




已阅读5页,还剩13页未读, 继续免费阅读
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
PINGDINGSHAN UNIVERSITY 毕业论文(设计)题 目: 院(系): 专业年级: 姓 名: 学 号: 指导教师: 2008年 月 日 (空一行,小四)矩阵的广义迹(空一行,小四)XXX(数学与信息科学学院2004级X班)指导教师 XXX教授 (空一行,小四)摘要: 本文首先讨论了矩阵迹的若干重要性质,包括:可加性、齐次性、转置不变性、交换不变性等,并且证明了矩阵迹的唯一性然后,利用分块矩阵的思想及辗转相除法(带余除法),引入了一般矩阵的广义迹的概念, 它是方阵迹的一个自然推广,研究了这种广义迹的一系列重要性质最后,给出了具体实例说明了一般矩阵广义迹的概念与计算方法,并对各条性质给予了验证关键词: 矩阵, 广义迹,分块矩阵, 带余除法(空一行,小四)Generalized traces of matricesWANG Xiu-ying(Class 1, Grade 2002, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Professor CAO Huai-xin(空一行,小四)Abstract: In this paper, a series of important properties of the usual trace of matrices are given, including: additivity, homogeneousness, transpose-invariance, commutative invariance, and the uniqueness of the usual trace is also proved. Next, by using block-decomposition of an matrix and the division algorithm, the concept of generalized trace of a matrix is introducedSome important properties of this generalized trace are given. Finally, some examples are given in order to illustrate the concept, computation and properties of the generalized trace.Key words: matrix,generalized trace,block-matrix,division algorithm(空一行,小四)矩阵迹的概念是一个古老而基础的概念,它是阶矩阵的一个重要的数量特征在普通高校的高等代数教科书中,只是给出了一个行列的矩阵算子迹(方阵对角线元素之和,其中,为方阵对角线上的元素)的定义及其某些重要的性质,参见文献1-3,文献10,11,13文献4得到了关于实矩阵迹不等式的几个充要条件,并把所得结果推广到了复矩阵情形文献5-7中,研究了Hilbert空间上的算子迹,给出了算子迹的一系列重要性质特别地,文献5给出了迹类算子的若干不等式,并证明了Hilbert空间中的Bellman不等式对及任二正的迹类算子与成立同时还证明了当时,对任一迹类算子,不等式也成立文献6将Jan R. Magnus关于矩阵迹的一个命题推广到Hilbert空间上算子迹的相应命题,由此得到一个证明算子迹的Hlder不等式的方法,同时得到关于算子迹的Hlder不等式的几个等价命题并最后给出了算子迹的Minkowski不等式的一个证明文献8,9中,定义了在C*-代数上的矩阵迹是一个满足以下条件的正线性映射:, ,给出了矩阵算子迹的一些基本性质并证明了:如果是可交换的C*-代数,则映射是上的矩阵迹当且仅当中存在一个元素()使得,其中本文的目的是将矩阵算子迹的概念推广到一般地矩阵上,给出一般矩阵广义算子迹的概念,并证明矩阵广义迹的一系列重要性质(空一行,小四)1预备知识1.1 矩阵的迹及其性质在本文中,假定为数域上全体矩阵之集(特别的为数域上全体阶矩阵之集),则关于矩阵的运算, 为数域上向量空间,表示所有自然数之集,表示矩阵的转置矩阵定义1.1.1 设,则称的所有主对角线元素之和为的迹,记为,即矩阵迹有下列基本性质(其中,为阶矩阵):定理1.1.1 设, 则(1) ,其中为的特征值;(2) ;(3) ,;(4) ;(5) ; (6) 若和为两个相似的方阵,则,即相似矩阵有相同的迹证明 (1) 设,则按照2中的定理知: A的特征方程是. 在的展开式中,有一项是主对角线上元素的连乘积展开式中其余各项,至多包含个主对角线上的元素,它对的次数最多是因此,特征多项式中含的次与次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现,它们是在特征多项式中令,即得常数项:因此,如果只写出特征多项式得前两项与常数项,就有由根与系数的关系可知,的全体特征值的和 (2) 设,假定,则 (3) 设,则有 (4) 设,则因此有 (5) 设,;,假定,则,由求和的交换性即可证得:(6) 由于相似矩阵有相同的特征多项式,特征多项式相同则特征值相同,则矩阵的各个多项式的和(重根按重数记)相同因此根据性质1),矩阵的迹等于它的各个特征值的和,则这两个矩阵的迹相同(即)证毕.下面的定理将以上的性质(5)推广到非方阵的情况.定理1.1.2 设和分别为,矩阵,则证明 令为矩阵,为矩阵, 设,,其中,.所以 ,从而 通过以上的讨论,我们可知若定义数域F上阶矩阵集合到F的一个迹映射,则具有以上的诸多性质定理1.1.3 那么若定义是一个映射,而且满足下列条件:(1) 对任意的阶矩阵,;(2) 对任意的阶矩阵,和F中数,;(3) 对任意的阶矩阵,;(4) ,则对一切上的阶矩阵成立.证明 设为阶基础矩阵,因为,所以由条件1)和条件4)知:又由条件3)知:,所以 另一方面,若,则,得,与条件4)矛盾若,则由上知1.2 广义矩阵的分块用(矩阵行与行之间的)横线及(列与列之间的)竖线将一个矩阵分成若干块,这样得到的矩阵就称为分块矩阵一个矩阵可以有各种各样的分块方法,究竟怎样分比较好,要根据具体情况及具体需要而定1.2.1 矩阵分块的原则 必须使分块后的矩阵的运算可行 必须使分块后的矩阵的运算较不分块简便.例1.2.1 考虑矩阵根据它自身的特点,我们可以将如虚线所示的那样分块,若记,则矩阵除了主对角线上的块外,其余各块都是零矩阵,这种分块成对角形状的矩阵,称为分块对角阵设为了进行运算,我们对的分块必须与的分块完全一致,即如图中虚线所示使与的各对应子块都是同型的设,为使的运算可行,的分块必须参照的分块来进行,即的列分与的行分一致,而的列分,则可视的具体情况来定,不受的分法的影响如下所示:1.2.2 分块矩阵的运算视分块矩阵中的每一子块为一个元素,则分块矩阵的运算法则与普通矩阵的运算法则完全相同 分块矩阵的转置:例1.2.2 设, ,将,适当分块,并求解 根据,的特点及乘法运算的要求,可将,如虚线所示分块记 ,其中,则 ,所以2. 广义矩阵的迹2.1 矩阵广义迹的定义引理2.1.1(辗转相除法,欧几里得Euclid除法) 对,其中,反复作带余除法,有, (1), (2), (3), (n) (n+1)由于每进行一次带余除法,余数至少减少1,而是有限的,所以至多进行次带余除法,就可以得到一个余数为零的等式定义2.1.1 设, 则由引理2.1.1知对反复作带余除法可以得到一个余数为零的等式,定义矩阵的迹等于矩阵的所有分块方阵的迹的和由(1)式可把矩阵分成块,;记;在矩阵的分块矩阵中,最多只有矩阵不是方阵若为方阵,则矩阵的迹可以求得;若不是方阵,则由2)式可把矩阵分成块,记为;在矩阵的分块矩阵中,最多只有矩阵不是方阵若为方阵,则矩阵的迹可以求得;若不是,则由3)式可把矩阵分成块如此继续,最终,可把矩阵分成块根据引理2.1.1可知广义矩阵一定可以被分成个方阵(),其中若方阵只包含一个数字它的迹即为那个数因此 (2.1) 2.2 矩阵的广义迹的性质对广义矩阵先研究比较特殊的,即矩阵的行数与列数满足的情形,在此条件下根据(2.1)式有定理2.2.1 ,证明 设 , ,则有矩阵为矩阵和矩阵的和因此可得,又由于,则由此我们得出了与方阵算子迹的基本性质(2)相同,即定理2.2.2 ,证明 依据矩阵与数的数量乘积的定义:用数乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上因此可得得证定理2.2.3 ,证明 依据矩阵的转置的定义:设,所谓矩阵的转置就是指矩阵根据我们对矩阵分块的方法,也可以把矩阵分成个方阵,同时可以得到得证定理2.2.4 ,证明 令,为矩阵,则为矩阵, 设,,其中,所以 ,从而 定理2.2.5 ,证明 给定矩阵和矩阵,由矩阵加法的定义可以得知,为矩阵和矩阵的和对矩阵作与定义2.1.1相同的分块又由于矩阵和矩阵有相同的分块,则矩阵,矩阵和矩阵也有相同的分块,且对应分块方阵上的对角线元素的位置没有改变,因此可得又有由此得证定理2.2.6 ,证明 由定义知定理2.2.7 ,证明 依据矩阵的转置的定义:设,则根据对矩阵分块的方法,可以把矩阵分成个(,)方阵,同时可以得到定理2.2.8 ,证明 令,为矩阵,则为矩阵, 设,,其中,所以 ,从而 2.3 矩阵的广义迹的求解例2.3.1 考虑例1.2.2所给的矩阵, ;(1) 求矩阵,的广义迹; (2) 验证各个定理解 (1) 根据,的特点及矩阵广义迹的求法,可得:(2) 验证定理2.2.5验证定理2.2.6 ,有同理可证对矩阵有验证定理2.2.7同理可证对矩阵有 (空一行,小四)参考文献(用项目编号)1 姚幕生高等代数M上海: 复旦大学出版社,19802 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等代数M北京: 高等教育出版社,19883 凌明娟,方能文等高等数学(二)学习辅导M北京: 高等教育出版社,19984 王仙桃,旷良友关于矩阵迹不等式的几个充要条件J株洲工学院学报(自然科学版), 2005, 19(1): 8-10.5 曹怀信Hilbert空间中的Bellman问题J 陕西师大学报(自然科学版), 1993, 21(1): 6-96 周其生关于算子迹的Hlder不等式的等价命题J安庆师范学院学报(自然科学版), 2004, 10(4): 68-70.7 CHANG D W. A matrix trace inequality for products of Hermitian matrices J. Mathematical Analysis and Applications, 1999, 237: 721-7258 CAO Huai-xin, XU Zong-ben, LI Wei-hua LiMatrix-trace on C*-algebra Mn(A) J. Linear Algebra and Its Applications, 2002,345(1-3): 255-2609 王列,曹怀信交换C*-代数上矩阵的谱J. 宝鸡文理学院学报(自然科学版),2003,23(2): 94-9610 邱双月矩阵的迹J邯郸学院学报(自然科学版), 2005, 15(3): 18-2711 钟镇权对矩阵的迹的性质的研究J柳州师专学报(自然科学版), 1997, 12(3) : 54-6012 余元希,田万海,毛宏德初等代数研究(上册) M北京: 高等教育出版社, 198813 唐鹏程矩阵的迹及其应用J孝感学院学报(自然科学版), 2000, 20(4): 11-13(另页,空一行,小四)致 谢(空一行,小四)在大学四年的学习过程中,我得到了数科院各位领导、老师及班级同学的热心帮助和支持,使我能够在以优异的成绩完成学业之余,自身综合能力也得到了极大限度的提高在此谨向他们表
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 二零二五年开发商与购房者商住房买卖合同示范文本
- 2025版汽车租赁公司车辆租赁保险合同范本
- 二零二五年度房屋买卖协议补充条款范本详析
- 二零二五年度员工持股计划股权激励合同
- 2025年度室内外仿真植物墙装饰工程合同
- 2025年度食品添加剂配方知识产权保密合同
- 2025版现代农业工程承揽居间服务合同规范
- 2025版工业自动化控制系统买卖合同范本
- 农产品交易及冷链物流产业园可行性研究报告
- 2025版电商贷款还款合同范本
- 企业残疾职工管理制度
- 射频消融术治疗心律失常讲课件
- 粤语教学课件
- 2025至2030中医医院行业市场发展分析及前景趋势与投资机会报告
- 音响售后质保合同协议
- 邮政银行笔试题目及答案
- 2025-2030年中国风电塔筒行业市场现状供需分析及投资评估规划分析研究报告
- 保底收益投资合同协议书
- AI技术在中小学心理健康教学中的实践与探索
- 《2025年普通高校在陕招生计划》
- 水手英语考试试题及答案
评论
0/150
提交评论