创新设计高三数学一轮复习 第7知识块第3讲空间图形的基本关系与公理课件 北师大

【考纲下载】,1.理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.,第3讲空间图形的基本关系与公理,(1)公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(2)公理2：如果两个平面(不重合的两个平面)有，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线,两点,一个公共点,1平面的基本性质,(3)公理3：经过的三点，有且只有一个平面推论1：经过，有且只有一个平面推论2：经过，有且只有一个平面推论3：经过，有且只有一个平面,不在同一条直线上,一条直线和这条直线外一点,两条相交直线,两条平行直线,【思考】试试看，你能说出公理2的作用有哪些？答案：它的作用有五个：判定两个平面相交；证明点在直线上；证明三点共线；证明三线共点；画两个相交平面的交线,直线与直线的位置关系(1)(2)(3)异面定义：不同在一个平面内异面直线所成的角：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)范围：,平行,相交,任何,锐角或直角,2,提示：要弄清楚“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在两个平面内的两条直线”这两种说法的区别前者所指的两条直线是异面直线，后者所指的两条直线不一定是异面直线,3直线与平面的位置关系,平行,相交,在平面内,4平面与平面的位置关系,平行,相交,5平行公理：平行于的两条直线互相平行,同一条直线,若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成()A5部分B6部分C7部分D8部分,解析：如图所示，三个平面、两两相交，交线分别是a、b、c且abc.观察图形，可得、把空间分成7部分答案：C,1,已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线,解析：由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab，与已知a、b为异面直线相矛盾答案：C,2,给出下列命题：和某一直线都相交的两条直线在同一个平面内；三条两两相交的直线在同一个平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面其中正确命题的个数是()A0B1C2D3,3,解析：和某一直线都相交的两条直线可以异面；三条两两相交的直线若交于同一点，则可以异面；有三个不同公共点的两个平面可以是相交；两两平行的三条直线可能共面答案：A,下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_,4,解析：在选项中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面可证中四边形PQRS为梯形；中可证四边形PQRS为平行四边形；中如右图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形答案：,证明点共线时，一般都是将点看成是两个相交平面的公共点，根据公理2就可以证明了2证明线共点，基本方法是先确定两条直线的交点，再证交点在第三条直线上，也可将直线归结为两平面的交线，交点归结为两平面的公共点，由公理2证明点在直线上,如图，已知空间四边形(四个顶点不共面的四边形叫做空间四边形)ABCD，平面四边形EFGH的顶点分别在空间四边形的各边上，若EF与GH不平行求证：直线EF、GH、BD共点思维点拨：先确定EFGHP，再证PBD.,【例1】,设EFGHP连结BD，,由可知EF、GH、BD共点,证明：EF与GH相交,如图所示，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线证明：EAB，HAD，E平面ABD，H平面ABD.EH平面ABD.EHFGO，O平面ABD.同理可证O平面BCD，O平面ABD平面BCD，即OBD，所以B、D、O三点共线.,变式1：,证明点线共面的常用方法1纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内2辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合3反证法：可以假设这些点和直线不在同一个平面内，然后通过推理，找出矛盾，从而否定假设，肯定结论,E、F分别是长方体AC1的棱A1A、C1C上的点，并且A1ECF，求证：B、F、D1、E四点共面,【例2】,证明：如图所示，在棱B1B上取点G使BG=A1E.A1AB1B，A1EBG是平行四边形，A1GBE.,则A1GFD1是平行四边形A1GD1F.BED1F.BE和D1F确定一个平面，即B、F、D1、E四点共面.,判定空间两条直线是异面直线有两种方法：(1)定义法；(2)反证法,如右图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由,【例3】,思维点拨：(1)由于M、N分别是A1B1和B1C1中点，可证明MNAC，因此AM与CN不是异面直线(2)由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法,解：(1)不是异面直线理由：M、N分别是A1B1、B1C1的中点MNA1C1，又A1A綊D1D，而D1D綊C1C，A1A綊C1C，四边形A1ACC1为平行四边形A1C1AC，得到MNAC，A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B平面CC1D1，C平面CC1D1.BC平面CC1D1，B面CC1D1D，这与ABCDA1B1C1D1是正方体相矛盾假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.,【方法规律】,主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分点或直线确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知这些点在交线上，因此共线,1,判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线(2)反证法：证明两线平行、相交不可能或证明两线共面不可能，从而可得两线异面.,2,(12分)已知在空间四边形ABCD中，ABCD3，点E、F分别是边BC和AD上的点，并且BEECAFFD12，EF如图所示，求异面直线AB和CD所成角的大小,【阅卷实录】,【教师点评】,【规范解答】,在BCD中，EGDC2分同理在ABD中，GFAB4分EG和FG所成的锐角(或直角)就是异面直线AB和CD所成的角(EGF就是AB与CD所成的角或其补角)6分,解：在BD上取靠近B的三等分点G，连接FG、GE，1分,在BCD中，由GECD，CD=3，=，得EG=1.在ABD中，由FGAB，AB=3，=，得FG=2.在EFG中，EG=1，FG=2，E