信号与系统第五章1

第五章CTS的复频域分析 5 1引言 FT分析法的不足之处 1 一般只能处理符合狄利希莱条件的信号 e t t 0 不存在有FT 2 反FT积分的求解困难 3 只能确定零状态响应 共同点 线性系统具有迭加性与齐次性 主要区别 信号份解的基本单元不同 在 中是虚指数信号ej t或cos t 而在LT中是est或e tcos t 5 2拉普拉斯变换 LT 5 2 LT的定义 收敛因子e t 使得t 时 f t e t 0 t 时 f t e t 0 例 乘以收敛因子后 有 只要 则 t f t e t 0 其FT为 5 1a 5 1b 5 2 它是 j 的函数 可写成 F j 的付氏反变换 令s j 并称之为复频率 从而ds jd 当 时 s j 于是有 故 和 5 4 5 3 双边拉普拉斯变换式或广义付氏变换式 F s 拉普拉斯变换 象函数 f t 原函数 若t 0时 f t 0或只考虑信号在t 0的部分 有 5 6 5 5 单边拉普拉斯变换式 标记如下 F s f t f t 1 F s FT和LT的基本差别 5 2 2复频率和复平面 当s j 确定 est亦确定 反映est e tej t幅度变化的速率 反映ej t作周期变化的频率 讨论 1 在实轴上的点对应于一个随时间按指数规律作单调增长或衰减的指数函数 点的位置距虚轴愈远 对应的函数增长或衰减的速率愈大 坐标原点0则对应于不随时间变化的常数 2 在虚轴上一对互为共轭的点对应于等幅的正弦振荡 且共轭点离实轴愈远 相应的振荡频率亦愈高 3 即不在实轴又不在虚轴上的每一对互为共轭的点 都对应于一个幅度按指数规律变化的正弦振荡 结论 复平面s上的每一对共轭点或实轴上的每一点都分别唯一地对应一个确定的时间函数模式 5 3LT的收敛区 收敛区的定义 f t e t满足绝对可积的 指的范围称为收敛区 在收敛区内函数的LT存在 在收敛区外函数的LT不存在 5 3 1单边LT的收敛区 有始函数f t 乘以因子e t后 取t 的极限 若当 0时 该极限等于零 则f t e t在 0的全部范围内是收敛的 即 0 0为收敛条件 5 8 举例 指数阶函数 1 单个脉冲信号 推知 凡有始有终 能量有限的信号 其收敛坐标位于 整个S平面都属于收敛区 既有界的非周期信号的LT一定存在 2 单位阶跃信号 0 收敛区为S平面的右半平面 3 指数函数 a 收敛区为 a 5 3 2双边LT的收敛区 t x 双边LT的收敛区一般有两个边界 一个决定于t 0时的函数f1 t 是收敛区的左边界 以 表示 另一个决定于t 则上式中两个积分有公共收敛区 双边LT存在 如果 则无公共收敛区 双边LT不存在 例 设已知 求f t 的双边LT的收敛区 解 只求收敛域 故将S简写成 即可 1 故公共收敛区为0 1 5 4常用函数的LT 1 指数函数eat a为常数 a 单位阶跃函数 t b 正弦函数sin t d 衰减正弦函数e atsin t 5 12 f 双曲线正弦函数sh t 2 t的正幂函数tn n为正整数 对上式进行分部积分 令 u tn dv e stdt 则 依此类推 得 5 14 5 15 3 函数te at 一个函数f t 与指数函数e at乘积的LT 等于函数f t 的LT中以s a代替s所得的结果 由此及上例的结果 得 f t e at 1 s a 2 4 冲激函数A t 由 得 若A 1 即得 t 1 三个具有相同单边LT的函数 5 5拉氏反变换 1 部分分式展开法 设F s 为有理函数 它可由两个s的多项式之比来表示 即 式中ak bk为实数 m及n为正整数 如m n时 在将上式分解为部分分式前 应先化为真分式 例如 用长除法除 3s 3s3 3s2 3s 5s2 4s 1 5 5s2 5s 5 s 4 得 1 5 5 t 1 3s 3 t 5 18 1 m n D s 0的根无重根情况 因D s 是s的n次多项式故可分解因式如下 5 19 又因D s 0的根无重根 故s1 s2 sk sn 彼此都不相等 于是 5 20 式中K1 K2 Kk Kn为待定系数 上式两边乘以 s sk 再令s sk 则有 5 21a 由罗彼塔法则 可得另一求取Kk的公式 5 21b 由表5 1中的公式5 可得 5 22 因此可得 5 23a 5 23b 解 1 将F s 化为真分式 2 将分母进行因式分解 将F s 中的真分式写成部分分式 得 3 求系数 由式 5 21a 可得 或由式 5 21b 则有 于是 解 由D s s2 2s 5 0 得 确定K D s 2s 2 于是 t 0 或 由表5 1的公式12及13 可得 t 0 2 m n D s 0有重根 假设D s 0有p次重根s1 而其余的根sp 1 sp 2 sn均为单根 则 D s s s1 p s sp 1 s sn 5 24 因此 5 25a a 两边同乘以 s s1 p得 5 25b b 令s s1得 5 26a c 将 a 步骤所得的式两边对s求导 得 5 27 再令s s1 得 5 26b 将 a 步骤所得的式两边对s求导两次 再将s s1代入得 5 26c 依此类推 可得重根项的部分分式系数的一般公式如下 5 26d 由表5 1中公式7及5 求原函数 因为 所以 解 因D s 0由四个根 两个单根s1 0 s2 3及一个二重根s3 1 故 其待定系数为 解 D s 0有四个根 一个二重根s1 0 一对共轭根s2 j2 s3 j2 将F s 展开 令s2 w 得 则 于是 由表5 1中公式3及8 可得 2 围线积分法 留数法 利用留数定理求反变换 5 32 当F s 为有理函数时 其留数计算如下 1 若sk为F s est的一阶极点 则 5 33a 2 若sk为F s est的p阶极点 则 5 33b 解 令D s 0 求s1 0 s2 3及s3 1 3 f t 与F s 的对应关系 自学P278 281 5 6LT的基本性质 1 线性 设 f1 t F1 s f2 t F2 s 则 a1f1 t a2f2 t a1F1 s a2F2 s 式中a1和a2为任意常数 5 34 由线性可知 同理 2 尺度变换 设 f t F s 3 时间平移 设 f t F s 例题5 6求图5 8所示的锯齿波的LT 解 图5 8 由表5 1及时移性可得 若以T为周期的有始周期信号f t 的第一周期 第二周期 等的波形分别 用f1 t f2 t 等表示 则有 若 f1 t F1 s 则根据时移性可得 等比级数 例题5 7P285注意 P286 例已知 f t F s 求 f at b at b a 0 b 0 解 1 先由时移性得 f t b t b F s e bs 再由尺度变换得 2 先由尺度变换得 再由时移性得 5 时域微分 4 频率平移 设 f t F s 式中f 0 及f k 0 分别为t 0 时f t 及的值 证 当t f t e st 0 而当t 0 时 f t e st f 0 故 同理可得 若函数为有始函数 即t 0时f t 0 则f 0 f 0 f n 1 0 均为零 于是 t s t 0 s 0 s 依此类推 t s2 t s3 n t sn 6 时域积分 设 f t F s 证 若函数的积分是由 开始 则 例 试通过 t 的积分求t t 和tn t 的LT 解 t 1 s而t t 7 复频域微分与积分 设 f t F s 8 对参变量微分与积分 设 f t a F s a 式中a为参变量 则 9 初值定理 设函数f t 及其导数f t 存在 并有LT 则f t 的初值为 5 49a 证 由时域微分性质有 故 5 50 令s 则得 若f t t fa t 则F s 1 Fa s 显然此时 因为f 0 0 fa 0 fa 0 所以当f t 中包含有冲激时 可先把 t 移去后 再应用初值定理 即 同理 若f t 在t 0处有冲激及其导数 设其形式为 则 f t a0 a1s apsp Fp s 此时初值定理应表示为 5 49b 例 利用初值定理求 t 的初值 解 解 10 终值定理 设f t 及f t 存在 并有LT 且F s 的所有极点都位于s左半平面内 包括在原点处的单极点 则f t 的终值为 5 51 证 在式 5 50 中令s 0 则有 例 在如图所示电路中输入一单位阶跃电压 t 求uR t 的初值uR 0 和终值uR 设uc 0 解 由KVL列方程 u t uc t uR t uc t i t R 即 解之 又 由初值定理 而由终值定理 初值定理和终值定理的物理意义 s 0 j 0 相当于直流状态 因而得到电路稳态的终值f 而s j 相当于接入信号的突变 高频分量 它可以给出相应的初值f 0 11 卷积定理 1 时域卷积定理 设 f1 t F1 s f2 t F2 s 则 f1 t f2 t F1 s F2 s 或 1 F1 s F2 s f1 t f2 t 自学P293 2 复频域卷积定理 设 f1 t F1 s f2 t F