高中数学 1.2.2.1 等差数列的前n项和同步课件 北师大版必修5.ppt

,1.理解等差数列前n项和公式的推导方法，并会利用公式进行计算.（重点）2.能够利用等差数列前n项和公式解决实际问题.（难点）,一、等差数列的前n项和公式,等差数列前n项和公式的理解在等差数列的前n项和公式sn=中，共涉及5个量a1,d,n,an,sn.其中a1和d为基本量.通过这两个公式及an=a1+(n-1)d可解决“知三求二”问题，即知道其中的三个量可求另外的两个量.联立方程组并解方程组是等差数列的基本解题方法.当已知首项a1，末项an及项数n时，用公式sn=求前n项和，用此公式时，有时要结合等差数列的性质；当已知首项a1，公差d及项数n时，用sn=na1+求前n项和.,等差数列前n项和sn一定是关于n的二次函数吗?反之，关于n的二次函数一定是某一个等差数列的前n项和吗？提示：等差数列前n项和sn不一定是关于n的二次函数.由sn=na1+，其中a1,d为常数，当d0时，sn是项数n的二次函数，且不含常数项，即sn=an2+bn(a0)；当公差d=0时，sn=na1，不是项数n的二次函数.,反之，关于n的二次函数也不一定是某等差数列的前n项和.由sn=an2+bn+c,当c0时，sn一定不是某等差数列的前n项和；当c=0时，令=a,a1-=b,则一定能解出a1和d，因此这时一定是某等差数列的前n项和.,等差数列前n项和公式的直接应用等差数列前n项和公式的运算方法与技巧,求和公式sn=与等差数列性质“若m+n=p+q,(m、n、p、qn+），则am+an=ap+aq”经常联手，解题时要注意利用性质的转化，从而简化运算.,【例1】（1）已知等差数列an的前5项之和为25，第8项等于15，求第21项；（2）等差数列-16，-12，-8，前几项的和为72？【审题指导】解决第（1）问的关键是用通项公式和前n项和公式表示出已知条件，求得a1与d.然后求第21项.解决第（2）问的关键是求出d,利用sn=na1+来求和，最后确定n的值，要注意n的取值为正整数.,【规范解答】（1）设等差数列的首项为a1,公差为d.依题意，有解之得a1=1,d=2.所以a21=a1+20d=1+202=41.（2）因为a1=-16,d=4,所以sn=n（-16）+4=72,即n2-9n-36=0,解得n=12或n=-3(舍去）.故前12项的和为72.,【互动探究】若把第（1）问中的已知条件“第8项等于15”改为“前8项和为58”，则第21项为多少，前多少项和为123？【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d.依题意，有，解得,所以a21=a1+20d=2+20=32.令sn=na1+=2n+=123，即3n2+5n-492=0.解得n=12或n=(舍去），故前12项和为123.【误区警示】在求前n项和为具体数值的n时，需要注意对n的取舍.当n为两个正整数时，两值均满足.当n值存在非正整数时，应舍去非正整数.,等差数列前n项和性质的应用关于等差数列前n项和运算的几种思维方法（1）整体思路：利用公式sn=，设法求出整体a1+an，再代入求解.（2）待定系数法：利用sn是关于n的二次函数设sn=an2+bn，列方程组求出a,b即可，或者利用是关于n的一次函数，设=an+b进行求解.（3）利用sm,s2m-sm,s3m-s2m成等差数列进行求解.,【例2】等差数列an的前n项和为sn，若s12=84，s20=460，求s28.【审题指导】解答本题时，首先分析已知数据的特点以及与待求项的关系，找出解题的突破口，本题可以用公式法求解，也可以用函数与方程的思想，待定系数法等求解.,【规范解答】方法一：设an的公差为d,则sn=na1+由已知条件，得整理得解得所以sn=-15n+4=2n2-17n.所以s28=2282-1728=1092.,方法二：设数列的前n项和为sn，则sn=an2+bn.因为s12=84，s20=460，所以整理得解之得a=2,b=-17,所以sn=2n2-17n,s28=1092.方法三：因为an为等差数列，所以sn=na1+所以,所以是等差数列.,因为12，20，28成等差数列，所以成等差数列，所以2,解得s28=1092.方法四：由an为等差数列知为等差数列，设=an+b.由=7，=23，得解得故=2n-17,所以sn=2n2-17n，所以s28=1092.,【变式训练】sn是等差数列an的前n项和，且s10=100,s100=10,求s110.【解题提示】解决本题可使用通法即基本运算，也可使用“等差数列an中，sk,s2k-sk,s3k-s2k,成等差数列”这一性质解决.【解析】方法一：设等差数列an的首项为a1，公差为d，s10=100,s100=10,解得s110=110a1+=110=-110.方法二：s10,s20-s10,s30-s20,s100-s90，s110-s100成等差数列，设公差为d,该数列的前10项和为10100+=s100=10，解得d=-22,前11项和s110=11100+（-22）=-110.,等差数列前n项和公式的实际应用应用等差数列解决实际问题的一般思路,【例3】从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出20件，第二天售出35件，第三天售出50件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天售出的件数分别递减10件.（1）记从4月1日起该款服装日销售量为an,销售天数为n,1n30,求an与n的关系；（2）求4月份该款服装的总销售量；,（3）按规律，当该商场销售此服装超过1300件时，社会上就开始流行，当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于110件时，则此服装在社会上不再流行.试问：该款服装在社会上流行是否超过10天？说明理由.【审题指导】解答本题可先确定an与n的关系，然后用等差数列的前n项和公式求总销量，对于(3)先利用前n项和的相关知识求得该服装何时在社会上流行，又何时不再流行，进而加以判断.,【规范解答】(1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列an.由题意知，数列a1,a2,a12是首项为20，公差为15的等差数列，an=15n+5(1n12且nn+).而a13,a14,a15,a30是首项为a13=a12-10=175,公差为-10的等差数列，an=175+(n-13)(-10)=-10n+305(13n30且nn+).an=,（2）4月份该款服装的总销售量为=2850(件).（3）4月1日至4月12日的销售总量为=12301300,4月12日前该款服装在社会上还没有流行.,4月1日至4月13日的销售总量为1230+a3=1230+175=14051300,故4月13日该款服装在社会上已开始流行.由-10n+305第20天该款服装在社会上不再流行.该款服装在社会上流行没有超过10天.,【变式训练】从多个地方抽调了一批型号相同的联合收割机，收割一片小麦.若这些收割机同时到达，则24小时可收割完毕，但它们由于距离不同，是每隔一段相同的时间顺序投入工作的，如果第一台收割机总工作时间恰好是最后一台总工作时间的5倍，问以这种收割方式在这片麦地上收割机工作了多长时间？,【解析】设这n台收割机的总工作时间依次为a1,a2,an小时，依题意a1,a2,an组成一个等差数列，又因为每台收割机每小时的工作效率为，则有：由得=1,即a1+an=48.联立解得a1=40(小时）.答：用这种收割方式在这片麦地上收割机工作了40小时.,等差数列奇数项、偶数项和的问题s奇，s偶在等差数列中的整体应用设s奇，s偶分别是等差数列an中所有奇数项的和与偶数项的和.则（1）当数列项数为偶数2n时，有s偶-s奇=nd;(2)当数列项数为奇数2n+1时，有s偶=nan+1,s奇-s偶=an+1，,【例】项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数.【审题指导】已知等差数列的奇、偶数项的和，求特殊项与项数，可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系.,【规范解答】设等差数列an共有（2n+1)项，则奇数项有(n+1)个，偶数项有n个，中间项是第（n+1)项，即an+1.得n=3.又s奇=（n+1)an+1=44,an+1=11.故这个数列的中间项为11，项数共有2n+1=7项.,【变式备选】某等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227,求该数列的公差d.【解析】方法一：设等差数列的首项为a1，则解方程组得a1=2,d=5.即该数列的公差d等于5.,方法二：设该等差数列前12项中偶数项的和为s偶，奇数项的和为s奇.由题设，得，解得，又s偶-s奇=6d,d=5.在列出方程组后，也可以不解出s奇和s偶，而是利用比例性质求解.由,得.即，解得d=5.,【典例】（12分）（2011福建高考）已知在等差数列an中，a1=1，a3=-3.（1）求数列an的通项公式；（2）若数列an的前k项和sk=-35，求k的值.【审题指导】解决本题的关键是根据已知，设出公差d,列出方程进行求解，在解决第（2）问时，应注意k的取值只能是正整数.,【规范解答】（1）设等差数列an的公差为d，则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3，可得1+2d=-3.3分解得d=-2.4分从而，an=1+(n-1)(-2)=3-2n.6分（2）由（1）可知an=3-2n，所以sn=2n-n2.8分进而由sk=-35可得2k-k2=-35,10分即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5.11分又kn+,故k=7即为所求.12分,【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：,【即时训练】在等差数列an中，a4=10,a10=-2，若sn=60，则n的值为_.【解析】设an的首项为a1,公差为d,由题可得sn=n16+(-2)=60，整理可得n2-17n+60=0.n=5或12.答案：5或12,1.在等差数列an中，a510，s33，则()（a）a1-2，d3（b）a12，d-3（c）a1-3，d2（d）a13，d-2【解析】选a.由a510，s33得解得故选a.,2.等差数列an的前n项和为sn，若a2=1，a3=2，则s4=()(a)12(b)10(c)8(d)6【解析】选d.方法一：由a2=1，a3=2知d=a3-a2=1，a1=a2-d=0，s4=4a1+1=6；方法二：a1+a4=a2+a3=3，s4=6.故选d.,3设等差数列an的前n项和为sn,若s48，s820，则a13+a14+a15+a16=()(a)20(b)17(c)22(d)18【解析】选a.由于s4,s8-s4,s12-s8,s16-s12成等差数列，又因为s48，s8-s4=12,故s16-s12=20，所以a13+a14+a15+a16=20.,4.若等差数列an的前三项和s3为9，且a1=1，则a2=()(a)3(b)4(c)5(d)6【解析】选a.方法一：设等差数列an的公差是d，那么s3=3a1+=3+3d=9，解得d=2，所以a2=a1+d=1+2=3；方法二：因为等差数列的前三项和为a1+a2+a3=3a2=9，所以a2=3.,5在ax|x25k，kz且20k100中，所有元素的和是_【解析】由x2