高中数学第二章统计2.3.1变量之间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关课件

2 3变量间的相关关系2 3 1变量之间的相关关系2 3 2两个变量的线性相关 自主预习 主题1 变量间的相关关系1 某同学物理成绩的好坏与他对物理的学习兴趣 学习时间以及数学成绩有关吗 提示 物理成绩确实与三者有着一定的关系 2 对于问题1中的关系中 能用他的数学成绩确定他的物理成绩吗 是一个确定的函数关系吗 提示 不能 它们不是一个确定的函数关系 结合以上探究过程 试着写出两个变量的相关关系的定义 相关关系 如果两个变量中一个变量的取值一定时 另一个变量的取值带有一定的 那么这两个变量之间的关系 叫做相关关系 随机性 主题2 散点图与线性相关观察图形 回答问题 1 年龄和人体脂肪含量的样本数据中点的分布有什么特点 提示 它们散布在从左下角到右上角的区域 2 当年龄增长时 脂肪含量的变化是什么 提示 脂肪含量随着年龄的增长而增高 通过以上探究 阐述你对线性相关的理解用文字语言描述 若散点大致分布在一条直线附近 则两变量间呈现线性相关 散点图及两个变量正相关与负相关的定义 1 散点图 将样本中n个数据点 xi yi i 1 2 n 描在平面直角坐标系中得到的图形 2 正相关 点散布的方向 从 到 3 负相关 点散布的方向 从 到 左下角 右上角 左上角 右下角 主题3 回归直线方程1 样本点落在怎样的区域内 说明变量之间具有线性相关关系 提示 如果所有的样本点都落在某一直线附近 变量之间就有线性相关关系 2 回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系 提示 从整体上看 各点与此直线的距离最小 3 教材中通过计算哪个解析式的最小值而得到回归直线方程的 提示 其解析式为Q y1 bx1 a 2 y2 bx2 a 2 yn bxn a 2 总结以上探究 试着写出最小二乘法 回归直线方程的有关概念最小二乘法 求回归直线使得样本数据的点到回归直线的 的方法叫做最小二乘法 距离的平方和最小 回归方程 方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 的回归方程 是待定参数 其中是回归方程的 是 斜率 截距 深度思考 结合教材P90例题你认为应怎样求回归直线方程 第一步 作出散点图 判断两变量是否具有线性相关关 系 若具有 求其回归直线方程 第二步 第三步 第四步 列表求出 的值 利用公式计算回归系数 写出回归直线方程 预习小测 1 下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是 A 瑞雪兆丰年B 上梁不正下梁歪C 吸烟有害健康D 喜鹊叫喜 乌鸦叫丧 解析 选D 选项A B C中描述的变量间都具有相关关系 而选项D是迷信说法 没有科学依据 2 对于回归分析 下列说法错误的是 A 变量间的关系若是非确定性关系 那么因变量不能由自变量唯一确定B 线性相关系数 可以是正的 也可以是负的C 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法D 任何一组数据都可以得到一个回归直线方程 解析 选D 易知A对 B中 相关系数的正负体现两变量之间是正相关还是负相关 故B对 两变量具有线性相关关系时 才进行回归分析 若不具有线性相关关系求得的方程无意义 故D错 C对 3 一位母亲记录了儿子3 9岁的身高 由身高的数据建立的身高与年龄的回归模型为 7 19x 73 93 若用这个模型预测这个孩子10岁时的身高 则正确的叙述是 A 身高一定是145 83cmB 身高在145 83cm以上C 身高在145 83cm左右D 身高在145 83cm以下 解析 选C 用回归模型 7 19x 73 93 只能预测 其结果不一定是确实发生的值 故将x 10 代入 7 19x 73 93 145 83cm 即身高在145 83cm左右 4 观察下列散点图 正相关 负相关 不相关 与下列图形相对应的是 A B C D 解析 选D 第一个图由左向右随x的增大 y也增大 是正相关 第二个图分布比较分散 x与y不相关 第三个图随x的增大 y反而减小 是负相关 故与图形对应的顺序是 补偿训练 1 在下列各图中 每个图的两个变量具有相关关系的图是 解析 图 1 是函数关系 图 2 和图 3 是相关关系 图 4 没有相关关系 答案 2 3 2 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价 将该产品按事先拟定的价格进行试销 得到如下数据 求回归方程 其中 20 仿照教材P90例题的解析过程 解析 由于 8 5 80 所以 80 20 8 5 250 从而回归方程为 20 x 250 互动探究 1 函数关系是相关关系吗 提示 不是 函数关系是一种确定的关系 它不是相关关系 2 函数关系可看为是一种因果关系 相关关系是什么关系 提示 相关关系不一定是因果关系 也可能是伴随关系 3 画散点图时 坐标系中的横 纵坐标的长度单位必须相同吗 提示 可以不同 应考虑两种的数据分布特征 确定其单位长度 4 成正相关和负相关的两个相关变量的散点图分别有什么特点 提示 正相关的散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域 负相关的散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域 5 如何利用散点图判断两个变量之间是否具备相关关系 提示 如果散点图中变量的对应点分布在某条直线周围 我们就可以得出这两个变量具有相关关系 如果变量的对应点分布没有规律 我们就说这两个变量不具有相关关系 6 对一组具有线性相关关系的样本数据 你认为其回归直线是一条还是几条 提示 对一组具有线性相关关系的样本数据 如果能够求出它的回归直线方程 按照求回归直线方程的过程求出 回归直线方程只有一条 7 在回归方程中 的几何意义分别是什么 提示 是回归直线方程在y轴上的截距 是回归直线方程的斜率 拓展延伸 对线性回归模型的认识 1 如果两个变量之间的依赖关系近似一条直线 那么这两个变量就是线性相关的 2 如果两个变量之间的依赖关系近似一条曲线 那么这两个变量就是非线性相关的 3 如果两个变量之间不存在明显的依赖关系 那么这两个变量就是不相关的 探究总结 知识归纳 注意事项 1 利用散点图判定两个变量是否具有线性相关关系 注意不要受个别点的位置的影响 2 求回归方程 关键在于正确求出系数 由于 的计算量大 计算时应仔细谨慎 分层进行 避免因计算而产生错误 注意回归方程中一次项系数为 常数项为 这与一次函数的习惯表示不同 题型探究 类型一 变量间相关关系的判断 典例1 1 下列变量之间的关系不是相关关系的是 A 二次函数y ax2 bx c中 a c是已知常数 取b为自变量 因变量是判别式 b2 4ac B 光照时间和果树亩产量C 降雪量和交通事故发生率D 每亩田施肥量和粮食亩产量 2 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋面积的数据 画出数据对应的散点图 并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关 解题指南 1 可判定是否有关 若有关则看关系是否确定 2 先画出散点图 观测判断即可得出结论 解析 1 选A 在A中 若b确定 则a b c都是常数 b2 4ac也就唯一确定了 因此 这两者之间是确定性的函数关系 一般来说 光照时间越长 果树亩产量越高 降雪量越大 交通事故发生率越高 施肥量越多 粮食亩产量越高 所以B C D是相关关系 2 销售价格与房屋面积的散点图如图 由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围 具有正相关关系 因此 销售价格与房屋面积具有正相关关系 规律总结 两个变量x与y相关关系的判断方法 1 散点图法 通过散点图 观察它们的分布是否存在一定规律 直观地判断 如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近 那么这两个变量就是线性相关的 注意不要受个别点的位置的影响 2 表格 关系式法 结合表格或关系式进行判断 3 经验法 借助积累的经验进行分析判断 提醒 如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近 那么变量之间就有相关关系 巩固训练 1 在下列两个变量的关系中 哪些是相关关系 正方形边长与面积之间的关系 作文水平与课外阅读量之间的关系 人的身高与年龄之间的关系 解析 两变量之间的关系有两种 函数关系与带有随机性的相关关系 正方形的边长与面积之间的关系是函数关系 作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系 但是具有相关性 因而是相关关系 人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系 也不是相关关系 因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了 因而他们不具备相关关系 2 如图是两个变量统计数据的散点图 判断两个变量之间是否具有相关关系 解析 不具有相关关系 因为散点图散乱地分布在坐标平面内 不呈线形 类型二 求回归直线方程 典例2 2016 惠州高一检测 某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据 1 画出散点图 2 求成本y与产量x之间的线性回归方程 结果保留两位小数 解题指南 1 在平面直角坐标系中根据已知数据描点即可得散点图 2 利用公式求出即可得出回归直线方程 解析 1 散点图如图所示 2 设y与产量x的线性回归方程为 9 1 10 4 4 60 所以回归方程为 1 10 x 4 60 规律总结 求回归方程的步骤第一步 计算平均数第二步 求和 第三步 计算第四步 写出回归方程 巩固训练 一台机器由于使用时间较长 生产的零件有一些缺损 按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示 1 作出散点图 2 如果y与x线性相关 求出回归方程 3 若实际生产中 允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个 那么 机器的运转速度应控制在什么范围内 解题指南 先作出散点图 再根据散点图判断y与x呈线性相关 从而建立回归方程求解 解析 1 作散点图如图所示 2 由散点图可知y与x线性相关 故可设回归方程为依题意 用计算器可算得 所以所以所求回归方程为 0 73x 0 875 3 令y 10 得0 73x 0 875 10 解得x 14 9 即机器的运转速度应控制在14转 秒内 类型三 利用回归方程估计总体 典例3 2016 聊城高一检测 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x 吨 与相应的生产能耗y 吨标准煤 的几组对照数据 1 请画出上表数据的散点图 2 请根据上表提供的数据 用最小二乘法求出y关于x的回归方程y 3 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤 试根据 2 求出的回归方程 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤 参考数值 3 2 5 4 3 5 4 6 4 5 66 5 解题指南 1 在直角坐标系中根据已知数据描点即可得散点图 2 利用公式求 即可得出回归方程 3 可将x 100代入回归方程即可得出结论 解析 1 散点图如图所示 所以所求回归方程为 0 7x 0 35 3 根据回归方程的预测 现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0 7 100 0 35 70 35 吨标准煤 故能耗减少了90 70 35 19 65 吨标准煤 延伸探究 1 改变问法 在本例中依据 2 的回归方程及 3 的条件 试估计技术革新后消耗90吨的煤比技术革新前多生产多少吨甲产品 解析 由 2 可知 0 7x 0 35 当 90时 有90 0 7x 0 35 解得 x 128 吨 因此 技术革新后消耗90吨的煤比技术革新前多生产甲产品128 100 28 吨 2 改变问法 本例 3 中得出的值是实际能耗减少的量吗 解析 不一定 利用回归直线方程估计 只是一个近似值 受其他因素影响 估计值与实际值会有一定的误差 规律总结 回归分析的三个步骤 1 判断两个变量是否线性相关 可以利用经验 也可以画散点图 2 求回归方程 注意运算的正确性 3