《近世代数》PPT课件.ppt

2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,1,第2章近世代数简介,线性分组码中最重要的一个子类-循环码(RS、BCH码)，它的结构完全建立在有限域的基础之上，被称为代数几何码。有限域是以近世代数为基础。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,2,2.1几个概念,1.质数（素数）一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除。2.合数一个大于1的正整数，除了能被1和本身整除以外，还能被其他的正整数整除。例2-12，3，5，7，9，11，13，17，19都是质数；4，6，8，9，10，都是合数；这样，全体正整数又分为：全体素数和全体合数。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,3,3.群(Group)设G是非空集合(set)，并在G内定义了一种代数运算(operation)“。”，若满足下述公理：（1）具有封闭性(isclosed)；（2）结合率成立(isassociative)；（3）G中有一个恒等元e存在(existanidentityelement)；（4）有逆元存在(containaninverseelement)。称G构成一个群。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,4,（1）加群(additiongroup)、乘群(multiplicationgroup)（针对群中的运算）（2）群的阶（针对群中元素的个数）（3）有限群(finitegroup)、无限群(infinitegroup)（针对群中元素的个数）（4）交换群(commutativegroup)或阿贝尔群(Abelgroup)（针对群中的运算）,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,5,例2-2G1：整数全体。对加法构成群，无限加群；对乘法不够成群。Why?G2：实数全体。对加法构成群；除0元素之外的全体实数，对乘法构成群。单位元e=1。这两个群都是无限群。G1和G2有都是阿贝尔群。群将和联系在一起？,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,6,4.域(Field)对于非空元素集合F，若在F中定义了加法(addition)和乘法(multiplication)两种运算，且满足下面的公理：（1）F关于加法构成阿贝尔群，其加法恒等元记为0；（2）F中非0元素全体对乘法构成阿贝尔群，其乘法恒等元（单位元）记为1。（3）加法和乘法之间满足如下分配率(distributive)：则称F是一个域。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,7,（1）域的阶（针对群中元素的个数），记为q。（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：GF(q)。域将和联系在一起？,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,8,例2-3F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都分别构成域，分别称为有理数域和实数域。F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域中只有两个元素，记为GF(2)。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,9,定理：设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类：0，1，2，p-1，在模p的运算下（p模相加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。例2-4验证以p=3为模的剩余类全体：0，1，2构成一个有限域GF(3)。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,10,分析：是否构成域？对加法是否构成群？除0之外对乘法是否构成群？（1）对两种运算满足封闭性，即有a。bG；（2）满足结合率，即有(a。b)。c=a。（b。c）；（3）有恒等元（加法为0，乘法为1）；（4）有逆元。即对任意aG，存在有a的逆元a-1G，使a。a-1=a-1。a=e。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,11,B.是否为阿贝尔群？是否可交换：a。b=b。a（满足乘法、加法交换率）C.是否满足分配率？,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,12,5.循环群如果一个元素的各次幂0，1，2，的全体构成了一个群，称为循环群（cyclegroup），元素称为生成元或者本原元（primitiveelement）。记作：G=0，1，2，其中0=e是单位元。可以证明，有限域GF(q)的q-1个非0元素，在模q乘运算下，可以构成一个循环群（幂群），即G上的所有非0元素可以由一个元素的各次幂0，1，2，q-1生成。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,13,例2-5q=5的伽逻华域GF(5)=0,1,2,3,4，由5个域元素组成，其中非零元素为1,2,3,4，进行模5乘运算。为了弄清那些元素是本原元，分别计算各元素的各次幂。由本原元可以产生所有的域元素。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,14,GF(5)中非零元素的幂、阶及其逆元,（1）元素的阶（能产生域元素的个数）：（2）域元素2和3的各次幂可以生成全部非零域元素，所以2和3都是本原元。（3）元素1的各次幂只能生成元素1（阶为1），4只能生成元素1和4（阶为2），故都不是本原元（生成元）。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,15,6.环（Ring）定义：在非空集合R中，若定义了两种代数运算加和乘，且满足：（1）集合R在加法运算下构成阿贝尔群；（2）乘法有封闭性，对于任何a,bR，有abR；（3）乘法结合率成立，且加法和乘法之间分配率成立，即对任何a,bR，有a(b+c)=ab+ac(b+c)a=ba+ca则称R是一个环。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,16,环将和联系在一起？WhatistherelationshipwithGroup,FieldandRing?WhatisthedifferencebetweenFieldandRing?,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,17,7.同余和剩余类定义：若两个整数a、b能被同一整数m整除，余数相同，即则称a、b关于模m同余，记为由同余的概念，可以将全体整数加以分类，把余数相同的归成一类，即由共有m个剩余类。一般地讲，若模数为m，则全体整数可以按照模m划分成m类，0，1，m-1，或用0，1，2,，m-1表示，称这样的一组数为模m的剩余类。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,18,例2-6如果取m=7，则对全体整数，可如下划分：剩余类的加法和乘法运算,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,19,2.2多项式剩余类环和域,1.域上多项式的定义多项式与码字的关系：桥梁；多项式的系数表示；x的幂次表示；域上的多项式针对系数定义；例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的多项式。q进制系数的多项式，称为q元域GF(q)上的多项式。群、环、域对多项式也成立。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,20,域上多项式：GF(q)上多项式的定义：,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,21,(1)多项式的两要素(2)多项式次数(3)首一多项式(4)最简首一多项式(5)多项式的有限性分析,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,22,2.多项式剩余类环存在定理若以有限域GF(q)上多项式为模做乘法运算，q为模做加运算，得到的多项式剩余类的全体，可以构成一个交换环，称为多项式剩余类环，记为Rq(x)f(x)。多项式剩余类环的有限性可以得到保证。系数有限性幂次的有限性,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,23,系数模q加和模f(x)乘运算：A(x)、B(x)是两个环元素，模q加模f(x)乘,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,24,多项式f(x)的最高次幂为m，有限域为GF(q)。多项式剩余环类Rq(x)f(x)中环元素的最高次数为；多项式的一般形式为：这个环中共有个元素？,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,25,例2-7剩余类环为Rq(x)f(x)，q=2，f(x)=x3+x+1。若A(x)=x2+x+1，B(x)=x2+1是两个多项式。求A(x)B(x)构成的剩余类环最多有多少个元素？解：（1）一般多项式乘法运算,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,26,（2）用f(x)除上面的多项式，有,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,27,得到，A(x)B(x)modf(x)=x2+x。由于f(x)是3次多项式，因此该剩余类环的最高次幂不会超过2，一般形式由下式给出：由于环元素只有3个系数，最多的不同组合有8种，因此该剩余类环最多只有8个环元素（包括多项式和常数）。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,28,2.3多项式域和循环群1.既约多项式（Irreduciblepolynomials）定义：设Pl(x)是次数大于0的多项式。如果除常数C和CPl(x)之外，不能被域GF(q)上的其它多项式整除，则称f(x)是域GF(q)上的既约多项式。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,29,(1)常数总是多项式的因子。(2)一个多项式f(x)是否为既约多项式与所定义的域有关。(3)一个多项式既约的充要条件：多项式Pl(x)不能分解成两个次数低于Pl(x)的多项式的乘积。(4)完全分解：n次多项式最多能分解成n个一次多项式的乘积，被称为完全分解。(5)一次多项式一定是既约的。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,30,2.本原多项式（PrimaryPolynomials）定义：对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能被它整除的最简首一多项式（xn-1）的次数为：则称这个多项式P(x)为本原多项式。本原多项式一定是既约的；但既约多项式未必是本原的。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,31,3.多项式循环群（CycleGroup）定义：群内的所有元素由多项式的各次幂构成，称为多项式循环群。多项式是一个群元素，被称为循环群的生成元。例2-8，1，1，2，3，4，5，构成无限循环群；若7=1，以1，1，2，3，4，5，6为周期，则称0=1，1，2，3，4，5，6为7阶有限循环群。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,32,域存在定理定理2.1若f(x)是有限域GF(q)上的m次既约多项式，则GF(q)域上次数小于m的多项式的全体，在模q加、模f(x)乘运算下构成一个qm阶有限域。称其为是GF(q)的扩展域（ExtensionField），记为GF(qm)。称GF(q)是GF(qm)的基域。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,33,例2-9二元域GF(2)上，模2加、模x2+x+1(m=2)乘运算下构成一个扩展域：GF(22)=0,1,x,x+1，基域：GF(2)=0,1,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,34,基域GF(q)是数域，有q个域元素；扩展域GF(qm)则是多项式域，有qm个域元素；m个基域的元素对应扩展域的一个元素：,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,35,循环群存在定理定理2.2若P(x)是GF(q)上m次本原多项式，则GF(qm)域上幂次小于m的非0多项式的全体（共有qm-1个），在模q加、模P(x)乘运算下形成一个多项式循环群。在扩展域GF(qm)里，至少存在一个本原元，其各次幂能构成扩展域GF(qm)的全部非0的域元素。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,36,总结GF(q)上多项式若为：（1）一般多项式f(x)，构成qm阶。（2）既约多项式Pl(x)，构成qm阶。（3）本原多项式P(x)，构成qm-1阶。对多项式的限制越多，扩展域具备的性质也就越多。如何找到构成循环群的生成元？,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,37,2.4循环群的生成元定理2.3GF(q)上的m次本原多项式P(x)的根，一定是扩展域GF(qm)上的本原元。证明：,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,38,构成循环群的步骤：找到GF(q)上的一个m次本原多项式；取其根，并计算的各次幂得到扩展域的所有非0元素，即循环群。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,39,2.5域元素的性质本原元，用表示，各次幂可以生成扩展域GF(qm)中全部qm-1个非0域元素；非本原元，用表示，只能生成部分域元素。下面的定理回答：什么样的域元素是本原？什么样的域元素是非本原？对于非本原的元素，它们的阶又是多少？,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,40,定理2.4扩展域GF(qm)上的非零元素k的阶一定是qm-1的因子，其值为：GCD表示最大公约数（GreatestCommonDivisor）。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,41,如果n=qm-1，本原元；如果nqm-1，非本原元，n一定是qm-1的一个因子，一定能够整除qm-1。推论2-4在循环群中，n阶域元素的n次幂恒等于1。证明：,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,42,例2-10P(x)=x4+x+1是GF(2)上的本原多项式，试用本原元的各次幂生成二元扩展域GF(24)的全部域元素，并计算域元素的阶。解：,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,43,用本原多项式P(x)=x4+x+1生成的循环群,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,44,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,45,结论：（1）本原元不是唯一的，共有8个本原元。（2）不是所有的元素都是本原元。（3）以7为例，可以生成15个域元素。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,46,2.6域元素、根、最小多项式的关系,定理2.5扩展域GF(qm)上的所有非零域元素0，1，2，qm-2都是GF(q)上多项式的根，即可完全分解为一次项的乘积。有，证明：,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,47,定理2.6扩展域GF(qm)上域元素和的ql次幂等于元素ql次幂的和，即有：i是域元素。,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,48,定理2.7如果是GF(q)上的p次多项式f(x)的根，那么的ql(li=1,2,lp)次幂也一定是f(x)的根。即：如果是f(x)的根，那么也一定是f(x)的根；p是多项式的次数，l是小于p的数。证明：,2020/5/17,天津大学电子信息工程学院,49,费尔马(Fermat)定理：由定理2-5，GF(qm)上的任意一个域元素一定是所以有，,2020/5/17,天津大学电子信息工程学