不在圆上时,可能出现点D在圆外和点D在圆内两种情况,所以应分别加以证明,下面先讨论点D在圆内的情况.假设点D在圆内,若作出对角线BD,设BD和圆交于D,连结AD、CD,则ABCD为圆内接四边形(如图2-2-2),则ABC+ADC=180.另一方面,因为ADB、BDC分别是ADD和CDD的外角,所以有ADBADB,BDCBDC,于是有ADCADC.因为已知ABC+ADC=180,所以ABC+ADC180,这与圆内接四边形的性质定理矛盾.因此可证点D不能在圆内.用类似的方法也可以证明点D也不能在圆外.因此点D在圆上,即四边形ABCD内接于圆.图2-2-2三、判定四点共圆的方法(1)如果四个点到一定点的距离相等,那么这四个点共圆.(2)如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.(4)如果两个直角三角形有公共的斜边,那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点的距离相等).问题探究问题 圆内接四边形判定定理的证明,推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果,体现了用反证法证明几何命题的基本思路.反证法是证明问题的有效方法,那么与正面证明相比较,反证法有什么特点?它证明问题的步骤怎样?它有什么优点?思路:反证法是一种间接证法,它先是提出一个与命题的结论相反的假设,然后从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定原假设,达到肯定原命题正确的一种方法.探究:反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是不都是;至少有一个一个也没有;至少有n个至多有(n-1)个;至多有一个至少有两个;唯一至少有两个.归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾,与已知的公理、定义、定理、公式矛盾,与反设矛盾,自相矛盾.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不止一种),如在上述定理证明中,假设点D不在圆上,则有点D在圆外和点D在圆内两种情况,必须一一证出这两种情况都不成立后,才能肯定点D在圆上.用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论.对于一些从正面难以说明的问题,反证法往往有着出奇制胜的作用.典题热题例1如图2-2-3,已知ABCD为平行四边形,过点A和B的圆与AD、BC分别交于E、F.求证:C、D、E、F四点共圆.图2-2-3思路分析:连结EF.由B+AEF=180,B+C=180,可得AEF=C.证明:连结EF.ABCD为平行四边形,B+C=180.A、B、F、E内接于圆,B+AEF=180.AEF=C.C、D、E、F四点共圆.深化升华 要证明四点共圆,首先要把这四个点连结组成四边形,然后说明其对角互补或外角等于它的内对角.例2两圆相交于A、B,过A作两直线分别交两圆于C、D和E、F.若EAB=DAB.求证:CD=EF.思路分析:要证CD=EF,只需证明CBDEBF即可.从图2-2-4可以看出,C=E,D=F,因此,只需再找一条对应边相等即可.比如,能否推出BC=BE呢?要证BC=BE,只需CEB=ECB.有无可能呢?可以发现,ECB=1,又已知1=2,所以,只需证2=CEB即可.这时我们发现,A、B、E、C是圆内接四边形,根据性质定理,它的外角2与它的内对角CEB当然相等.至此,思路完全沟通.图2-2-4证明:ABEC为圆内接四边形,2=CEB.又1=ECB,且1=2,CEB=ECB.BC=BE.在CBD与EBF中,C=E,D=F,BC=BE,CBDEBF.CD=EF.深化升华 利用圆内接四边形的性质,直接写出2=CEB,简化了通过弧与角的计算推证2=CEB的过程,正如运用算术乘法的九九表一样,可以大大简化思维的过程.例3在锐角ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的高线,DGCE于G,EFBD于F.求证:FGBC.思路分析:证FGBC,只需证DFG=DBC即可.我们设法由共斜边的两个直角三角形的四顶点共圆来分析角的关系,探求证明的思路.证明:如图2-2-5,由于RtBCE与RtBCD共斜边BC,所以B、C、D、E四点共圆.由同弧上的圆周角,有DBC=DEG.同理,RtEDF与RtDGE共斜边DE,所以D、E、F、G四点共圆.图2-2-5于是,DEG=DFG.因此,DBC=DFG.于是FGBC.例4如图2-2-6所示,在ABC中,AB=AC,延长CA到P,再延长AB到Q,使得AP=BQ.图2-2-6求证:ABC的外心O与A、P、Q四点共圆.思路分析:要证O、A、P、Q四点共圆,只需证CPO=AQO即可.为此,只要证CPOAQO即可.证明:连结OA、OC、OP、OQ.在OCP和OAQ中,OC=OA,由已知,CA=AB,AP=BQ,CP=AQ.又O是ABC的外心,OCP=OAC.由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上,OAC=OAQ,从而OCP=OAQ.OCPOAQ.CPO=AQO.O、A、P、Q四点共圆.深化升华 本题也可证OAPOBQ,得到角相等,进而说明四点共圆.你可以试着写出另一种证明.例5如图2-2-7所示,在半径为1的O中,引两条互相垂直的直径AE和BF,在上取点C,弦AC交BF于P,弦CB交AE于Q.证明四边形APQB的面积是1.图2-2-7思路分析:由已知条件可以证明四边形ABEF是正方形,且边长为2,则正方形面积为2.而ABD的面积为正方形面积的一半,所以,只需证明S四边形APQB=SABD,即证SBPD=SBPQ,即证DQPB.因为BPAE,所以,只需证DQAE.证明:AE、BF为互相垂直的两条直径,垂足O为圆心,AE、BF互相平分、垂直且相等.四边形ABEF是正方形.ACB=AEF=45,即DCQ=QED.D、Q、E、C四点共圆.连结CE、DQ,则DCE+DQE=180.AE为O的直径,DCE=90,DQE=90.FOE=90

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