复变函数试题与答案

第一章 复数与复变函数一、 选择题1当时，的值等于（）（A） （B） （C） （D）2设复数满足，那么（）（A）（B）（C）（D）3复数的三角表示式是（）（A）（B）（C）（D）4若为非零复数，则与的关系是（）（A）（B）（C）（D）不能比较大小设为实数，且有，则动点的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线一个向量顺时针旋转，向右平移个单位，再向下平移个单位后对应的复数为，则原向量对应的复数是（）（A）（B）（C）（D）使得成立的复数是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数设为复数，则方程的解是（）（A）（B）（C）（D）满足不等式的所有点构成的集合是（）（A）有界区域（B）无界区域（C）有界闭区域（D）无界闭区域10方程所代表的曲线是（）（A）中心为，半径为的圆周 （B）中心为，半径为的圆周（C）中心为，半径为的圆周（D）中心为，半径为的圆周11下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A）（B）（C）（D）12设，则（）（A） （B） （C） （D）13（）（A）等于 （B）等于 （C）等于 （D）不存在14函数在点处连续的充要条件是（）（A）在处连续 （B）在处连续（C）和在处连续（D）在处连续15设且，则函数的最小值为（）（A） （B） （C） （D）二、填空题1设，则 2设，则 3设，则 4复数的指数表示式为 5以方程的根的对应点为顶点的多边形的面积为 不等式所表示的区域是曲线 的内部方程所表示曲线的直角坐标方程为方程所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线对于映射，圆周的像曲线为10三、若复数满足，试求的取值范围四、设，在复数集中解方程.五、设复数，试证是实数的充要条件为或.六、对于映射，求出圆周的像.七、试证.的充要条件为；. 的充要条件为.八、若，则存在，使得当时有.九、设，试证.十、设，试讨论下列函数的连续性：1.2.第二章 解析函数一、选择题：1函数在点处是( )（A）解析的 （B）可导的（C）不可导的 （D）既不解析也不可导2函数在点可导是在点解析的( )（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既非充分条件也非必要条件3下列命题中，正确的是( )（A）设为实数，则（B）若是函数的奇点，则在点不可导（C）若在区域内满足柯西-黎曼方程，则在内解析（D）若在区域内解析，则在内也解析4下列函数中，为解析函数的是( )（A） （B）（C） （D）5函数在处的导数( )（A）等于0 （B）等于1 （C）等于 （D）不存在6若函数在复平面内处处解析，那么实常数( )（A） （B） （C） （D）7如果在单位圆内处处为零，且，那么在内( )（A） （B） （C） （D）任意常数8设函数在区域内有定义，则下列命题中，正确的是（A）若在内是一常数，则在内是一常数（B）若在内是一常数，则在内是一常数（C）若与在内解析，则在内是一常数（D）若在内是一常数，则在内是一常数9设，则( )（A） （B） （C） （D）10的主值为( )（A） （B） （C） （D）11在复平面上( )（A）无可导点 （B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析 （D）处处解析12设，则下列命题中，不正确的是( )（A）在复平面上处处解析 （B）以为周期（C） （D）是无界的13设为任意实数，则( )（A）无定义 （B）等于1 （C）是复数，其实部等于1 （D）是复数，其模等于114下列数中，为实数的是( )（A） （B） （C） （D）15设是复数，则( )（A）在复平面上处处解析 （B）的模为（C）一般是多值函数 （D）的辐角为的辐角的倍二、填空题1设，则 2设在区域内是解析的，如果是实常数，那么在内是 3导函数在区域内解析的充要条件为 4设，则 5若解析函数的实部，那么 6函数仅在点 处可导7设，则方程的所有根为 8复数的模为 9 10方程的全部解为 三、设为的解析函数，若记，则四、试证下列函数在平面上解析，并分别求出其导数12五、设，求.六、设试证在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知，试确定解析函数.八、设和为平面向量，将按逆时针方向旋转即得.如果为解析函数，则有（与分别表示沿,的方向导数）.九、若函数在上半平面内解析，试证函数在下半平面内解析.十、解方程.第三章 复变函数的积分一、选择题：1设为从原点沿至的弧段，则( )（A） （B） （C） （D）2设为不经过点与的正向简单闭曲线，则为( )（A） （B） （C） （D）(A)(B)(C)都有可能3设为负向，正向，则 ( )（A） （B） （C） （D）4设为正向圆周，则 ( )（A） （B） （C） （D）5设为正向圆周，则 ( )（A） （B） （C） （D）6设，其中，则( )（A） （B） （C） （D）7设在单连通域内处处解析且不为零，为内任何一条简单闭曲线，则积分 ( )（A）于 （B）等于 （C）等于 （D）不能确定8设是从到的直线段，则积分（ ）（A） (B) (C) (D) 9设为正向圆周，则 ( )（A） （B） （C） （D）10设为正向圆周，则( )（A） （B） （C） （D）11设在区域内解析，为内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于如果在上的值为2，那么对内任一点,( )（A）等于0 （B）等于1 （C）等于2 （D）不能确定12下列命题中，不正确的是( )（A）积分的值与半径的大小无关（B）,其中为连接到的线段（C）若在区域内有，则在内存在且解析 （D）若在内解析，且沿任何圆周的积分等于零，则在处解析13设为任意实常数，那么由调和函数确定的解析函数是 ( )(A) （B） （C） （D）14下列命题中，正确的是( )（A）设在区域内均为的共轭调和函数，则必有（B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C）若在区域内解析，则为内的调和函数（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15设在区域内为的共轭调和函数，则下列函数中为内解析函数的是( )（A） （B） （C） （D）二、填空题1设为沿原点到点的直线段，则 2设为正向圆周，则 3设,其中，则 4设为正向圆周，则 5设为负向圆周，则 6解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7设在单连通域内连续，且对于内任何一条简单闭曲线都有，那么在内 8调和函数的共轭调和函数为 9若函数为某一解析函数的虚部，则常数 10设的共轭调和函数为，那么的共轭调和函数为 三、计算积分1.,其中且;2.四、设在单连通域内解析，且满足.试证在内处处有；对于内任意一条闭曲线，都有五、设在圆域内解析，若，则.六、求积分，从而证明.七、设在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数，试求极限并由此推证（刘维尔Liouville定理）.八、设在内解析，且，试计算积分并由此得出之值.九、设是的解析函数，证明.十、若，试求解析函数.第四章 级 数一、选择题：1设，则( )（A）等于 （B）等于 （C）等于 （D）不存在2下列级数中，条件收敛的级数为( )（A） （B）（C） （D）3下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B） （B）(C) （D）4若幂级数在处收敛，那么该级数在处的敛散性为( )（A）绝对收敛 （B）条件收敛（C）发散 （D）不能确定5设幂级数和的收敛半径分别为，则之间的关系是( )（A） （B） （C） （D）6设，则幂级数的收敛半径( )（A） （B） （C） （D）7幂级数的收敛半径( )（A） （B） （C） （D）8幂级数在内的和函数为（A） （B）（D） (D) 9设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径( )（A） （B） （C） （D）10级数的收敛域是( )（A） （B） （C） （D）不存在的11函数在处的泰勒展开式为( )（A） （B）（C） （D）12函数，在处的泰勒展开式为( )（A） （B）（C） （D）13设在圆环域内的洛朗展开式为，为内绕的任一条正向简单闭曲线，那么( )(A) （B） （C） （D）14若，则双边幂级数的收敛域为( )（A） （B） （C） （D）15设函数在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有个，那么( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）4二、填空题1若幂级数在处发散，那么该级数在处的收敛性为 2设幂级数与的收敛半径分别为和，那么与之间的关系是 3幂级数的收敛半径 4设在区域内解析，为内的一点，为到的边界上各点的最短距离，那么当时，成立，其中 5函数在处的泰勒展开式为 6设幂级数的收敛半径为，那么幂级数的收敛半径为 7双边幂级数的收敛域为 8函数在内洛朗展开式为 9设函数在原点的去心邻域内的洛朗展开式为，那么该洛朗级数收敛域的外半径 10函数在内的洛朗展开式为 三、若函数在处的泰勒展开式为，则称为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定满足的递推关系式，并明确给出的表达式四、试证明12五、设函数在圆域内解析，试证1.2。六、设幂级数的和函数，并计算之值.七、设，则对任意的，在内。八、设在内解析的函数有泰勒展开式试证当时.九、将函数在内展开成洛朗级数.十、试证在内下列展开式成立：其中.第五章 留 数一、选择题：1函数在内的奇点个数为 ( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）42设函数与分别以为本性奇点与级极点，则为函数的( )（A）可去奇点 （B）本性奇点（C）级极点 （D）小于级的极点3设为函数的级极点，那么( )（A）5 （B）4 (C)3 （D）24是函数的( )(A)可去奇点 （B）一级极点（C） 一级零点 （D）本性奇点5是函数的( )(A)可去奇点 （B）一级极点（C） 二级极点 （D）本性奇点6设在内解析，为正整数，那么( )（A） （B） （C） （D）7设为解析函数的级零点，那么( )(A) （B） （C） （D）8在下列函数中，的是（ ）（A） （B）（C） (D) 9下列命题中，正确的是( )（A） 设，在点解析，为自然数，则为的级极点（B） 如果无穷远点是函数的可去奇点，那么（C） 若为偶函数的一个孤立奇点，则（D） 若，则在内无奇点10 ( )（A） （B） （C） （D）11 ( )（A） （B） （C） （D）12下列命题中，不正确的是( )（A）若是的可去奇点或解析点，则（B）若与在解析，为的一级零点，则（C）若为的级极点，为自然数，则（D）如果无穷远点为的一级极点，则为的一级极点，并且13设为正整数，则( )(A) （B） （C） （D）14积分( )（A） （B） （C） （D）15积分( )（A） （B） （C） （D）二、填空题1设为函数的级零点，那么 2函数在其孤立奇点处的留数 3设函数，则 4设为函数的级极点，那么 5双曲正切函数在其孤立奇点处的留数为 6设，则 7设，则 8积分 9积分 10积分 三、计算积分四、利用留数计算积分五、利用留数计算积分六、利用留数计算下列积分： 七、设为的孤立奇点，为正整数，试证为的级极点的充要条件是，其中为有限数八、设为的孤立奇点，试证：若是奇函数，则；若是偶函数，则九、设以为简单极点，且在处的留数为A，证明.十、若函数在上解析，当为实数时，取实数而且，表示的虚部，试证明第六章 共形映射一、选择题：1若函数构成的映射将平面上区域缩小，那么该区域是 ( )（A） （B） （C） （D）2映射在处的旋转角为( )（A） （B） （C） （D）3映射在点处的伸缩率为( )（A）1 （B）2 (C) （D）4在映射下，区域的像为( )(A) （B）（C） （D）5下列命题中，正确的是( )（A）在复平面上处处保角（此处为自然数）（B）映射在处的伸缩率为零（C） 若与是同时把单位圆映射到上半平面的分式线性变换，那么（D）函数构成的映射属于第二类保角映射6关于圆周的对称点是( )（A） （B） （C） （D）7函数将角形域映射为 ( )(A) （B） （C） （D）8将点分别映射为点的分式线性变换为（ ）（B） （B）（C） (D) 9分式线性变换把圆周映射为( )（E） (B) （F） (D) 10分式线性变换将区域:且映射为( )（A） （B） （C） （D）11设为实数且，那么分式线性变换把上半平面映射为平面的( )（A）单位圆内部 （B）单位圆外部 （C）上半平面 （D）下半平面12把上半平面映射成圆域且满足的分式线性变换为( )（A） （B） （C） （D）13把单位圆映射成单位圆且满足的分式线性变换为( )(A) （B） （C） （D）14把带形域映射成上半平面的一个映射可写为( )（A） （B） （C） （D）15函数将带形域映射为( )（A） （B） （C） （D）二、填空题1若函数在点解析且，那么映射在处具有 2将点分别映射为点的分式线性变换为 3把单位圆映射为圆域且满足的分式线性变换 4将单位圆映射为圆域的分式线性变换的一般形式为 5把上半平面映射成单位圆且满足的分式线性变换的= 6把角形域映射成圆域的一个映射可写为 7映射将带形域映射为 8映射将扇形域：且映射为 9映射将上半平面映射为 10映射将上半单位圆：且映射为 三、设是两个分式线性变换，如果记,试证1的逆变换为；2与的复合变换为四、设与是关于圆周的一对对称点，试证明圆周可以写成如下形式其中五、求分式线性变换，使映射为，且使映射为六、求把扩充复平面上具有割痕：且的带形域映射成带形域的一个映射七、设，试求区域且到上半平面的一个映射八、求把具有割痕：且的单位圆映射成上半平面的一个映射九、求一分式线性变换，它把偏心圆域映射为同心圆环域，并求的值十、利用儒可夫斯基函数，求把椭圆的外部映射成单位圆外部的一个映射第二章 复数与复变函数一、1（B） 2（A） 3（D） 4（C） （B） （A） （D） （B） （D） 10（C）11（B） 12（C） 13（D） 14（C） 15（A）二、1 2 3 4 5 （或 ） 10三、（或）四、当时解为或当时解为.六、像的参数方程为表示平面上的椭圆.十、1在复平面除去原点外连续，在原点处不连续；2在复平面处处连续.第二章 解析函数一、1（B） 2（B） 3（D） 4（C） （A） （C） （C） （C） （A） 10（D）