学习二次函数的技巧和方法.doc

二次函数专项知识分析知识能力目标：1、 经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。2、 能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，提高有条理的思考和语言表达能力，能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。3、 会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。4、 能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。5、 理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。考点一 二次函数的图象和性质1、二次函数的定义和知识点：形如y=ax2+bx+c(a0，其中a、b、c是常数)的函数为二次函数。（1）、a决定抛物线的开口方向和形状大小，当a0时，开口向上，当a0时开口向下；a的值越大，开口就越小；当b=0时，抛物线的轴对称是Y轴；当c=0时，抛物线经过原点；当b和c同时为0时，其顶点就是原点。（2）、抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是，对称轴方程是直线x=，注意：对称轴是由a和b决定的，与c 无关，a和b同号时，对称轴在Y轴的左边，a和b异号时，对称轴在Y轴的右边，简称“同左异右”。（3）、抛物线y=ax2+bx+c（a0）与Y轴的交点坐标为（0，c）；求与X轴的两个交点坐标的方法是令y=0，然后解关于ax2+bx+c=0的方程，得出的x的解就是与x轴的交点的横坐标。这两个交点关于抛物线的对称轴对称。2、二次函数的图象和性质。二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象是一条抛物线，a决定抛物线的开口方向。当a0时，抛物线的开口向上，图象有最低点；函数有最小值；且x时，y随x的增大而增大；当x时， y随x的增大而减小；当a0时，抛物线的开口向下，图象有最高点，函数有最大值，且x时，y随x的增大而减小；当x时， y随x的增大而增大。注意：函数的最值就是顶点的纵坐标的值，即当x=时，y的最值为3、图象的平移：将二次函数y=ax2（a0）的图象进行平移，就是在顶点式y=a(x-h)2+k基础上进行的，平移后的图象与原图象的开口方向，形状大小相同，只是位置不同，所以a不变；平移的口诀是h是左加右减，K是上加下减。4、会求与二次函数（a0）关于X轴、关于Y轴或者关于顶点对称的新二次函数的解析式。（1）与二次函数（a0）关于X轴对称的新解析式为即a、c、b都变成相反数。（2）关于Y轴对称的新解析式为，即a和c不变，b变成相反数。即a和c不变，b变成相反数。（3）求关于顶点对称的新二次函数的解析式。应先化成顶点式y=a(x-h)2+k，再把a变成相反数即可，即y=a(x-h)2+k y = - a (x-h)2+k考点二、二次函数解析式的求法1、 二次函数的三种表示方法：（1） 表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系。（2） 图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势。（3） 解析式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系。2、 二次函数解析式的求法：（1） 若已知抛物线上三点坐标，则可采用一般式：（a0）；（2） 若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：，其中顶点为（h,k），对称轴为直线x=h；（3） 若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：，其中与x轴的交点坐标为,；同时，两交点在x轴上截得的线段考点三 根据二次函数图象求一元二次方程的近似解一元二次方程与二次函数的关系：1、 一元二次方程（a0）就是二次函数（a0）；当函数y的值为0时的情况。2、 二次函数（a0）的图象与x 轴的交点有三中情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；二次函数（a0）的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是y =0时自变量x的值，也就是一元二次方程（a0）的根。3、 当二次函数（a0）的图象与x 轴的交点有两个交点时，则一元二次方程（a0）有两个不相等的实数根；当二次函数（a0）的图象与x 轴的交点有一个交点时，则一元二次方程（a0）有两个相等的实数根；当二次函数（a0）的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程（a0）没有实数根；考点四：二次函数的应用1、 二次函数的图象、性质广泛应用于实际生活中，主要有最大利益的获取，最佳方案的设计、最大面积的计算等问题。2、 解决最值问题的基本思路：（1）认真审题，分清题中的已知和未知，找出数量间的关系；（2）确定自变量x及函数y；（3）根据题中实际数量的相等关系，建立函数关系模型；（4）分析图表信息、利用待定系数法、配方法等求出最值。考点五：二次函数与一次函数、反比例函数的综合运用，与各种几何图形的综合运用。例题讲解：1、 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系中，经过原点0的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正常情况下运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距离水面高度为5米以前必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。（1） 求这条抛物线的表达式。（2） 在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好姿势时距离池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？通过计算说明理由。 2、 某化工厂材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格30元/千克，物价部门规定其销售单价不得高于70元/千克，也不得低于30元/千克，市场调查发现，单价定为70元/千克时，日均销售60千克，单价降低1元，日均多销售2千克，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天的按一天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。（1）求y与x的函数表达式，并注明x的取值范围。（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标，并画出草图，观察图象，指出单价定为多少时，日获利最多，是多少？（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多，多多少？4已知，在RtOAB中，OAB900，BOA300，AB2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将RtOAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。（