椭圆高通IIR数字滤波器设计

南华大学数字信号处理课程设计 学院： 电气工程学院 学生姓名： 张 鑫 学号： 专业班级： 电子091 设计题目： 椭圆高通IIR数字滤波器设计 指导老师： 陈忠泽 2013年1月1课程设计的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等）： 每位同学根据自己在班里的学号（最后两位）查表一得到一个四位数，由该四位数索引表二确定待设计数字滤波器的类型及其设计方法，然后用指定的设计方法完成滤波器设计。要求：1. 滤波器的设计指标：（1）通带截止频率pc=eid500.2 rad, （2）阻带截止频率sc=eid500.6 rad,（3）通带最大衰减ap=1dB, （4）阻带最小衰减as=60dB其中，你的学号的最后两位 2、题目：椭圆高通IIR数字滤波器设计（数字频率转换）3. 滤波器的初始设计通过手工计算完成；4. 在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构对其性能指标的影响（至少选择两种以上合适的滤波器结构进行分析）；5. 在计算机辅助计算基础上分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响；6. 以上各项要有理论分析和推导、原程序以及表示计算结果的图表；7. 课程设计结束时提交设计说明书。2对课程设计成果的要求包括图表（或实物）等硬件要求：滤波器的初始设计通过手工计算完成；在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构对其性能指标的影响（至少选择两种以上合适的滤波器结构进行分析）；在计算机辅助计算基础上分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响；以上各项要有理论分析和推导、原程序以及表示计算结果的图表；课程设计结束时提交设计说明书。3主要参考文献：高息全 数字信号处理 西安电子科技大学出版社郑成霞 椭圆逼近模拟带通有源低通滤波器的设计张德丰 详解matlab数字信号处理 电子工业出版社庞建丽 基于Matlab的IIR数字滤波器设计方法比较及应用4课程设计工作进度计划：序号起 迄 日 期工 作 内 容12012.12.262013.12.31接到题目，搜集资料22012.12.312013.1.3整理资料，初步设计32013.1.32013.1.5完善初步设计42013.1.52013.1.7改进设计方案，落实课题目标52013.1.82013.1.9上交课程设计，并做细节修改并完成设计主指导教师日期：一 手工计算完成椭圆IIR数字高通滤波器的初始设计1.设计要求滤波器的设计指标要求为（1）通带截止频率pc=eid500.2 rad, （2）阻带截止频率sc=eid500.6 rad,（3）通带最大衰减ap=1dB, （4）阻带最小衰减as=60dB其中id为我学号的后两位。我的学号，所以id=34。由此计算得：（1）通带截止频率：p=eid500.2 rad=e34500.2 rad=1.2407，fp=0.1974（2）阻带截止频率：s=eid500.6 rad=e34500.6 rad=3.7222, fs=0.5924（3）通带最大衰减：ap=1dB, （4）阻带最小衰减：as=60dB2.数字边界频率转换成模拟边界频率转换关系为：=2Ttan12其中，令T=2s 计算得:p=0.7144 rad/ss=-3.3473 rad/sap=1dBas=60dB=ps=-0.2134为归一化基准频率的条件下，通带、阻带阶值归一化频率互为倒数。令: q0=12.1-(1-2)141+(1-2)14 =0. q=q0+2q05+15q09+15q013=0. b2=100.1as=1062=100.1ap=100.1 那么椭圆滤波器的阶次N可表示为： Nlog16(b2-1)2-1log1q 3.设计低通原型滤波器转移函数G(S)N= 4 ap=1dB s=-3令 ej=s 得：转移函数 G(S)=0.0010s4+0.0698s2+0.6361s4+1.1763s3+2.2660s2+1.4583s+0.71374.模拟低通滤波器转换为数字低通滤波器Gz=G(S)S=2T 1-Z-11+Z-1 得G(z)=0.0057+0.0049z-1+0.0092z-2+0.0049z-3+0.0057z-41-3.0641z-1+3.8544z-2-2.3126z-3+0.5565z-45.数字低通滤波器转换为数字高通滤波器 z-1=-Z-1+a1+aZ-1得到所求的数字高通滤波器传输函数为:GhpZ=0.9961-0.9665Z-1+0.9561Z-2-0.9665Z-3+0.59961Z-41+1.549Z-1+1.799Z-2+0.8688Z-3+0.84Z-4二 滤波器的不同结构对性能指标的影响在理想状态下，对于同一个传递函数几乎对应着无数种等效结构，然而这些结构却并不一定都能实现。在无限参数字长的情况下，所有能实现传递函数的结构之间，其表现完全相同。然而，在实际中，由于参数字长有限的限制，各实现结构的表现并不相同。下面我们就将对比直接型（包括直接I、II型）和级联型两种结构在本例中对性能指标的影响。在MATLAB中可以利用FDATOOL工具箱构建不同类型的数字滤波器。在此为了使对比效果明显，我们不妨先将将上述初步设计的椭圆数字IIR带阻滤波器的设计参数的字长（即转移函数中分子、分母各项前的系数）进行保留小数点后2位的进一步的缩减。缩减后的参数如下：den= 0.03, -0.11, 0.15, -0.11, 0.37 num= 1, 1.50, 1.67, 0.97, 0.30 图1 filter coefficients工具工作界面1、利用直接型结构构建数字滤波器GhpZ=0.03-0.11Z-1+0.15Z-2-0.11Z-3+0.03Z-41+1.50Z-1+1.67Z-2+0.97Z-3+0.30Z-4Y(n)=0.03x(n)-0.11x(n-1)+0.15x(n-2)-0.11x(n-3)+0.03x(n-4)+1.50x(n-1)+1.67x(n-2)+0.97x(n-3)+0.30x(n-4)x(n) 0.03 y(n) -0.11 -1.50 0.15 -1.67 -0.11 -0.97 0.03 -0.30图2 直接型I型结构流图选择filter structure选项框中的 Direct-Form I选项，点击窗口下方的Import Filter按钮，构建直接1型结构的椭圆数字IIR带阻滤波器，结果如图2所示。图3 Direct-Form I型结构的滤波器幅频响应图读图可以得Direct-Form I结构的滤波器技术指标（fs,fp单位为；,单位为dB）如表1所示：表1 Direct-Form I结构滤波器对性能指标的影响性能指标初始设计指标Direct-Form Ifp0.19740.0.fs0.59240.0.6052.690827.3091811.-0.分析：由图2和表1可以看出，fs下降0.， fp下降了0.，as下降7.30918db，ap上升0.db。阻带的幅频响应曲线更加平滑，Direct-Form I造成性能指标的误差很大，不能忽略。2、利用级联结构构建数字滤波器将 GhpZ=0.03-0.11Z-1+0.15Z-2-0.11Z-3+0.03Z-41+1.50Z-1+1.67Z-2+0.97Z-3+0.30Z-4因式分解得：GhpZ=0.03711-1.819Z-1+0.999Z-2*1-1.1815Z-1+1.0000Z-21+0.9872Z-1+0.3879Z-2*1+0.5171Z-1+0.7807Z-2x(n) 0.0371 y(n) -0.9872 -0.0674 -0.5171 -1.1815 -0.3879 0.0370 -0.7807 图4级联型的结构流图选择Edit下拉菜单中点击 Convert to Second-order Sections选项，将构建好的Direct-Form I结构的椭圆数字IIR带阻滤波器转换为级联滤波器，结果如图5所示。图5 级联型结构的滤波器幅频响应图读图5可以得级联结构的滤波器技术指标（fs,fp单位为；,单位为dB）如表2所示：表2 级联结构滤波器对性能指标的影响性能指标初始设计指标级联结构fp0.19740.-0.fs0.59240.0.6059.917660.0823411.-0.分析：由图3和表2可以看出，fs上升0.， fp下降了0.，as下降0.08234dB，ap上升0.dB。与上面相比误差减小，级联结构造成性能指标误差较Direct-Form I更小，误差可以忽略。3、两种结构滤波器对指标影响比较与原因分析比较表1和表2发现：在参数字长仅保留了小数点后2位的情况下，两种结构的滤波器较初始设计在性能指标方面均有误差。但是直接型误差比级联型更大，受有限参数字长影响更大，主要表现在：直接型fs,fp,和与设计要求相应的性能间的差的绝对值普遍大于级联型。此外，直接型和级联型的幅频响应曲线的通带的波动均不稳定，但是级联型的稳定性要好于直接型。造成这一现象的原因是：直接型滤波器的系数不是直接决定单个零极点，因而不能很好的进行滤波器性能的控制；此外直接型滤波器的极点对参数的变化过于敏感，从而使得系统的频率响应对参数的变化也特别敏感，也就是对参数的有限字长运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。相比之下，级联型滤波器每个二阶节系数单独控制一对零、极点，有利于控制频率响应；此外级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累相对直接型就小。三 参数字长对性能指标的影响在实际的数字滤波器的设计中，由于计算机或DSP芯片等的字长和存储空间有限，所以也只能对设计参数取有限的字长进行设计。然而，如果字长太短，则设计的滤波器误差就会太大，造成滤波效果不佳。下面就将以上述性能指标为依据，初始设计的椭圆数字IIR带阻滤波器为例，研究不同参数字长对性能指标的影响。并为合适参数字长的确定探索规律。将计算获得的带阻数字滤波器的系数输入图1所示的filter coefficients工具中，并点击Import Filter按钮，生成数字滤波器。运用FDATOOL工具左下侧上数第三个的Set quantization parameters按钮，在filter arithmetic下拉菜单下选择Fixed Point选项，进入如图6所示的界面。图6 Set quantization parameters工作界面通过改变coefficient word length的值便可以改变参与构建滤波器的参数字长。1、参数字长取2位对性能指标的影响将coefficient word length的值改为2，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图7所示：图7 参数字长取2位时的滤波器幅频响应曲线图图7中的虚线为供参考的理想字长下生成的滤波器的幅频响应曲线，图中实线为参数字长取为2位时的滤波器幅频响应曲线。从图中可以看出：字长为2位时，滤波器的各项性能指标离设计指标偏差很大，滤波器失真明显，滤波效果很差，远远不能满足设计指标的要求。2、参数字长取4位对性能指标的影响将coefficient word length的值改为4，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图8和表3所示：图8 参数字长取4位时的滤波器幅频响应曲线图表3参数字长取4位时的实际性能指标一览表性能指标初始设计指标级联结构fp0.19740.0.fs0.59240.-0.60*1*由图8和表3可以看出，当参数字长取为4位时，幅频曲线失真度较2位时有明显改进，但仍很明显：通、阻带截止频率分别有较大的偏移，使得截止频率坡度非常平缓，滤波效果很差。通带和阻带波动平缓，最小和最大衰减频率不明显，通带甚至出现了正增益。离设计指标差距仍然很大。3、参数字长取6位对性能指标的影响将coefficient word length的值改为6，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图9和表4所示：图9参数字长取6位时的滤波器幅频响应曲线图表4 参数字长取6位时的实际性能指标一览表性能指标初始设计指标级联结构fp0.19740.-0.fs0.59240.0.6050.93119.068911.-0.由图9和表4可以看出，当参数字长取为6位时，幅频曲线失真进一步减小，已经初具带阻滤波器的形制。性能指标也明显接近设计要求：通、阻带截止频率与设计要求间的误差已经缩小至0.02的范围内，截止频率的坡度也已经十分陡峭；但是通带最大衰减频率和阻带最小衰减频率与设计指间标误差还是很大，离设计要求距离还是较远。4、参数字长取8位对性能指标的影响将coefficient word length的值改为8，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图10和表5所示：图10参数字长取8位时的滤波器幅频响应曲线图表5 参数字长取8位时的实际性能指标一览表性能指标初始设计指标级联结构fp0.19740.-0.fs0.59240.0.6060.-0.11.-0.由图10和表5可以看出，当参数字长取为8位时，幅频曲线失真进一步减小，但仍可以看出。性能指标与设计要求的差值继续减小，也已不明显；通带最大衰减频率和阻带最小衰减频率与设计指间标误差还是有一定的差距，距离设计要