第二章随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布,2.1随机变量及其分布函数,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,内容提要,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,随机变量设E是随机试验，是样本空间.若对每个样本点,都有一个确定的数X()与之对应，则称上的实值函数X()为随机变量（randomvector,r.v.）,注：X()的取值具有随机性.,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,举例,例1：测试灯泡的寿命，样本空间为=t:t0,+,用X表示灯泡的寿命，则X就是随机变量，它随随机试验结果的不同而取不同的值：X=20表示灯泡的寿命是20单位时间，X100表示灯泡寿命不超过100.,例2:掷两枚硬币，以X表示出现正面的次数，则X是一随机变量：X=2表示出现两次正面；X1表示至少出现一次正面.,注：分布函数是定义在R上的一个实函数.,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,随机变量用来表示随机事件,而随机事件的出现有一定的概率.,分布函数：设X是一个随机变量，对任意的xR,令F(x)=P(Xx),xR,称F(x)为随机变量X的分布函数.,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,分布函数的性质,1.规范性：即0F(x)1,F(-)=limx-F(x)=0,F(+)=limx-+F(x)=1.,2.单调不减性：即对任意的x1x2,有F(x1)F(x2).,3.右连续性：即F(x+0)=F(x).,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,分布函数的几何意义：,分布函数F(x)表示随机变量X落在区间（-,x上的概率.,任何事件的概率可以由分布函数表示：P(x1a)=1-F(a);P(Xa)=1-P(Xa)=1-F(a)+P(X=a).,第一章随机事件与概率,2.2离散型随机变量的概率分布,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,内容提要,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,离散型随机变量:只能取有限个或可列个值的随机变量称为离散型随机变量.,例：,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,离散型随机变量的概率分布律：设X为离散型随机变量,所有可能取值为x1,x2,且P(X=xk)=pk,k=1,2,.则称上式为离散型随机变量X的（概率）分布律（列）.,分布列也可以用表格表示为：,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,概率分布律的性质：（1）pk0k=1,2,.（2）p1+p2+pk+=1.,反之，若存在序列qk,k=1,2,满足以上两条性质，那么该序列一定是某一离散型随机变量的概率分布律.,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,例1.对目标进行射击，知道击中为止，设每次的命中率为p.求射击次数X的分布律，并求P(X2).,例2.设离散型随机变量的分布列为P(X=k)=bk(k=1,2,3,4,0b1).求.,例3.已知r.v.的所有取值为1,2,3,4.且P(X=k)正比于k值.求：（1）X的分布律及分布函数F(x)；（2）P(X3),F(3).,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,0-1分布：设X的分布律为(0p1):,则称X服从参数为p的0-1分布（两点分布，伯努利分布），记为XB(1,p).,例1.掷两粒骰子，以X表示出现的点数，那么X服从的不是两点分布.,但是如果以X表示是否出现双六，则X服从0-1分布，且p=1/36.,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,二项分布：设X的分布律为(0m+n|Xm)=P(Xn).,第二章随机变量及其分布,2.3连续型随机变量及其分布,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,内容提要,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,定义：设随机变量的分布函数为F(x),若存在非负可积函数f(x),使得对任意的xR,都有则称X为连续型随机变量，并称f(x)为X的概率密度函数.,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,注：由高等数学知识可知：连续型随机变量的分布函数一定是处处连续的，且在f(x)的连续点处，有,概率密度名称的由来：,具有以上二性质的任一函数f(x)必是某连续型随机变量的密度函数.,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,(1)f(x)0;(2).,(3)对任意的实数a,b（ab）,有P(a0为常数.则称X服从参数为,2的正态分布,记为XN(,2).,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,(1)f(x)的图形及特性：(2)F(x)的表达式：(3),对图形的影响：(4)x=时，F()=1/2.(5)f(x)关于对称，F(-x)=F(+x).(6)令=0,2=1时，称X服从标准正态分布，即XN(0,1).此时记,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,(7)对任意的XN(,2),做变换Y=(X-)/,则YN(0,1).,例1.连续性随机变量X的概率密度函数为（1）求的近似值；（2）若已知，求c,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,例2.(3原则)设随机变量XN(,2),(1)求P(-X+);(2)求P(-2X+2);(3)求P(-3X0)的概率密度函数.,步骤:（1）先求函数Y=g(x)的分布函数FY(y)，（2）对分布函数FY(y)求导得fY(y).,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,例4.设XN(,2),求Y=kX+b（k0）的概率密度函数.（1）写出Y的分布；（2）当k=1/,b=-/时，Y的分布.,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,定理1.设连续型随机变量X具有概率密度函数f(x)，若y=g(x)是严格单调且可导的函数，则Y=g(X)是一个连续型的随机变量，其概率密度函数为,其中h(x)是y=g(x)的反函数，（，）是Y的取值范围.,证明：,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,例5.设随机变量XU(0,1),求Y=-2lnX的概率密度.,解法1（公式法）：,解法2（分布函数法）：,如果Y=g(x)不是单调函数，如何求解？,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,定理2.设连续型随机变量X具有概率密度函数f(x)，y=g(x)在不相交的区间(ai,bi)(i=1,2)上分别严格单调且可导，其反函数分别为h1(y),h2(y),且具有连续导函数.那么Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度函数为,DepartmentofMathematics,TianjinUniversity,例6.设随机变量XN(0,1),求Y=X2的概率密度.,例7.设随机变量X的概率密度函数满足0x时，f(x)=2x/2；否则，f(x)=0.求Y=s