数学思想与数学文化15年秋季学期.doc

1、数学进展的大致情况：两千多年来，数学的发展大体可以分为三个阶段：17世纪以前是数学发展的初级阶段（初等数学阶段），其内容主要是常量数学，如初等几何、初等代数；从文艺复兴时期开始，数学发展进入第二个阶段，即变量数学阶段，产生了微积分、解析几何、高等代数；从19世纪开始，数学获得了巨大的发展，形成了近代数学阶段，产生了实变函数、泛函分析、非欧几何、拓扑学、近世代数、计算数学、数理逻辑等新的数学分支2、几个著名的人物和代表作代数之父是亚力山大后期的丢番图，代表作算术近代英国伟大的牛顿的著作自然哲学的数学原理。阿拉伯的著名代数学家花拉子蜜的还原与对消3、归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题， 如果（1）P(n) 当n=1时成立； （2）若P(k)成立的假定下，则P(k+1)也成立。 那么P(n)对任意自然数n都成立。 这两个步骤，（1）称为归纳起点，（2）称为归纳推断。数学归纳法是一种完全归纳法，其应用范围及其广泛归纳法：逻辑学中的方法数学归纳法：数学中的一般方法6：欧式几何和非欧几何的区别：是否满足原本中的第五公设。6+：解析几何的创始人是谁：笛卡尔和费马其基本思想是什么：用代数方法去解决几何问题，这就是解析几何的基本思想。6+、1）古典几何包括：欧氏几何、射影几何、解析几何、非欧几何等，（由欧几里德、笛卡尔、高斯、黎曼、罗巴切夫斯基等创建的。） 2）现代几何主要是指微分几何（在解析几何的基础上，如果要研究更复杂的图形，这些图形可能对应比较复杂的代数方程，甚至不能用代数方程来表示，这时需要借助微积分作为工具，由此产生了微分几何。），（由高斯、黎曼等人所奠基，再由嘉当、陈省身等人发扬光大。）7、举一古代中国的运筹典故的例子。1）孙膑与田忌赛马-用局部的牺牲换取全局的胜利，达到以弱胜强的目的-不强求一局的得失，而争取全盘的胜利，是典型的博弈问题2）围魏救赵-善于调动敌人，“攻其所必救”8、什么是数学发展中心？说说数学发展中心的迁移规律。数学发展的历史上，常常有这样的情形：一个时期，可能在某一个地域，集中了大批优秀的数学家；数学在那里得到长足的发展，水平居于世界领先的地位；各地的数学工作者，向往和来到这一地域学习或工作。我们称这一地域为这一时期的“数学发展中心”。数学的发展与其它科学的发展一样，有一些要素：第一要有客观需求，第二要有经济保障，第三要有文化环境，第四要有大批人才15、哪一年哪一届的国际数学家大会首次在中国北京举行？有何意义？2002年的第24届ICM，首次在中国北京举行ICM2002取得了巨大的成功，得到了国际数学界高度评价，它将以21世纪数学界的首次最高盛会和历史上第一次在发展中国家举办的数学家大会而载入史册。15+.你知道哪些国际数学大奖？菲尔兹奖(特点：4年一届 40岁以下。别称:数学界的诺贝尔奖)沃尔夫奖（终身成就 陈省身1984年获得了沃尔夫奖 威尔斯42获得）高斯奖邵逸夫奖苏步青奖16、世界数学年联合国宣布 2000年为世界数学年17、何谓数学悖论?一个命题，无论肯定它还是否定它都将导致矛盾的结果，这种命题称为悖论。数学中产生的悖论称为数学悖论18、三次数学危机都和哪些数学悖论相联系?毕达哥拉斯悖论 贝克莱悖论 罗素悖论19、数学危机给数学带来怎样的影响?每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。第一次 实数第二次 极限第三次 集合21、罗素悖论的内容是什么？其通俗说法可以如何描述？以M表示“是其本身成员的所有集合的集合”（所有异常集合的集合），而以N表示“不是它本身成员的所有集合的集合”（所有正常集合的集合），于是任一集合或者属于M，或者属于N，两者必居其一，且只居其一。然后问：集合N是否是它本身的成员？罗素悖论的通俗化“理发师悖论”：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？22、欧拉、阿基米德、牛顿、高斯等四位被称为有史以来贡