概率论与数理统计知识点及练习题

第一章 概率论的基本概念1.2 概率的定义一、 概率的性质（1）.（2） ， .（3）.（4）.（5）.特别地，若 ， ，.例 设为随机事件, ， 则解： 1.4 条件概率一、 条件概率定义 设是两个事件，且，称=为在事件发生的条件下事件发生的条件概率。二、全概率公式全概率公式：为样本空间的一个事件组，且满足：（1）互不相容，且;(2) .则对中的任意一个事件都有A1A2AnB例 设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率？解 以、表示诸事件“取得的这箱产品分别是甲、乙、丙厂生产”；以表示事件“取得的产品为正品”，于是： 按全概率公式 ，有： 三、 贝叶斯公式设是样本空间的一个事件，为的一个事件组，且满足：（1）互不相容，且;(2) .则这个公式称为贝叶斯公式。例：有甲乙两个袋子，甲袋中有4个白球，5个红球，乙袋中有4个白球，4个红球今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，(1)问此球是红球的概率？(2)若已知取得的是红球，则从甲袋放入乙袋的是红球的概率是多少 ？解：设A1表示从甲袋放入乙袋的一球是红球，则A1表示从甲袋放入乙袋的一球是白球，设A2：表示从乙袋取的一球是红球，则.1.5 事件的独立性一、 事件的独立性定义. 若两事件，满足,则称，相互独立。第二章 随机变量及其分布2.1 一维随机变量一、 随机变量与分布函数定义 设为一随机试验,为的样本空间,若,为单值实函数，则称为随机变量。SeXXR X xxo定义 设为一个随机变量，为任意实数，称函数 为的分布函数。 分布函数的性质（1） .（2） 是自变量的非降函数，即当时，必有.因为当时有，从而.（3） 对自变量右连续，即对任意实数，2.2 一维离散型随机变量一、离散型随机变量定义 离散型随机变量只可能取有限个或可列个值，设可能取的值为.定义 设离散型随机变量可能取的值为，且取这些值的概率为： (则称上述一系列等式为随机变量的分布律。由概率的定义知，离散型随机变量的概率分布具有以下两个性质：（1） （非负性）（2） （归一性）二、 几种常用的离散型分布1. 01分布如果随机变量只可能取0和1两个值，且它的分布列为，则称服从01分布。其分布律为：1 0 1-2.二项分布如果随机变量只可能取的值为0,1,2,n，它的分布律为 ,(其中，则称服从参数为的二项分布，记为3.泊松分布如果随机变量所有可能取的值为0,1,2,它取各个值的概率为，其中是常数，则称服从参数为的泊松分布，记为.例：设，则例： 设随机变量，则 .2.3 连续型随机变量的概率密度一、 概率密度的概念定义 设随机变量的的分布函数为，如果存在一个非负可积函数，使得对于任意实数，有：则称为连续型随机变量，而称为的概率密度。由概率密度的定义及概率的性质可知概率密度必须满足：（1） 0 ；（2） ； （3） 对于任意实数，且有；（4）若在点处连续，则有.例 设随机变量X具有概率密度（1）试确定常数； （2）求； （3）求.解（1）由，即=得.于是的概率密度；（2） =;（3）由定义= 。当时，=0；当时，= =所以.二、几个常用的连续型随机变量的分布1. 均匀分布如果随机变量的概率密度为 则称服从上的均匀分布，记为。2. 指数分布如果随机变量的概率密度为 则称服从参数为的指数分布。3. 正态分布如果随机变量的概率密度为；其中为常数，则称服从参数为的正态分布，记为. 特别的，当时，称服从标准正态分布，即，概率密度为 标准正态分布的分布函数为 对于标准正态分布的分布函数，有下列等式 定理 如果则推论 如，则例 设，求；解 =.例 设随机变量，则 .2.4 随机变量函数的分布一、 离散型随机变量的函数的分布例 设的分布律为X0.10.20.30.4求的分布律。解 因为的可能取值为，而且，因而, 的分布律为Y0.10.20.30.4二、 连续型随机变量的函数的分布设是连续型随机变量，已知为其概率密度，那么应当如何确定随机变量的概率密度呢？例 设连续型随机变量具有概率密度，求随机变量（其中为常数且）的概率密度.解 设的分布函数为，当，则上式两边对求导数得当，则上式两边对求导数得于是第3章 二维随机变量及其分布 3.1二维随机变量及分布函数定义 设为随机试验的样本空间，,是定义在上的随机变量，则称有序数组为二维随机变量或称为二维随机向量。定义 设是二维随机变量，对于任意实数，称二元函数为二维随机变量的分布函数，或称为的联合分布函数。二维随机变量的分布函数的性质 （1） ；（2） 是变量的不减函数，即：对于任意固定的，当时有 ；对于任意固定的，当时有 .（3） 对于任意固定的，；对于任意固定的，,并且 ，.二维离散型随机变量定义 如果二维随机变量可能取的值只有有限个或可列个，则称为二维离散型随机变量。定义 设二维随机变量所有可能取的值为，则称为的联合分布律。二维离散型随机变量的联合分布有时也用如下的概率分布表来表示： . . . . . . . . . . . . . . . . . 显然，具有以下性质：（1） 1,2,）; （2） ;二维连续型随机变量定义 设是二维随机变量，如果存在一个非负函数，使得对于任意实数，都有则称是二维连续型随机变量，函数称为二维连续型随机变量的概率密度。二维分布密度具有以下性质：（1） ； （2） ；（3） ，其中D为XOY平面上的任意一个区域；（4） 如果二维连续型随机变量的密度连续，的分布函数为，则用性质的题在后面3.2 边缘分布与随机变量的独立性一、 边缘分布称分量的概率分布为关于的边缘分布；分量的概率分布为关于的边缘分布。它们的分布函数与密度函数分别记作与。先看离散情况： 若已知，则随机变量的分布律为：同样得到关于的分布律：，.记,所以关于的边缘分布律为： . . . .关于的边缘分布列为： . . . .下面看连续型的情形：定理 设是的联合概率密度，则分别是关于的边缘概率密度函数。1X离散型随机变量的边缘分布律列表Y3.4随机变量的独立性定义 设是二维随机变量，如果对于任意有，则称随机变量与是相互独立的。即用该式可用来判断的相互独立性。定理 设是二维离散型随机变量， ，依次是，的概率分布，则相互独立的充要条件是：对所有的，都有 .定理 设是二维连续型随机变量，分别是联合密度函数与边缘密度函数，则相互独立的充要条件是：对任意的实数，都有 。 YX 0 1 2 301 02 0 03 0 0 0例 设(X,Y)的联合分布律为 试求关于和关于的边缘分布，并判断是否相互独立？解 由表中可按行加得，按列加得得关于X的边缘分布及关于Y的边缘分布由于，而，所以互不独立。例 设二维随机变量具有密度函数试求:（1）常数；（2）落在如图24 所示的三角区域内的概率；（3）关于和关于的边缘分布,并判断是否相互独立。 图2-4解（1）=所以;（2）;（3）关于的边缘概率密度函数为当时，=0.当时， 故有=；同理可求得关于的边缘概率密度函数为= .因为对任意的实数，都有 ，所以相互独立。第4章 随机变量的数字特征4.1 数学期望一、 离散型随机变量的数学期望定义 设离散型随机变量的分布律为 则称其为随机变量的数学期望，记为二、 连续型随机变量的数学期望定义 设连续型随机变量的分布密度函数为，若积分绝对收敛，则称其为的数学期望或均值记为，例 设随机变量服从上的均匀分布，求解 由于均匀分布的密度函数为因而 记住：0-1分布，二项分布，泊松分布的数学期望 均匀分布，指数分布，正态分布的数学期望。三、 随机变量的函数的数学期望定理 设为随机变量的函数：(g是连续函数)，（1）是离散型随机变量，分布律为；若级数绝对收敛，则有 （2）是连续型随机变量，它的分布密度为，若积分绝对收敛，则有 定理 设是随机变量的连续函数，（1）是二维离散型随机变量，联合分布律为；则有 （2）是二维连续型随机变量，联合分布密度为，则有 例 设的概率密度函数为求解 ，四、 数学期望的性质1 设是常数，则有2 设是随机变量，设是常数，则有3 设，是随机变量，则有 4 设，是相互独立的随机变量，则有 4.2 方 差一、 方差的概念定义 设是随机变量，存在，就称其为的方差，记为即=，称为标准差二、 方差的计算1 = 例 设随机变量服从上的均匀分布，求解 由于均匀分布的密度函数为，故三、 方差的性质1、设是常数，则有；2、设，是相互独立的随机变量，则有；3、设是相互独立的随机变量，则4.3 协方差及相关系数、矩一、 协方差及相关系数的定义定义 设有二维随机变量，如果存在，则称为随机变量与的协方差记为，即称为随机变量与的相关系数若，称与不相关二、 协方差与相关系数的性质 1 协方差的性质(1) ；(2) -计算公式(3) ；(4) ；(5) ；(6) 若与相互独立，则，即与不相关反之，若与不相关，与不一定相互独立2 相关系数的性质(1) ；(2) 若与相互独立，则；(3) 当与有线性关系时，即当（为常数，）时，且 ；(4) 的充要条件是，存在常数使数理统计的基本概念6.1 样本和总体一、 样本 设为总体的样本，则下列各量均是统计量，它们今后要经常被用到。（）,称为样本均值。（ii）,称为样本方差。（iii）,称为样本标准差。（iv）,称为样本阶原点矩。为了研究统计量的分布，我们先研究三种重要概率分布。二、分布定义 设为相互独立的随机变量，它们都服从标准正态分布，则称随机变量服从自由度为的分布，记作分布有下列基本性质。定理 设,则，。三、 分布和分布定义 设，与独立，则称随机变量服从自由度为的分布,记成定义 设，与独立，则称随机变量服从自由度为（,）的分布，记成五、 正态总体的抽样分布Theorem 设总体，为总体的样本，则(i) 样本均值，(ii)(iii) 。第七章 参数估计7.1 点估计2、 极大似然估计 第一步，写出似然函数a）对于离散型总体，设它的分布律为未知，其中为样本值，称为似然函数。b） 当总体是连续型随机变量时，若的概率密度为，未知，则似然函数为第二步 求是参空间）,使得达到最大，此即为所求的参数的极大似然估计。 为了计算方便，我们常对似然函数取对数，并称为对数似然函数。易知，与在同一处达到极大，因此，这样做不会改变极大点。c）对对数似然函数关于求导，再令之为0，即得的最大似然估计值。例：已知总体服从指数分布，概率密度为 ()是来自总体的一个样本，为相应的样本观察值，求参数的极大似然估量.解 似然函数为：令，得的极大似然估计值为极大似然估计量为7.3 区间估计区间估计粗略地说是用两个统计量，（）所决定的区间，作为参数取值范围的估计。定义 对于参数，如果有两个统计量,，满足对给定的，有则称区间，是的一个区间估计或置信区间，分别称作置信下限,置信上限，称为置信水平。二、 单个正态总体参数的区间估计设为的样本，对给定的置信水平，我们来分别研究参数与的区间估计。例 在上述前提下，求的置信水平为的区间估计。解 下面分两种情况） 已知，选取的统计量为，由有所求的区间是 ）未知，选取的统计量为，由有 所求区间为 例 在上述前提下求的置信水平为1-的区间估计。选用统计量，由有得到方差的一个置信度为的置信区间:第八章 假设检验7.1 假设检验思想概述例 一台包装机装洗衣粉，额定标准重量为500，根据以往经验，包装机的实际装袋重量服从正态，其中=15，为检验包装机工作是否正常，随机抽取9袋，称得洗衣粉净重数据如下（单位：）497 506 518 524 488 517 510 515 516若取显著性水平=0.05，问这包装机工作是否正常？首先，我们根据以往的经验认为，在没有特殊情况下，包装机工作应该是正常的，由此提出原假设和备选假设：=500； ：500然后对给定的显著性水平=0.05，构造统计量，来进行检验。一般地，可表述如下：设，已知，为的一子样，求对问题：=； ：的显著水平为的检验。这个问题就归结为，总体服从，已知，需检验，由前所述，用z检验法。用如下步骤来解这个问题。解 10 提出假设：=， ：20 构造统计量。用统计量30拒绝域称具有这种形式的否定域的检验为双边假设检验。40 给定显著性水平，在例中，50 从z的值判断小概率事件是否发生，并由此得出接受或拒绝的结论。因为在20中算出的z值，其绝对值小于1.96，样本点在否定域之外，即小概率事件未发生，故接受，亦即认为包装机工作正常。二、 检验检验用于当方差未知时对期望的检验例 某部门对当前市场的价格情况进行调查。以鸡蛋为例，所抽查的全省20个集市上，售价分别为（单位：元/500克）3.05 3.31 3.34 3.82 3.30 3.16 3.84 3.10 3.90 3.18 3.88 3.22 3.28 3.34 3.62 3.28 3.30 3.22 3.54 3.30已知往年的平均售价一直稳定在3.25元/500克左右，能否认