2021版高考数学一轮复习第六章数列第2讲等差数列及其前n项和教学案理北师大版.docx

第2讲等差数列及其前n项和一、知识梳理1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，称这个常数为等差数列的公差，常用字母d表示 (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d(2)前n项和公式：Snna1d3等差数列的性质已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN+)(2)若klmn(k，l，m，nN+)，则akalaman(3)若an的公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d(4)若bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列常用结论1等差数列的函数性质(1)通项公式：当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d0，则为递增数列，若公差d0时，数列an为递增数列；当d0时，数列an为递减数列；当d0时，数列an为常数列2记住两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质若项数为2n，则S偶S奇nd，；若项数为2n1，则S偶(n1)an，S奇nan，S奇S偶an，.(2)两个等差数列an，bn的前n项和Sn，Tn之间的关系为.二、教材衍化1已知等差数列8，3，2，7，则该数列的第100项为_解析：依题意得，该数列的首项为8，公差为5，所以a1008995487.答案：4872在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_解析：由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，所以a590，所以a2a82a5180.答案：1803已知等差数列5，4，3，则前n项和Sn_解析：由题知公差d，所以Snna1d(75n5n2)答案：(75n5n2)4设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8_解析：由已知可得解得所以S88a1d32.答案：32一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN+，都有2an1anan2.()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()答案：(1)(2)(3)(4)二、易错纠偏(1)忽视等差数列中项为0的情况；(2)考虑不全而忽视相邻项的符号；(3)等差数列各项的符号判断不正确1已知等差数列an中，|a3|a9|，公差d0，则使数列an的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是_解析：由|a3|a9|，d0，a60，a70.所以当n5或6时，Sn取最大值答案：5或62首项为30的等差数列an，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是_解析：由题意知a130，a80，a70.即解得5d5时，an0，所以|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.答案：130等差数列基本量的计算(师生共研) (1)(一题多解)已知等差数列an中，a1a4，a3a6，则公差d()A.BCD(2)记Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2S4，a12，则a5()A12 B10 C10 D12(3)(2019高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，若a10，a23a1，则_【解析】(1)通解：由得解得故选D.优解：由等差数列的性质知，a3a6(a12d)(a42d)(a1a4)4d，又a1a4，所以d.故选D.(2)设等差数列an的公差为d，因为3S3S2S4，所以3(3a1d)2a1d4a1d，解得da1，因为a12，所以d3，所以a5a14d24(3)10.故选B.(3)设等差数列an的公差为d，由a23a1，即a1d3a1，得d2a1，所以4.【答案】(1)D(2)B(3)4等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题 1在公差不为0的等差数列an中，4a3a113a510，则a4()A1 B0 C1 D2解析：选C.法一：设an的公差为d(d0)，由4a3a113a510，得4(a12d)(a110d)3(a14d)10，即2a16d10，即a13d5，故a45，所以a41，故选C.法二：设an的公差为d(d0)，因为anam(nm)d，所以由4a3a113a510，得4(a4d)(a47d)3(a4d)10，整理得a45，所以a41，故选C.法三：由等差数列的性质，得2a73a33a510，得4a5a33a510，即a5a310，则2a410，即a45，所以a41，故选C.2设数列an是等差数列，且a26，a66，Sn是数列an的前n项和，则()AS4S1 DS4S1解析：选B.设an的公差为d，由a26，a66，得解得于是S19，S33(9)318，S44(9)318，所以S4S3，S40，a80，当n14时，an0，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm. 1设等差数列an的前n项和为Sn，a10且，则当Sn取最大值时，n的值为()A9 B10C11 D12解析：选B.由，得S11S9，即a10a110，根据首项a10可推知这个数列递减，从而a100，a110，S160，S168(a8a9)0，a90，则da9a80，所以在数列an中，当n0，当n9时，an0.设an的前n项和为Sn，a11，S2S336.(1)求d及Sn；(2)求m，k(m，kN+)的值，使得amam1am2amk65.解：(1)由题意知(2a1d)(3a13d)36，将a11代入上式解得d2或d5.因为d0，所以d2.从而an2n1，Snn2(nN+)(2)由(1)得amam1am2amk(2mk1)(k1)，所以(2mk1)(k1)65.由m，kN*知2mk1k11，故解得即所求m的值为5，k的值为4.综合题组练1等差数列an中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为()A1 BC. D解析：选B.，若a1d，则；若a10，d0，则1.因为a1d0，所以0，所以该常数的可能值的集合为.2(2020晋冀鲁豫名校期末联考)我国南北朝时期的著作张邱建算经有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两人所得金相差数额绝对值的最小值是()A.斤 B斤C.斤 D斤解析：选C.设第n个人得金an斤，由题意可知an是等差数列，设公差为d，则有解得则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤故选C.3若数列an是正项数列，且n2n，则a1_解析：当n1时，2a14，又n2n，所以当n2时，(n1)2(n1)n2n，得2n，即an4n2，所以4n，所以a12n22n.答案：2n22n4若an是等差数列，首项a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170成立的最大正整数n_解析：因为a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170，所以d0，a2 0170，S4 0334 033a2 0170成立的最大正整数n是4 032.答案：4 0325(2020湖北仙桃、天门、潜江模拟)已知数列an满足a12，(n2)an(n1)an12(n23n2)，设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等差数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解：(1)因为数列an满足(n2)an(n1)an12(n23n2)，所以将n1代入得3a12a212.又a12，所以a29.将n2代入得4a23a324，所以a320.从而b11，b23，b35.(2)数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列理由如下：将(n2)an(n1)an12(n23n2)两边同时除以(n1)(n2)可得，化简可得2，即bn1bn2，所以数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列(3)由(2)可得bn12(n1)2n1，所以an(n1)bn(n1)(2n1)2n2n1.6(2020安徽蚌阜模拟)在数列an，bn中，设Sn是数列an的前n项和，已知a11，an1an2，3b15b2(2n1)bn2nan1，nN*.(1)求an和Sn；(2)当nk时，bn8Sn恒成立，求整数k的最小值解：(1)因为an1an2，所以an1an2，所以an是等差数