利息习题解答第二章d

版权所有 翻版必究 第二章习题答案 1 某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元 如果它们前十年每年底存 款1000元 后十年每年底存款1000 X 元 年利率7 计算X 解 S 1000s20p7 Xs10p7 X 50000 1000s20p7 s10p7 651 72 2 价值10 000元的新车 购买者计划分期付款方式 每月底还250元 期限4年 月结算名利率18 计算首次付款金额 解 设首次付款为X 则有 10000 X 250a48p1 5 解得X 1489 36 3 设有n年期期末年金 其中年金金额为n 实利率i 1 n 试计算该年金的现值 解 PV nanpi n1 v n 1 n n 1 nn2 nn 2 n 1 n 4 已知 anp X a2np Y 试用X和Y 表示d 解 a2np anp anp 1 d n则 d 1 Y X X 1 n 5 已知 a7p 5 58238 a11p 7 88687 a18p 10 82760 计算i 解 a18p a7p a11p v7 解得i 6 0 6 证明 1 1 v10 s10p a p s10p 北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页 版权所有 翻版必究 证明 s10p a p s10p 1 i 10 1 i 1 i 1 i 10 1 i 1 1 v10 7 已知 半年结算名利率6 计算下面10年期末年金的现值 开始4年每半 年200元 然后减为每次100元 解 PV 100a8p3 100a20p3 2189 716 8 某人现年40岁 现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元 共计25年 然 后 从65岁开始每年初领取一定的退休金 共计15年 设前25年的年利率为8 后15年的年利率7 计算每年的退休金 解 设每年退休金为X 选择65岁年初为比较日 1000 s25p8 X a15p7 解得X 8101 65 9 已知贴现率为10 计算 a8p 解 d 10 则 i 1 1 d 1 1 9 a8p 1 i 1 v 8 i 5 6953 10 求证 1 anp anp 1 vn 2 snp snp 1 1 i n 并给出两等式的实际解释 证明 1 anp 1 vn d 1 vn i 1 i 1 vn i 1 vn 所以 anp anp 1 vn 2 snp 1 i n 1 d 1 i n 1 i 1 i 1 i n 1 i 1 i n 1 所以 anp snp 1 1 i n 北京大学数学科学学院金融数学系第 2 页 版权所有 翻版必究 12 从1980年6月7日开始 每季度年金100元 直至1991年12月7日 季结算名利 率6 计算 1 该年金在1979年9月7日的现值 2 该年金在1992年6月7日的终 值 解 PV 100a49p1 5 100a2p1 5 3256 88 AV 100s49p1 5 100s2p1 5 6959 37 13 现有价值相等的两种期末年金A和B 年金A在第1 10年和第21 30年中每 年1元 在第11 20年中每年2元 年金B在第1 10年和第21 30年中每年付款金 额为Y 在第11 20年中没有 已知 v10 1 2 计算Y 解 因两种年金价值相等 则有 a30pi a10pi v10 Y a30pi Y a10pi v10 所以Y 3 v10 2v30 1 v10 2v30 1 8 14 已知年金满足 2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36 另 外 递延n年的2元n 期期末年金的现值为6 计算i 解 由题意知 2a2npi 3anpi 36 2anpi vn 6 解得i 8 33 15 已知 a7p a11p a3p sXp aY p sZp 求X Y和Z 解 由题意得 1 v7 1 v11 1 i X v3 1 i Z vY 解得 X 4 Y 7 Z 4 16 化简a15p 1 v15 v30 解 a15p 1 v15 v30 a45p 北京大学数学科学学院金融数学系第 3 页 版权所有 翻版必究 17 计算下面年金在年初的现值 首次在下一年的4月1日 然后每半年一 次2000元 半年结算名利率9 解 年金在4月1日的价值为P 1 4 5 4 5 2000 46444 44 则 PV P 1 i 2 2 3 41300 657 18 某递延永久年金的买价为P 实利率i 写出递延时间的表达式 解 设递延时间为t 有 P 1 i vt 解得t lniP ln 1 i 19 从现在开始每年初存入1000元 一直进行20年 从第三十年底开始每年领取一 定的金额X 直至永远 计算X 解 设年实利率为i 由两年金的现值相等 有 1000 a20pi X i v29 解得X 1000 1 i 30 1 i 10 20 某人将遗产以永久年金的方式留给后代A B C 和D 前n年 A B和C三人 平分每年的年金 n年后所有年金由D一人继承 如果四人的遗产份额的现值相 同 计算 1 i n 解 设遗产为 则永久年金每年的年金为i 那么A B C得到的遗产的现值 为 i 3anpi 而D得到遗产的现值为vn 由题意得 1 vn 3 vn 所以 1 i n 4 21 永久期末年金有A B C 和D四人分摊 A接受第一个n年 B接受第二 个n年 C接受第三个n 年 D接受所有剩余的 已知 C与A的份额之比为0 49 求B与D的份额之比 北京大学数学科学学院金融数学系第 4 页 版权所有 翻版必究 解 由题意知 PVC PVA anp v2n anp 0 49 那么 PVB PVD anp vn 1 iv 3n 0 61 22 1000元年利率4 5 的贷款从第五年底开始每年还贷100元 直至还清 如果最 后一次的还款大于100元 计算最后一次还款的数量和时间 解 100anp4 5 v4 1000 解得 n 17 列价值方程 100a16p4 5 Xv21 1000 解得X 146 07 23 36年的期末年金每次4元 另有18年的期末年金每次5元 两者现值相等 如果 以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍 计算n 解 两年金现值相等 则 4 a36pi 5 18 可知 v18 0 25 由题意 1 i n 2解得 n 9 24 某借款人可以选择以下两种还贷方式 每月底还100元 5年还清 k个月后一 次还6000元 已知月结算名利率为12 计算k 解 由题意可得方程 100a60p1 6000 1 i k 解得k 29 25 已知a2pi 1 75 求i 解 由题意得 1 v2 1 75i 解得i 9 38 26 某人得到一万元人寿保险赔付 如果购买10年期末年金可以每年得到1538元 20年 的期末年金为每年1072元 计算年利率 解 北京大学数学科学学院金融数学系第 5 页 版权所有 翻版必究 27 某人在银行中存入一万元10年定期存款 年利率4 如果前5年半内提前支 取 银行将扣留提款的5 作为惩罚 已知 在第4 5 6和7年底分别取出K元 且第十年底的余额为一万元 计算K 解 由题意可得价值方程 10000 105Ka2p4 v3 Ka2p4 10000v10 则K 10000 10000v10 105a2p4 v3 a2p4 v5 979 94 28 贷款P从第六个月开始分十年逐年还清 第一次的还款额为后面还款的一半 前四年半的年利率为i 后面的利率为j 计算首次付款金额X的表达式 解 选取第一次还款日为比较日 有价值方程 P 1 i 1 2 X 2Xa4pi 2Xa5pj 1 i 4 所以 X P 1 i 1 2 1 2a4pi 2a5pj 1 i 4 29 已知半年名利率为7 计算下面年金在首次付款8年后的终值 每两年付 款2000元 共计8次 解 30 计算下面十年年金的现值 前5年每季度初支付400元 然后增为600元 已知 年利率为12 缺命令 解 PV 4 400 4 600v5 11466 14 31 已知半年结算的名贴现率为9 计算每半年付款600元的十年期初年金的现 值表达式 解 32 给出下面年金的现值 在第7 11 15 19 23和27年底支付一个货币单位 解 PV 1 s4pi a24pi v3 1 i 24 1 1 i 27 1 i 4 1 a28p a4p s3p s1p 北京大学数学科学学院金融数学系第 6 页 版权所有 翻版必究 33 750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末 年金代替 半年换算名利率4 求R的表达式 解 设年实利率为i 则 1 2 2 1 i 有题意得 750 i 750 s20pi i Ra30pi 解得R 1114 77 34 已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125 91 计算年利率 解 由题意知 1 is3pi 125 91 解得i 20 35 已知 1元永久期初年金的现值为20 它等价于每两年付款R元的永久期初年 金 计算R 解 由题意得 20 1 d R a2pi i 解得R 1 95 36 已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元 试用贴现率表示递延 时间 解 设贴现率为d 则1 i 2 2 1 1 d 1 2 设递延时间为t 由题意得 10000 2 500vt a 2 p 解得t ln20 ln 1 1 d 1 2 ln 1 d 37 计算 3a 2 np 2a 2 2np 45s 2 1p 计算 i 解 3 i i 2 anpi 2 i i2 anpi 45 i i2 s1pi 解得 vn 1 2 i 1 30 北京大学数学科学学院金融数学系第 7 页 版权所有 翻版必究 38 已知i 4 16 计算以下期初年金的现值 现在开始每4个月付款1元 共12年 问题 解 39 已知 t 1 1 t 求 anp 的表达式 解 anp n 0 e Rt 0 sdsdt ln 1 n 40 已知一年内的连续年金函数为常数1 计算时刻t 使得只要在该时刻一次性支 付一个货币单位 则两种年金的现值相等 解 第一种年金的现值为 1 0 vtdt 1 e 第二种年金的现值为e t 则 1 e e t 所以t 1 1 ln i 41 已知 0 08 计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现 值 结果和李凌飞的不同 解 设季度实利率为i 因 a t e t 则 e 1 4 1 i 所以 PV 100 a80pi 100 1 i 1 v 80 i 4030 53 42 现有金额为40 000元的基金以4 的速度连续累积 同时每年以2400元的固定 速连续地从基金中取钱 该基金可以维持多少时间 解 设年实利率为i 则 i e 1 设基金可维持t年 由两现值相等得 40000 2400atpi 解得t 28 北京大学数学科学学院金融数学系第 8 页 版权所有 翻版必究 43 已知某永久期末年金的金额为 1 3 5 另外 第6次和第7次付款的现值 相等 计算该永久年金的现值 解 由题意 11 1 i 6 13 1 i 7 i 2 11 PV v 3v2 2n 1 vn v 1 PV 2 v v2 v 1 PV 2 v 1 v 解得 PV 66 44 给出现值表达式Aanp B Da n 所代表的年金序列 用这种表达式给出如 下25年递减年金的现值 首次100元 然后每次减少3元 解 年金序列 A nB A n 1 B A 2B A B 所求为25a25p 3 Da 25 45 某期末年金 半年一次 为 800 750 700 350 已知半年结算名利率 为16 若记 A a10p8 试用A表示这个年金的现值 解 考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减 故有 300a10p8 500 Da 10 8 300A 2 10 A i 2 6250 325A 46 年利率8 的十年储蓄 前5年每年初存入1000元 然后每年递增5 计算第 十年底的余额 解 由题意 AV 1000s5p8 1 8 6 1000 1 05 1 085 1000 1 052 1 084 1000 1 055 1 08 1000 1 8 5 1 8 1 086 1000 1 05 1 085 1 1 05 1 08 5 1 1 05 1 08 16606 72 47 已知永久年金的方式为 第5 6年底各100元 第7 8年底各200元 第9 10年 底各300元 依此类推 证明其现值为 100 v4 i vd 北京大学数学科学学院金融数学系第 9 页 版权所有 翻版必究 解 把年金分解成 从第5年开始的100元永久年金 从第7年开始的100元永久 年金 从而 PV v4 100 i 1 a2pi 1 i 100v4 1 i 1 1 v2 100 v4 i vd 48 十年期年金 每年的1月1日100元 4月1日200元 7月1日300元 10月1日400元 证明其现值为 1600 a10p I 4 a 4 1 元 证 首先把一年四次的付款折到年初 m 4 n 1 R 100m2 1600 从而每年初当年的年金现值 1600 I 4 a 4 1 元 再贴现到开始时 1600 a10p I 4 a 4 1 元 49 从现在开始的永久年金 首次一元 然后每半年一次 每次增加3 年利 率8 计算现值 解 半年的实利率 j 1 8 1 2 1 3 923 PV 1 1 03 1 j 1 032 1 j 2 1 1 03 1 j 1 112 59 50 某人为其子女提供如下的大学费用 每年的前9个月每月初500元 共计4年 证明当前的准备金为 6000 a4p a 12 9 12 证 首先把9个月的支付贴现到年初 m 12 n 9 12 R 500m 6000 从而 每年初当年的年金现值 6000 a 12 9 12 贴现到当前 6000 a4p a 12 9 12 北京大学数学科学学院金融数学系第 10 页 版权所有 翻版必究 51 现有如下的永久年金 第一个k 年每年底还 第二个k 年每年底还2R 第三 个k 年每年底还3R 依此类推 给出现值表达式 解 把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金 n 0 1 2 每个年金的值为 Ra p 在分散在每个k年的区段里 Ra ak 再按标准永久年金求现值 R a 2 ak 52 X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值 20X表示首次付款 从第三年底开始的永久年金 1 2 3 的现值 计算贴现率 解 由题意 X 1 i 1 1 i 20X 1 i 1 i2 1 1 i 2 解得 i 0 05 即 d i 1 i 0 04762 53 四年一次的永久年金 首次1元 每次增加5元 v4 0 75 计算现值 与原答 案有出入 解 期初年金 PV 1 6v4 11v9 i 1 5n 4 v 4n 4 5 1 v4 2 4 1 v4 64 期末年金 PV v 6v5 11v10 v PV 59 5587 54 永久连续年金的年金函数为 1 k t 年利率i 如果 0 k i 计算该年 金现值 与原答案有出入 解 由于0 k q i不存在 p q 2 令f i p i q i q i2 f 0 i p i2 q i2 2 q i3 0 解得 i 2q p q p q 58 某零件的使用寿命为9年 单位售价为2元 另一种产品 使用寿命15年 单 价增加X 如果某人需要35年的使用期 假定在此期间两种产品的价格均以年 增4 的幅度增加 要使两种产品无差异的X为多少 缺少利率 下面的计算年利 率i 5 与原答案有出入 解 用9年一周期的产品 则有支付的现值为 PV1 2 1 1 04 1 05 9 1 04 1 05 18 1 04 1 05 27 用15年一周期的产品 则有支付的现值为 PV2 2 X 1 1 04 1 05 15 1 04 1 05 30 由PV1 PV2有 X 0 6992 59 计算m n年的标准期末年金的终值 已知 前m年年利率7 后n年年利 率11 smp7 34 snp11 128 解 由snp 的表达式有 1 0 11 n 0 11snp11 1 AV smp7 1 0 11 n snp11 smp7 0 11snp11 1 snp11 640 72 北京大学数学科学学院金融数学系第 13 页 版权所有 翻版必究 60 甲持有A股票100股 乙持有B股票100股 两种股票都是每股10元 A股票每 年底每股分得红利0 40元 共计10年 在第10次分红后 甲以每股2元的价格将所 有的股票出售 假设甲以年利率6 将红利收入和股票出售的收入进行投资 B股 票在前10年没有红利收入 从第11年底开始每年每股分得红利0 80元 如果乙也 是以年利率6 进行投资 并且在n年后出售其股票 为了使甲乙在乙的股票出售 时刻的累积收入相同 分别对n 15 20两种情况计算乙的股票出售价格 解 设X为买价 有价值方程 0 4s10p6 2 0 8sn 10 6 X 1 0 06 n 10 从而有 X 0 4s10p6 2 0 8sn 10 6 1 0 06 n 10 解得 X 5 22n 15 2 48n 20 61 某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动 每年的6月30日和12月31日用半 年结算名利率8 结算利息 另外 从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐 款5000元 从1991年的7月开始 每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖 金 计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额 解 由题意 AV 100000 1 4 20 5000s20p4 s2p4 12000 1 4 s20p4 s2p4 109926 021 62 已知贷款L经过N 偶数 次 每次K元还清 利率i 如果将还贷款次数减少 一半 记每次的还款为K1 试比较K1与2K 的大小 解 由题意 K1ampi Ka2mpi K1 K 1 1 1 i m v N 2 即 M n 证明 L anp 在 1 i 1上有唯一解 北京大学数学科学学院金融数学系第 15 页 版权所有 翻版必究 证 斯图姆判别 考虑如下现金流 初始时刻投入L 而后的n年每年末得到回 报1 从而此投资的内部收益率i满足 L anpi 由于现金流只改变一次方向 从而由笛卡儿符号法则有 在 1 i 0 n 0时 有 Ia npi n 1 2 anpi Da npi 证 由69题有 Ia npi Da npi 2 n 1 anpi 2从而 只要证 Ia npi Da npi 注意到 Da npi Ia npi n 1 n 3 n 3 n 1 这年金 前后对称 而后面的贴现因子比较大 从而有 成立 71 某雇员在退休前的第37年参加企业养老金计划 当时年收入为18 000元 然后 每年以4 的速度增加 假定提薪恰好在每年的年中进行 1 分别对以下两种退 休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例 如果年退休金为工作期间年 平均工资的70 年退休金为年平均工资的2 5 再乘以工作年限 2 如果企业和个人分别将年工资的3 存入年利率6 的养老基金 试对以上两种 退休金方式计算退休金的领取年限 北京大学数学科学学院金融数学系第 16 页 版权所有 翻版必究 解 1 平均工资 18000 1 1 04 1 0436 37 39747 04 退休前一年的工资 18000 1 0 04 36 73870 79 法一 年退休金 0 7 27822 93 比例为 37 66 法二 年退休金 0 25 37 36766 01 比例为 49 77 2 企业和个人各存3 则一共存6 从而这笔基金的终值为 P 18000 6 36 t 0 1 4 t 1 6 36 t 235871 7 设年退休金为R 则有 R anp6 P 解得 n 12第一种方式 8第二种方式 72 已知永久期初年金为 首次1元 第二年初1 2元 第三年初1 2 3元 依此 类推 第n年初1 2 n元 证明该年金的现值为 a p I a p 解 进行现金流拆分 从第一年出发的一份标准永久年金 从第二年出发的两 份标准永久年金 从第n年出发的n份标准永久年金 分别求各个子 现金流的现值得到如下的现金流 a p 2 a p n a p 其现值即为原年金的现值 a p I a p 73 已知连续年金函数为f t 0时刻的年金为F0 利息力 如果用Ft表示时刻t的 年金终值 证明 dFt dt Ft f t 证 由定义 Ft t 0 f s e t s ds et t 0 f s e s ds dFt dt e t t 0 f s e sds f t Ft f t 74 A从B处借得10 000元 年利率4 计划分40次按季度等额偿还 在第6年 底 B希望立即收回所有借款 因此将今后接受还款的权利转卖给C 转卖价格 使C今后几年的年收益率将达到6 计算转卖价格 北京大学数学科学学院金融数学系第 17 页 版权所有 翻版必究 解 A从B借款 季度实利率为i 1 0 04 1 4 1 10000 Ra40pi B把后16次的还款卖给C 季度实利率为 i 0 1 0 06 1 4 1 P Ra40 i0 10000 a40 i0 a40pi 解得