四川省师范大学附属中学2020届高三数学下学期5月模拟考试试题 理（含解析）

四川师大附中20202020学年度（下期）高考模拟题理科数学（二）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ，故选C.2. 若，则复数在复平面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为， , 复数在复平面上对应的点的坐标为 ,故选A.3. 的展开式中含的系数为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 的展开式通项为 ，令 ， 的系数为 ，故选A.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.4. 运行下面的程序，如果输入的是，那么输出的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：,故选B.考点：程序框图.5. 已知为等比数列且满足，则数列的前项和（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为为等比数列且满足， ，可得 ，数列的前项和,故选B.6. 已知，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,因为 ，得 ，故选B.7. 已知函数的定义域为且满足，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 ，可得 ，由 ，得 ，而 ，所以 ， ，故选D.8. 某锥体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，且底面直角梯形的上底为，下底为，高为，四棱锥的高为，四个侧面都是直角梯形，其中三角形的高为，其侧面积为 考点：几何体的三视图及四棱锥的侧面积【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图可知原几何体为底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，且底面直角梯形的上底为，下底为，高为，四棱锥的高为，四个侧面都是直角梯形的四棱锥，即可求解该几何体的侧面积9. 已知点在球的表面上且，三菱锥的体积为，则球的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,由 ，得 ，由余弦定理得 ，即 ，设 外接圆半径为，由正弦定理得 ，设球半径为 ，则 ，则球表面积为 ，故选C.10. 设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域也是，则称为“优美函数”，若函数为“优美函数”，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为函数 是定义域 上的单调增函数，由题意得，若函数为“优美函数”，则 至少有两个不相等的实数，即 ，整理得 ，有两个实根， ，令 ，有两个不相等的正实根， ，解得， ，即 ，故选D.11. 在中为边的三等分点，则的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 （ 时等号成立），即 的最小值为 , 故选C.【易错点晴】本题主要考查平面向量的基本运算以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.12. 已知双曲线，抛物线，与有公共的焦点，与在第一象限的公共点为，直线的倾斜角为，且，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（）A. 仅有两个不同的离心率且 B. 仅有两个不同的离心率且 C. 仅有一个离心率且 D. 仅有一个离心率且【答案】C【解析】 的焦点为 ， 双曲线交点为，即 ，设 横坐标为 ，则 ， ，可化为 ， ， 只有一个根在 内，故选C.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知位男生和位女生共位同学站成一排，则位男生中有且只有位男生相邻的概率为_【答案】【解析】从 名男生中任取 人“捆”在一起记作 共有 种不同排法），剩下一名男生记作 ，将 插入到 名女生全排列后所成的 个空中的个空中，故有 种，位男生和位女生共 位同学站成一排，有 种， 位男生中有且只有 位男生相邻的概率为 ，故答案为.14. 已知满足，则的取值范围是_【答案】【解析】由 表示的区域为 与 围成的曲边形，平移直线 ，当直线过 点时最大值为，当直线与 相切时， 最小，由 ，得 ，由 得， ， 的取值范围是 ，故答案为.15. 已知圆，圆上的点到直线的最短距离为，若点在直线位于第一象限的部分，则的最小值为_【答案】【解析】 ，所以由圆 上的点到直线的最短距离为，可得 ，（ 时等号成立） ，即 的最小值为 ，故答案为 .16. 已知数列的前项和为且，记，若对恒成立，则的最小值为_【答案】【解析】 , 即 为首项为 ，公差为 的等差数列， ， ， ，由 得 ，因为 或 时， 有最大值， ，即 的最小值为，故答案为.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：； ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知向量，函数的最大值为（I）求函数的单调递减区间；（II）在中，内角的对边分别为，若恒成立，求实数的取值范围【答案】（I）；（II）【解析】试题分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角差的正弦公式，化简得到，运用正弦函数的最值可得，运用正弦函数的减区间即可得到所求区间；（2）结合余弦定理可得，求出，得到的范围，由正弦函数的单调性求出的范围即可.试题解析：（1）函数+ ，因为的最大值为2，所以解得.则，由，可得：，所得函数的单调减区间为.（2）由，可得，即.解得，即.因为，所以，因为恒成立，则恒成立，即.18. 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：（I）从中任意拿取两张卡片，若其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（II）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望【答案】（I）；（II）见解析.【解析】试题分析：（）由于为奇函数，为偶函数，为偶函数，为奇函数，为偶函数，为奇函数 ，可得：所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;得到基本事件总数、满足条件的基本事件个数.()可取1，2，3，4计算概率：，可得的分布列，进一步得试题解析：（）为奇函数，为偶函数，为偶函数，为奇函数，为偶函数，为奇函数 3分所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;故基本事件总数为满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为故所求概率为6分()可取1，2，3，4，； 9分故的分布列为1234 12分考点：1.函数的奇偶性；2.古典概型；3.随机变量的分布列与数学期望.19. 如图，在菱形中，与相交于点，平面，（I）求证：平面；（II）当直线与平面所成的角为时，求二面角的余弦角【答案】（I）见解析；（II）【解析】试题分析：（I）根据是菱形可得，根据线面垂直的性质可得，从而根据线面垂直的判定定理可得结论；（II）以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（I）平面 ；（II）取的中点为，以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量和，设平面的法向量和，设平面的法向量和二面角的余弦值为【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定与性质及利用空间向量求二面角的大小，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且经过点（I）求椭圆的标准方程；（II）设点为椭圆的下顶点，过点作两条直线分别交椭圆于两点，若直线平分，求证：直线的斜率为定值，并且求出这个定值【答案】（I）；（II）【解析】试题分析：（I）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ， ，求出 、 、，即可得结果；（II）与，设，则根据韦达定理及过两点直线的斜率公式可得恒成立直线的斜率为定值试题解析：（I）椭圆；（II）由直线平分和，而由直线与，设，则，由恒成立直线的斜率为定值【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 已知函数，曲线在点处的切线方程为（其中是自然对数的底数）（I）求实数的值；（II）求证：【答案】（I）；.（II）见解析.【解析】试题分析：（I）由 可得结果；（II）要证明，即证明，而函数在上单减，在上单增，同时函数在上单增，在上单减，因此只须证明在上恒成立即可.试题解析：（I）；（II）要证明，即证明，而函数在上单减，在上单增，同时函数在上单增，在上单减（此处证明略），因此只须证明在上恒成立首先证明，因 ；然后证明，因 在上单减，且在上单增，在上单减，综上可知，成立请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（I）写出曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（II）若直线与曲线交于两点，求的面积【答案】（I）， （II）【解析】试题分析：（1）利用平方法可得到曲线的普通方程，在根据得曲线 的极坐标方程和直线的极坐标方程；（2）