电气测试技术第二章

第一篇工程测试技术基础,1.了解信号的分类及其定义2.掌握信号频域描述及其频谱分析3.了解傅里叶变换的概念和性质4.了解随机信号的分析方法,第2章信号分析基础,2.1信号的分类及描述,信号:定义为一个或多个独立变量的函数,该函数含有物理系统的信息或表示物理系统状态或行为。独立变量:时间、位移、速度、温度和压力等信号表示：数学解析式、图形信息:表示对一个物理系统状态或特性的描述。（抽象性）例如：“飞机飞行是否正常”（信息）,飞行状态参数、发动机工作状态参数（信号）,信号是物理量或函数（信号函数）信号中包含着信息，是信息的载体和具体表现形式信号信息，信息需转化为传输媒质能够接受的信号形式方能传输信号分析与处理,提取有用信息,信号与信息的关系,1、信号的分类深入了解信号的物理实质,按信号的性质确定性信号和随机信号按信号自变量的取值连续时间信号和离散时间信号从信号的能量能量信号和功率信号,信号通常是时间的函数，按其时间特性分类如下：,确定性信号与随机(非确定性)信号,可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。不能用数学关系式描述的信号称为随机信号，所描述物理现象是一种随机过程。,1）周期信号：按一定时间间隔重复出现的信号x(t)=x(t+nT),简单周期信号正弦或余弦信号,复杂周期信号,2）非周期信号：不会重复出现的信号,准周期信号:由多个周期信号合成，但各信号周期没有最小公倍数。如：x(t)=sin(t)+sin(2.t),瞬态信号:持续时间有限的信号，如x(t)=e-t.Asin(2ft),3)随机信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。,噪声信号(平稳),连续时间信号与离散时间信号,2）离散时间信号：在若干时间点上有定义,幅值可连续或离散（采样信号、数字信号）,1)连续时间信号:在所有时间点上有定义,幅值可连续或离散（模拟信号、量化信号）,能量信号与功率信号,信号x(t)加在单位电阻（R=1时）上的瞬时功率为P(t)=x2(t)/R=x2(t)。在区间（-，）内信号的能量为,若x(t)在区间(-,+)的能量无限，可在有限区间(-T/2,T/2)定义信号的平均功率为,1）能量信号：在区间（-，），能量为有限值的信号称为能量信号，即满足条件,例如：瞬态信号,此时P=0,2）功率信号：在区间（-，），功率为有限值的信号称为功率信号，即满足条件,例如：持续时间无限信号,此时E=,2、信号的描述了解信号的数据特征,信号的时域描述,以时间为独立变量，描述信号随时间的变化特征，反映信号幅值随时间变化的关系波形图：时间为横坐标的幅值变化图，可计算信号的均值、均方值、方差等统计参数。,优点：形象、直观缺点：不能明显揭示信号的内在结构（频率组成关系）,信号的频域描述,应用傅里叶变换，对信号进行变换（分解），以频率为独立变量，建立信号幅值、相位与频率的关系频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图幅值谱：幅值频率图功率谱：功率频率图相位谱：相位频率图,例如：振动信号波形和频谱,频域描述抽取信号内在的频率组成，信息丰富，应用广泛。,信号的幅值域描述,以信号幅值为自变量，反映信号中不同强度幅值的分布情况，常用于随机信号的统计分析。概率密度函数反映了信号落在不同幅值强度区域内的概率。,信号的时延域描述,描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度，是非平稳随机信号分析的有效工具。可以同时反映其时间和频率信息，常用于图像处理、语音处理、医学、故障诊断等信号分析中。典型的时延分析方法有：小波变换、短时傅立叶变换等。,信号的各种描述方法提供了从不同角度观察和分析信号的手段，可以通过一定的数学关系相互转换。,本章重点介绍信号的频域描述和频谱分析。,2.2周期信号与离散频谱,频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)。,1、周期信号的频谱分析,傅立叶级数周期信号分析的理论基础任何周期信号都可以利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号的线性叠加。,Dirichlet条件（在一个周期内满足）函数或者为连续的，或者具有有限个第一类间断点；函数的极值点有限；函数是绝对可积的；,工程测试技术中的周期信号，大都满足该条件。,傅里叶级数的三角函数表达形式：,式中:,T周期0基波角频率，0=2/Ta0常值（直流）分量an余弦分量的幅值bn正弦分量的幅值An各频率分量的幅值n各频率分量的初相位,周期信号可以用一个常值分量a0和无限多个谐波分量之和表示；A1cos(0t-1)为一次谐波分量（或称基波），基波的频率与信号的频率相同，高次谐波的频率为基频的整倍数。,傅立叶级数的三角函数表达式表明：,傅里叶级数的复指数函数表达形式：,欧拉公式,傅里叶级数的复指数函数表达形式：,Cn为复数傅立叶系数,傅立叶级数的复指数函数表达式表明：,周期信号x(t)可分解成无穷多个指数分量之和；而且傅立叶系数Cn完全由原信号x(t)确定，因此包含原信号x(t)的全部信息。Cn称为x(t)的复振幅，Cn是关于nw0t的复变函数。它的模和相角表示n次谐波的幅值和相位信息。,频谱图,以为横坐标，bn、an(或cn的实部和虚部)为纵坐标画图，称为实频虚频谱图；以为横坐标，An、(或|cn|、)为纵坐标画图，则称为幅值相位谱；以为横坐标，为纵坐标画图，则称为功率谱。,工程上习惯将频域描述用图形方式表示。,频谱图例,频域描述清楚地表明信号的频率成分构成及其幅值、相位信息在动态测试中非常重要。,2、周期信号的频谱分析实例,周期信号展开为傅立叶级数的关键就是确定各个系数，即a0，an，bn，要快速求解各系数，可利用函数的奇偶特性。,例如，当x(t)为奇函数时，a00，an0，此时,同理，当x(t)为偶函数时，bn0，于是,【例1】求如图示周期性方波的频谱，其在一个周期内可表达为,0tT/2t=0,T/2-T/2t0,解：由图可知，该信号为奇函数，因此a00，an0,n=2,4,6,n=1,3,5,周期性方波可写成,周期性方波的频谱图,【例2】求正弦、余弦信号的频谱图,几点结论：,复指数函数形式的频谱为双边谱（从-到+），三角函数形式的频谱为单边谱（从0到+）.,两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系：,双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数,周期信号频谱的特点,离散性：周期信号的频谱是离散谱；谐波性：每个谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数；收敛性：一般周期信号展开成傅立叶级数后，在频域上是无限的，但从总体上看，其谐波幅值随谐波次数的增高而减小。因此，在频谱分析中没有必要取次数过高的谐波分量。,周期方波的分解与合成,信号能量主要集中在低频分量，谐波次数过高的分量所占能量少，可忽略不计。那么取多少项合适呢？,信号频带宽度的概念,一个周期信号只能由包含有限项（有限个谐波分量）的傅立叶级数近似表示，因此有误差。,信号频带宽度与允许误差大小有关。通常将频谱中幅值下降到最大幅值的1/10时所对应的频率作为信号的频宽，称为1/10法则。,根据时域波形估计信号频宽：有突跳的信号，所取频带较宽，可取100为频宽。无突跳的信号变化较缓（越缓越接近简谐），所取频带较窄，可取30为频宽。（P33表2.2.1）,应充分估计信号频带宽度的大小重要！,3、周期信号的强度描述,周期信号的强度用其峰值、均值、有效值和平均功率表述。,峰值：即信号的最大瞬时值。均值：为信号的常值分量，表示信号的静态分量，反映信号在一个周期内的平均值。有效值：信号的均方根值，反映信号功率的大小（一般测量仪器的表头示值显示的就是信号的均方值）。平均功率：信号的均方值，表示信号能量的大小。,2.3非周期信号与连续频谱,离散频谱,频谱？,对于定义于区间（-，+）上的非周期信号，在满足狄里赫利条件下也能分解成许多谐波分量的叠加。,在周期信号x(t)的傅立叶级数中令周期T，则在整个时间内表示x(t)的傅立叶级数也能在整个时间内表示非周期信号。,非周期信号频谱可由周期信号频谱导出(周期T),周期信号的指数傅立叶级数可写为,当周期T时，,当以=2f代入上式，可减少1/2因子，使公式简化：,傅立叶变换对实现时域函数与频域函数的相互变换。FT，将时域内t的函数变换为频域内的函数；IFT，把频域内的函数变换为时域内t的函数。,周期信号与非周期信号频谱分析的比较,异同点：由于周期T，基频0d，它包含了从零到无穷大的所有频率分量（连续谱），各频率分量的幅值为X()d是无穷小量，所以非周期信号频谱不能再用幅值表示，而必须用频谱密度函数X()描述。,相同点：可以分解为许多不同频率的谐波分量之和。,频谱密度函数X()：表示角频率处单位频带宽度内频率分量的幅值与相位。,非周期信号频谱的特点：,非周期信号的频谱是连续的，它包含了从0的所有频率分量；其频谱用频谱密度函数描述。,傅立叶变换的主要性质,信号的时域描述和频域描述依靠傅立叶变换建立起彼此一一对应的关系。熟悉傅立叶变换的主要性质，有助于理解信号在某个域的特征、运算和变化将在另一域中产生何种相应的特征、运算和变化，并为复杂工程问题的分析和简化提供帮助。,下面简要介绍，参阅有关信号处理书籍。,1）线性叠加性,2）对称性,3）时移特性,4）频移特性,时域的时移对应频域的相移，,频谱形状不变，频率的搬移调幅,5）积分、微分特性,参数的关系频谱,6）时间尺度特性（比例特性）,信号的持续时间与频带宽度的关系,频带变窄幅值增大,频带变宽幅值减小,7）卷积特性,时域卷积特性,频域卷积特性,卷积定义：,数学运算重要！,卷积特性有着广泛的应用，特别对于分析和求解线性系统的响应具有重要意义。,线性系统的输出,IFT输出响应,卷积特性利用变换域的方法分析和求解系统响应简便。,8）帕什瓦尔定理能量守恒特性,若x(t)为能量信号，且其傅立叶变换为X()，则有如下关系：,若x(t)为功率信号(周期信号），则有：,时域内信号的总能量等于频域内各个频率分量能量的连续和。,周期信号的功率等于该信号在频域各分量功率之和。,功率谱只与功率信号频谱的模有关，而与相位无关，即幅值谱相同其功率谱相同。,典型非周期信号的频谱,1、单位冲击信号(函数)的频谱,1）函数定义（从矩形脉冲函数的极限定义）在时间内激发一个矩形脉冲S(t)，其面积（强度）为1。当0时，S(t)的极限就称为单位冲击函数。函数用标有1的箭头表示。,狄拉克（Dirac）给出单位冲击函数的定义式为,函数:是一个理想函数，是物理不可实现信号。,2）函数性质：,卷积特性,函数的抽样性质表明：任何连续时间函数f(t)与(t)或(tt0)相乘，并在（-,+）时间内积分，则积分值为f(t)在t=0点的函数值f(0)或着t=t0点的函数值f(t0)，这样就在t=0或t=t0时刻“抽样”（“筛选”）出了f(0)或f(t0)。即用一系列等幅的不同时刻出现的(t)函数去乘以连续信号，从而使连续信号离散化并实现采样。,抽样性（筛选性）,3）函数的频谱：,函数具有等强度、无限宽的频谱，称为“均匀谱”或“白色谱”。,4）利用函数求其它函数的频谱（P338附录2）,2、矩形脉冲信号的频谱,其频谱为,抽样函数,性质：偶函数闸门(或抽样)函数函数值确定,矩形脉冲信号的频谱分析：,1）脉冲宽度增大时，信号的能量将大部分集中低频区；时，脉冲信号变成直流信号，频谱函数只集中在0处,2）脉冲宽度减小时，频谱的高频成分增加(频带宽度增大)；0时，脉冲信号变成单位冲击信号，频谱函数扩展为均匀谱，频带宽度无限大,时域脉冲宽度与频域频带宽度的关系,一般而言，任何一个时域有限信号的频谱宽度是无限的。然而，信号的大部分能量实际上只集中在某个有限的频谱宽度内。所谓信号的有效带宽就是指包含信号大部分能量的这部分频谱的宽度。,对于一个矩形脉冲信号，其能量主要集中在频谱中零频率到第一个过零点之间，所含能量达到信号全部能量的90%以上，故可将其定义为矩形脉冲信号的有效带宽。,非周期信号的频带宽度：,频谱分析的应用,频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。,案例：在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。,案例：螺旋桨设计可以通过频谱分析确定螺旋桨的固有频率和临界转速，确定螺旋桨转速工作范围。,2.4随机信号,随机信号不能用数学关系式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。,工程上遇到的大都可以近似地当作各态历经随机过程来处理，以有限长度样本记录的分析来判断、估计被测对象的整个随机过程。,要完整地描述一个各态历经随机过程，理论上要有无限长时间记录，但实际上这是不可能的。通常用统计方法对以下三个方面进行数学描述：,1）幅值域描述:均值、均方值、方差、概率密度函数等。2）时域描述:自相关函数、互相关函数。3）频域描述:自功率谱密度函数、互功率谱密度函数。,1、信号的幅值域分析,均值、均方值、方差,1）均值Ex(t)表示集合平均值或数学期望值。,均值：反映了信号变化的中心趋势，也称为直流分量。,2）均方值Ex2(t)，表达了信号的强度；其正平方根值称为有效值(RMS)，是信号平均能量的一种表达。,3)方差表达了信号的波动情况：,概率密度函数,以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信号落在不同幅值强度区域内的概率情况。,p(x)的计算方法：,事件的概率,概率密度函数图形判别信号的性质,2、信号的时域分析相关分析,相关性是指信号的相似和关联程度，相关分析不仅可用于确定性信号，也可用于随机信号的检测、识别和提取等。例如，动态测试中，输入信号的有用分量往往受到噪声干扰，可通过相关运算检测出有用的信号，有效提高信噪比，因此在微弱信号检测、机械振动分析中广泛应用。相关分析常用相关函数（自相关函数和互相关函数）或相关系数来描述。相关函数功率谱（密度）是一对傅立叶变换。,对于变量x和y之间的相关程度常用相关系数rxy表示:,式中:sxy变量x、y的协方差;mx、my是变量x、y的均值;sx、sy变量x、y的标准差。,线性相关,线性无关,自相关函数：反映了信号在时移中的相关性。,自相关函数用Rx(t)表示，其定义为:,周期信号,非周期信号,自相关函数的性质：,1）自相关函数为实偶函数。即Rx(t)=Rx(-t)。2）t值不同，Rx(t)不同，当t=0时，Rx(t)的值最大，并等于信号的均方值yx23）Rx(t)值的限制范围为：,4)周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数。,自相关函数在0时有最大值，且在较大时仍具有明显的周期性，其频率与原周期信号相同。,自相关函数在0时也有最大值，但在稍大时迅速衰减至零。,识别信号中是否含有周期成分和它的频率大小,实际工程应用中，常采用自相关系数来度量在不同时刻信号之间的相关程度。,自相关函数与自相关系数的关系：,当0时，x(t)1，说明相关程度最大；当时，x(t)0，说明信号x(t)与x(t+)之间彼此无关。,互相关函数：反映了两个信号在时移中的相关性。,x(t),y(t),时移为t的两信号x(t)和y(t)的互相关系数为：,互相关函数的性质：,1）互相关函数是可正、可负的实函数。2）互相关函数非偶函数、亦非奇函数，而是镜像对称Rxy(t)=Ryx(-t),即x(t)与y(t)互换后，其互相关函数对称于纵轴。,3）Rxy()的峰值不在=0处，其峰值偏离原点的位置0反映了两信号时移的大小，相关程度。,4）频率相同的两个周期信号的互相关函数仍是周期信号，其周期与原信号相同。5）两个不同频率的周期信号，其互相关函数为零，即互不相关。,互相关函数的重要性质：频率相同的两个周期信号，互相关函数保留了原信号频率、幅值和相位差的信息。,相关分析的工程应用：,自相关分析：机械加工表面粗糙度,性质:提取出回转误差等周期性的故障源。,自相关分析：微弱信号的检测,被测信号,干扰信号,实测信号,自相关函数,最终得到包含被测信号的自相关函数Rx()，抑制了噪声的影响，提高了信噪比。,互相关分析：测量运动物体的速度,当可调延时t等于钢带上某点在两个测点之间经过所需的时间t时，互相关函数为最大值。所测钢