福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第十三次研讨会

,福建省高等代数与线性代数课程建设第十三次研讨会,矩阵多项式与可逆矩阵的确定,莆田学院数学系,杨忠鹏，陈梅香，林志兴，晏瑜敏，陈智雄，张金辉,王海明,戴培培,曾闽丽,2011.4.23宁德,矩阵多项式与可逆阵的确定,问题解决的一种可行的解决方法,问题的已有解法,问题的提出,1.问题的提出,是关于的次多项式，为阶方阵，称,为A的m次多项式。,设,（见1,P45,2,P7等）。,由于学时的限制，与数学专业的教学相关，矩阵多项式的,定义在矩阵运算之后就作为正式的教学内容，这是有意义的，,是值得借鉴的处理方式。关于矩阵多项式本身的训练和例题习题,在“线性代数”教材并不多见。因此多数情况下，这样很有价值,的教学内容在某种意义上讲只是走了过场，或者有些教师就不讲,这个内容。这固然是学时限制所致，但缺乏有启发性的相关题目,也是一个重要的原因。,问题1.1.3（见9,P52）设A满足,问题1.1.4（见9,P52）设A满足,问题1.1.5（见11,P98）设A为n阶矩阵，满足,问题1.1.6（见12,P42）,问题1.1.7（见13，P57）设为n阶矩阵,证明和不同时可逆。,证明和不同时可逆，并求出它们的逆矩阵。,问题1.1.10(见6,P88)设阶方阵满足,问题1.1.9(见6,P88)设阶方阵满足,（C）A必不可逆（D）A+E必不可逆,问题1.1.11（见9,P51）设A为n阶方阵，且,则,问题1.1.12曾作为2001年全国硕士生入学考试数学一的试题.,问题1.1.12设A满足,问题1.1.13设阶矩阵A满足矩阵方程,问题1.1.13曾作为1988年全国硕士生入学统一考试数学四的试题.,问题1.1.15（见3，例7，P42）若方阵A满足方程,问题1.1.17（见2，P56）设,证明,问题1.2.1（见7，例2.23）设n阶矩阵A0满足A3=0，证明E-A，A+E都可逆，并求逆。,问题1.2.2（见2，习题一（B），34）设方阵A满足A3-2A2+9A-E=0，问A,A-2E是否都是可逆矩阵?如果是，求其逆。,问题1.2.3（见21，P43,13（2），22,P49,18(2)）设A3=3A(A-E)，证明E-A都可逆，并求逆。,问题1.3.1曾是1990硕士生入学统一考试1990年数学三的试题（见15，P333），几乎所有的线性代数和高等代数教材都将问题1.3.1化为基本问题。,阶矩阵，若,（k为整数），证明,可逆，并写出,的表达式。,问题1.3.1（见4,习题1.4.9，5,P94，14,习题3,3-4，,21,P34,6,22,P39,6),问题1.4.1（见11，习题3.2.8，21,P50,3(2)）,设Jn为所有元素全为1的n（1)阶方阵，,2问题的已有解法,下面抄录的11对问题1.1.5的解答：,(1)由题设条件移项得，,等式左边提出公因子A得，,则A为可逆矩阵，且,(2).将作恒等变形,这样的解法，对问题1.1.1-1.1.13中矩阵等式的系数为常数,且有很好性质的情况下是可行的。当然像问题1.1.15-1.1.17,这样系数为字母的解决就得不那样容易了。,7给出了问题1.2.1的解法如下：,因为,且,后，问题就显得复杂了。,问题1.1.1-1.1.13都是由一个矩阵等式，来确定2或3个矩阵,性来说是相当有意义的。,的可逆性求相应矩阵。对给定的矩阵等式来说，能确定多少个,形如问题1.1.16和1.1.17描述的A-kE的可逆阵，这类问题就一般,已有文献都是将给定的矩阵等式，看成是矩阵的线性运算与,乘法运算的恒等变形，应用可逆矩阵的重要性质,来解答，基本上没有将教材上已经介绍的矩阵多项式与问题解决相,联系。,实际上第一节给出的问题中矩阵等式都是以矩阵多项式的形式,3.问题解决的一种可行方法,出现的。这样可以把问题看成是由给定矩阵A的化零多项式,来确定形如A-kE的可逆性及逆阵。,定理3.1,（3.1）,证明：由多项式的导数的性质及泰勒中值定理知,（3.2）,例3.2,定理3.3,这与A-kE可逆矛盾。,定理3.4题设同于定理3.1且设对的带余除法式,（3.3）,如果，则可逆且,这里多项式g(x)由（3.3）确定.,（3.4）,证明：由带余除法的性质知（3.3）中，且,是多项式，这样当时，,这说明可逆，结论成立。,除式为一次因式的带余除法，有更为简单“综合除法”,的形式。这样将矩阵多项式与化零矩阵等式相结合，可实,施以下的步骤：,对给定的化零矩阵等式，得相关的化零多项式；,由泰勒中值定理或综合除法给出的等价表示,（3.3）；,如果，则可逆，且逆阵可,由（3.1）或（3.4）确定。,例3.5问题1.1.5中矩阵的化零多项式为,（2）由（3.1）得,（1），由定理3.1知可逆。,例3.6问题1.2.1的化零多项式为，,从，和定理3.1知,都,可逆。,例3.7问题1.1.11中矩阵的化零多项式,知对任意实数，总有，因此从定理3.1知,是可逆的，从和（3.1）知,问题1.1.17也可用类似的方法解决，从A的化零多项式,知,由定理,知对任意正整数来说,可逆，且从,和(3.1),知,例3.8问题1.2.2的化零多项式,用,去除,得综合除法,因此,，由定理3.3知,，,是可逆的，且,例3.9设阶矩阵满足（k为正整数），则,的化零多项式为，,由定理3.1和,知,可逆，且从（3.1）和,知,的化零多项式。,，所以,为,从,和定理3.1知是可逆的，,由（3.1）得,这样,例3.11问题1.1.7：,为,实矩阵，且,证明：,是正交矩阵。,证明：,为实对称矩阵,的化零多项式，,从,和定理3.1知,可逆，且,对n阶矩阵A，若有常数a,b存在，使得,称A为由a,b所确定的二次矩阵（见17,18）,当,或,时，,即为通常的幂等矩阵或对合矩阵。,或,由幂等矩阵、对称矩阵的特殊结构，特别是应用的广泛，现行的线性代数，很多将这两类矩阵作为教学内容，并且有,定理3.5,（见1,P110,2,p109等）,当,时,（3.5）,当,（3.6）,时,定理3.6,设,为,阶矩阵满足,证明：由（3.5）和（3.6）得,如果，则,应用二次矩阵与其化零多项式的性质，很容易将幂等矩阵（算子）的性质推广到更一般的情况。,参考文献,1.同济大学应用数学系编.线性代数（第四版），高等教育出版社，北京，2004年4月.,2.陈建龙，周建华，韩瑞珠，周后行.线性代数，科学出版社，北京，2009年1月.,3.吴赣昌.线性代数（理工类），中国人民大学出版社，北京，2006年6月.,5.居于马，林翠琴.线性代数学习指南，清华大学出版社，北京2005年9月.,4.同济大学应用数学系编.线性代数.清华大学出版社，北京，2007年5月,6.居于马，林翠琴.线性代数简明教程，清华大学出版社，北京2006年7月.,7.邓辉文.线性代数线性代数简明教程，清华大学出版社，北京2008年7月.,9.俞正光，刘坤林，谭泽光，葛余博.线性代数通用辅导讲义,线性代数简明教程，清华大学出版社，北京2007年4月.,8.樊复生.线性代数典型题典,东北大学出版社.沈阳，2004年3月.,12陈怀琛，高淑萍，杨威.工程线性代数电子工业出版社，北京,2007年7月.,10.上海交通大学数学系.线性代数，科学出版社，北京，2007年.,11.陈维新.线性代数简明教程（第二版），清华大学出版社，北京,2006年1月.,13.曹重光，于宪君，张显.线性代数（经管类），科学出版社，北京，2009年,14.郝志峰，谢日瑞，方文波，汪日强.线性代数（修订版）高等教育出版社，北京,2010年1月.,15.黄光谷，胡启旭，向晓亚，石先军.考研数学题典,华中科技大学出版社,武汉,2003年5月.,16.陈文灯，黄先开.考研数学复习指南（理类）,世界图书出版公司，北京2008年2月.,17.M.Aleksiejczyk,A.Smoktunowicz.OnPropertiesofQuadraticMatrices.Math.Panno，2000，11：239-248.,19J.H.Wang,SumsandProductsofQuadraticMatrices.LinearAlgebraAppl.，1995，229：127-149.,18F.Bunger,F.Knuppel,K.Nielsen.TheProductofTwoQuadraticMatrice.LinearAlgebraAppl，2001，331：31-41.,20ZhongpengYang,XiaoxiaPeng,MeixiangChen,Chuny