2018年奥林匹克数学竞赛第五讲 等边三角形

21NMFEDBCA奥林匹克数学竞赛第五讲等边三角形考点方法破译1等边三角形及其性质三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2等边三角形的判定三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60的等腰三角形是等边三角形；3在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立经典考题赏析【例1】如图，DAC和EBC均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上AE、BD分别与CD、CE交于点M、N1求证ACEDCB2求AFD的度数；3判断CMN的形状【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题解1等边三角形DAC与等边三角形EBCACDC，CECB，ACDBCE60ACEDCB在ACE和DCB中，ACEDCBCBEDA2ACEDCB,12又1DFA2ACDAFDACD603在ACM和DCN中,60DCNAMACMDCNCMCN又DCN60CMN是等边三角形【变式题组】01天津如图，P、Q是ABC的边BC上的两点，且BPPQQCAPAQ，则BAC的大小等于_度02荆州如图，D是等边ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由CQPBAEDCBAEPQDCABEPQDCAB03如图，在正ABC中，D,E分别是BC、AC上的一点，且AECDAD与BE相交于点P，且BQAD于Q求证BP2PQ04黄冈如图，过边长为1的等边ABC的边AB上一点P，作PEAC于E，Q是BC延长线上一点，当PACQ时，连接PQ交AC于D，求DE的长【例2】P是ABC内一点，PBC30，PBA8，且PABPAC22，求APC的度数【解法指导】由于PABPAC,因而PA平分BAC,根据角平分线的特点可构造全等三角形，其方法一在AB边上截取；方法二延长AC边，又由于BPA150是特殊角，考虑BPA的完整性，因而取方法二的可能性更大解延长AC到D，使ADAB，连接PD、BD,PBA8PAB22BPA150，在ABP和ADP中，APDBABPADPAPBAPD150，BPDP,PBAAPD8BPD60,BPD是正三角形PBC30PBCDBC在PBC和DBC中，BCDPPBCDBC,PCCDCPDCDP8APCAPD一CPD150一8142【变式题组】01如图，D是等边三角形ABC内一点，E为ABC外部一点，满足DADB，BEBA，DBEDBC求BED的度数PCBADPCBAEDCAB02如图D是ABC外一点ABACBDCD，ABD60求ACD的度数【例3】如图1，ABC等边三角形，BDC是顶角120的等腰三角形，以D为顶点作60的角，它的两边分别与AB、AC交于点M和N，连接MN1探究MN、NC之间的关系，并加以证明2若点M、N分别在射线AB、CA上，其他条件不变，再探究线段BM、MN、NC之间的关系，在图2中画出相应的图形并就结论说明理由【解法指导】对于1，这时在DMB中，有DBMDBCCBA306090为了把BM，MN，NC集中到一个三角形中去，将DMB绕D点顺时针旋转120得到DGC如图3从而有MBGC而此时恰又有MNDGND得MNNGNCCGNCBM对于2，此时的图形4，仍作1中的旋转，类似地可以推得MNCN一BM解1关系为MNBMNC证明延长AC到G，使CGBM，连接DG，如图3ABDABCCBD60十3090同理也有ACD90在DMB和DGC中；DBDCBMCGDMBDGCDMDGMDBGDC在MND和GND中，ND公用，DMDG，MDN60GDNGDCDCNMDBCDN60MNDGNDMNGNGC十NCBMNC2此时图形如图4，有关系式MNCNBM理由如下在CN上截取GGBM连接DG，如图4与1中情况类似可推得ABDACD90且RTDMBDGC，得DMDGMDBGDC仍与1中情况娄似，可推得MNDGND就有MNGNNCCGNCBM【变式题组】01用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成四边形ABCD，把一个含60角的三角DCAB1NMDCBA2DCBA3NMGDCBA4NMGDCBA尺与这个四边形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转1当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于点E，F时，如图1，通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论并证明你的结论；2当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相交于点F时如图2，你在1中得到的结论还成立吗，简要说明理由02如图四边形ABCD中，ABAD，BAD60，BCD120求证ACBCDC巩固练习反馈提高01如图ABC是等边三角形，ADBC，点E在AC上，且AEAD，则DECA105B85C95D75DCBABEDCABEDCA第1题图第2题图02如图，等边ABC，D在AC上，延长BC到E使CECD，若BDDE，给出下列结论BD平分ABCADABCEBCA2E，其中正确结21论的个数是A4个B3个C2个D1个03河北如图，等边ABC的边长为1CM，D、E分别是AB、AC上的点，将ABC沿直线DE折叠，点A落在A处，且A在ABC外部，则阴影部分图形的周长为_CM04在等边ABC中，AC9，点O在AC上，且AO3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60，得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP_05如图，ABC是等边三角形，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DEBC，EFAC，FDAB，试判断DEF是否为等边三角形，并说明理由06请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形在图中画出分割线，并标出必要的角的度数07如图，点D是等边ABC边AB上的一点AB3AD，DEBC于点E，AE、CD相交于点F1求证ACDBAE2过点C作CGAE，垂足为点G，探究CF与FG之间的数量关系，并证明EDBFCAODBPCADEBFCA第3题图第4题图第5题图08如图ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60得到线段DE，延长ED交AC于点F，连接DC，AE求证ADEDFC09如图ABC是等边三角形，点D、E分别在CA、AB的延长线上，ADBEDB的延长线交EC于F求证1DBEC；2BFC6010常德如图1，若ABC与ADE为等