2018年奥林匹克数学竞赛第23讲梯形

奥林匹克数学竞赛第23讲梯形考点方法破译掌握梯形的定义与特殊梯形的性质掌握特殊梯形的判定方法掌握梯形中常见种辅助线平移腰，平移对角线，作高，延长两腰，平移底经典考题赏析【例】（齐齐哈尔）梯形ABCD中，ADBC，AD1,BC4,C70,B40,则AB的长为（）A2B3C4D5【解法指导】过A作AEDC,将梯形转化为一个平行四边形和一个三角形，其中ABE中各内角可求出，易知ABBE,故选B【变式题组】01如图，四边形ABCD中,ABCD,BD,若AB3,BC5,则CD_02已知四边形ABCD中，ABDC,ACBD,ADBC,求证四边形ABCD是等腰梯形03荆州如图,梯形ABCD中,ADBC,C90中ABAD,连接BD过A作BD的垂线,交BC于E,如果EC3,CD4,那么梯形ABCD的面积是_CM204宿迁如图,在梯形ABCD中,ADBC,ABCDBC90,AD1,BC3,EF分别是AD、BC的中点，则EF_【例】（桂林）梯形ABCD中，ADBC,ABCD,ACBD,AD6,BC8,求梯形的高【解法指导】由于条件与对角线有关，因而可考虑平移对角线，从而构造等腰直角三角形解决问题解过D作DEAC交BC的延长线于E，过D作DFBC,ADBC,ABADACBD,ADCE,ACDE四边形ACED是平行四边形，ACDERTBDE中,BDDE,DFBEDF是BE边上的中线DF172BEAC【变式题组】01（临沂）如图在等腰梯形ABCD中，ADBC,对角线ACBD于点O,DFBC,垂足分别为E、F,设ADA，BCB,则四边形AEFD的周长是A3ABB2AC2BAD4AB02如图，在梯形ABCD中，ADBC,对角线ACBD,AC8,BD6则梯形的高为ABCDEABCD第题图ABCDE第题图ABCD第题图ABCDEF第题图ABCDEF_03在数学活动课中，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为，则两对角线所用的竹条至少需要（）AB30C60D30260204上海已知梯形ABCD中，ABBC,ABAD如图所示，BAD的平分线AE交BC于点E,连接DE（）求证四边形ABED是菱形；（）ABC60EC2BE,求证EDDC【例】乐山在直角梯形ABCD中，ADBC点E是边CD的中点，若ABADBC,求梯形的面积52BE【解法指导】若梯形中已知条件与腰的中点有关，则可作另一腰中点构造梯形的中位线或连接AE并延长交BC的延长线天F点，从而构造全等三角形，这样求出ABF的面积即为梯形的面积解连接AE并延长交BC延长线于FADBF,DECF,DEACEF,DECEADEFCEAEEF,ADCFABADBCABBFABF为等腰直角三角形BEAF,2BEAF5S梯形ABCDSABF51254【变式题组】01浙江湖州如图，已知在直角梯形AOBC中，ACOB,CBOB,OB18,BC12,AC9,对角线OC、交天点D,点E、F、G分别是CD,BD,BC的中点，以O为原点，直线OB为轴建立平面直角坐标系，则XG、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是（）A点GB点EC点DD点F02（东营）如图，点C是线段AB上的一个动点，ACD和BCE是在AB同侧的两个等边三角形，DM、EN分别是ACD和BCE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动（不与点A、BT重合），连接DE,这个四边形的面积变化情况为（ABCDEFO1题图ABCD第2题图ABCDOEABCDEF）A逐渐增大B逐渐减小C始终不变D先增大后变小03（桂林）如图已知AB10，点C、D在线段AB上，且ACDB2P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边AEP和等边PFB,连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动的路径的长是_04眉山在直角梯形ABCD中，ABDC,ABBC,AB2CD,E、F分别为AB、AD的中点，连接EF、BF、CF在不添加其他条件下，写出图中一对全等三角形，并证明演练巩固反馈提高01荆门等腰梯形ABCD中,E、F、GH分别是各边的中点,则四边形EFGH的形状是A平行四边形B矩形C菱形D正方形02威海在梯形ABCD中,ABCD,A60,B30,ADCD6,则AB的长度为A9B12C18D6303淄博如图,梯形ABCD中,ABC和DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P,若EF3,则梯形ABCD的周长为A9B105C12D1504鄂州已知直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,AD2BCCD5,点P在BC上移动,则当PAPD取最小值时,APD中边AP上的高为ABCD317217417805遂宁如图,在梯形ABCD中,ABCD,D90ADDC4,AB1,F为AD的中点,则点F到BC的距离是A2B4C8D1ABCDEFP3题图ABCDP4题图ABCD5题图06山西太原在梯形ABCD中,ADBC,ABDC3,沿对角线BD翻折梯形ABCD,若点A恰好落在下底BC的中点E处,则梯形的周长为_07如图1,ABC是直角三角形,如果用四张与ABC全等的三角纸片恰好拼成一个等XABCOEFDGY1题图ABCDEMN2题图ACBDPEGF3题图ABCDEF4题图腰梯形,如图2,那么在RTABC中,的值是_ABCABCABCD图1图27题图128题图S1S2S39题图08白银如图1是一个等腰梯形,由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图2所示的一个菱形,对于图1中的等腰梯形,请写出它的内角度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论_09陕西省如图,梯形ABCD中,ABDC,ADCBCD90,且DC2AB,分别以DA,AB,BC为边向梯形外作正方形,其面积分别为要S1、S2、S3,则S1、S2、S3之间的关系是_10如图,在梯形ABCD中,ADBC,B90,AB4CM,AD18CM,BC21CM,点P从点A出发,沿边AD向点D以2CM/S的速度移动,点Q从点C出发沿边BC向点B以6CM/S速度移动,PQ同时出发,若有一点运动到端点时,另一点也随之停止,则经过_移后,PQCD11如图,直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,AD2,将腰CD以D为中心逆时针旋转90至ED,连接AE,CE,ADE面积为3,则BC的长为_ABCDEABCD10题图11题图12威海从边长为的大正方形纸板中间挖去一个边长为B的小正方形后,将其截成四个相,同的等腰梯形如图1,可以拼成一个平行四边形如图2,已知A45,AB6,AD4,若将该纸片按图2方式截成四个相同的等腰梯形,然后按图1方式拼图,则得到的大正方形的面积为_ABCD图1图2图3B13深圳如图在梯形ABCD中,ABDC,DB平分ADC,过点A作AEBD,交CD的延长于点E,且C2E1求证梯形ABCD是等腰梯形2若BDC30,AD5,求CD的长ABCDEYACDEBOXPCDEPABCDEFABCDEAB14河南如图,直线与反比例函数的图象交于A1,6,B,3两点BXKY1XK21求K1,K2的值2直接写出K1XB0时X的取值范围23如图,等腰梯形OBCD中,BCOD,OBCD,OD边在X轴上过点C作CEOD于点E,CE和反比例函数的图象交于点P,当梯形OBCD的面积为12时,请判断PC和PE的大小关系,并说明理由15河南如图梯形ABCD中ADBC,E是BC的中点,AD5,BC12,CD,C45,点P是BC边上一动点,设PB的长为X241当X的值为_时,以点P、A、D、E、为顶点的四边形为直角梯形2当X的值为_时,以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形3点P在BC边上运动的过程中,以P、A、D、为顶点的四边形能否构成菱形时说明理由16（重庆）已知如图,在梯形ABCD中,ADBC,BCDC,CF平分BCD,DFAB,BF的延长线交DC于点E求证1BFCDFC2ADDE17泰安如图所示,在直角梯形ABCD中,ABC90,ADBC,E是AB的中点,CEBD1求证BEAD2求证AC是线段ED的垂直平分线3DBC是等腰三角形吗并说明理由CDEFPABMYABOXMACDEF3题图ABCDC1题图EYABOXH3582题图D18重庆已知如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC90,E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M上且满足CFAD,MFMA1若MFC120,求证AM2MB2求证MPB90FCM119绥化如图,在平面直角坐标系中,函数Y2X12的图象分别交X轴,Y轴于AB两点,过点A的直线交Y轴正半轴于点M,且点M为线段OB的中点1求直线AM的解析式2试在直线AM上找一点P,使得SABPSAOB,请直接写出点P的坐标3若点H为直坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点H,使以点A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形若存在直接写出点H的坐标,若不存在,请说明理由培优升级奥赛检测01武汉在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC90,ABBC,E为AB边上一点,BCE15,且AEAD连接DE交对角线AC于H,连接BH下列结论ACDACECDE为等边三角形,其中结论正确的2BECASED是A只有B只有C只有D02浙江竞赛如图,在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD,已知AD3,AO8,OC5,若点P在梯形内且,那么点PCDAOPCASS,P的坐标是03梯形ABCD中,ADBC,F是CD的中点,AFAB,E是BC上一点,且AEBE,若ABM,则EF的长为_ABCDEFABCDABCDEFPABCDC图1图2EABMN图3PDFEFMNAEFPCGD04齐齐哈尔有一底角为60的直角梯形,上底为10CM,与底垂直的腰长为10CM,以上底或与底垂直的腰为一边作三角形,使三角形的另一边为15CM,第三个顶点落在下底上请计算所作三角形的面积为_05如图,梯形ABCD中,ABDC,ABAC,DADB,ADB90,求BAC的度数06义乌如图,直角梯形纸片ABCD,ADAB,AB8,ADCD4,点E,F分别在线段AB、AD上将AEF沿EF翻折,点A的落点记为P1当AE5,P落在线段CD上时,求PD的值2当P落在直角梯形ABCD内部时,求PD的最小值07江西如图在等腰梯形ABCD中,ADBC,E为AB的中点,过点E作EFBC交CD于点F,AB4,BC6,B601求点E到BC的距离2点P为线段EF上的一个动点,过P作PMEF,交BC于点M,过M作MNAB交折线ADC于点N,连接PN,设PNX当点N线段AD上时,PMN的形状是否发生改变若不变,求出PMN的周长若改变,请说明理由当点N在线段DC上时,是否存在点P,PMN为等腰三角形若存在,请求出所有满足要求的X的值若不存在请说明理由08四川如图,分别以ABC的边AC和BC为一边,向三角形外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点,PHAB,垂足是H,如果AB,求PH10PBCDEFPABCDEAFFQ备用图BCDPABCD图1AEMQ备用图M09吉林如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,AEBC于点E,DFBC于点F,AD2CM,BC6CM,AE4CM点P,Q分别在线段AE、DF上,顺次连接B、P、Q、C,线段BP、PQ、QC、CB所围成封闭图形记为M,若点P在线段AE上运动时,点Q也随之在线段DF上运动,使图形M的形状发生改变,但面积始终为10CM2,设EPXCM,FQYCM,解答下列问题1直接写出当X3时Y的值2求Y与X之间的函数关系式,并写出自变量X的取值范围3当X取何值时,图形M成为等腰梯形图形M成为三角形4直接写出线段PQ在运动过程中所能扫过的区域面积,10河北如图,在直角梯形ABCD中ADBC,B90,AD6,BC8,AB3,3点M是BC的中点,点P从点M出发沿MB以1个单位长的速度向点B匀速运动,到达点B后立刻以原速度沿BM返回点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动,在点P、Q的运动过程中，以PQ为边作等边EPQ,使它与梯形ABCD在射线BC同侧点P、Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动,点Q也随之停止设点PQ运动的时间是T秒T01设PQ的长为Y,在点P从点M向点B运动的过程中,写出Y与T之间的函数关系式不必写T的取值范围2当BP1时,求EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积3随着时间T的变化,线段AD会有一部分被EPQ覆盖,被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值,请回答该最大值能否持续一个时段若能,请直接写出T的取值范围若不能,请说明理由C图2YBX图3DBCDPABCD图1AMOBAC11陕西问题探究1请你在图1中作一条直线,使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分2如图2,点M是长矩形ABCD内一点,请你在图2中过点M作一条直线,使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分问题解决3如图3,在平面直角坐标系中,直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图,其中DCOB,OB6,CD4开发区统合服务管理委员会其占地面积不计设在点P4,2处为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的