圆锥曲线经典例题.doc

学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 第二节第二节 圆锥曲线圆锥曲线 第一部分第一部分 五年高考荟萃五年高考荟萃 20092009 年高考题年高考题 2009 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线圆锥曲线 一 选择题一 选择题 1 2009 全国卷 理 设双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x2 1 相切 则该双曲线的离心率等 于 A 3 B 2 C 5 D 6 解析 设切点 00 P xy 则切线的斜率为 0 0 2 x x yx 由题意有 0 0 0 2 y x x 又 2 00 1yx 解得 22 0 1 2 1 5 bb xe aa 答案 C 2 2009 全国卷 理 已知椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为F 右准线为l 点Al 线段AF交C于点B 若 3FAFB 则 AF A 2 B 2 C 3 D 3 解析 过点 B 作BMl 于 M 并设右准线l与 X 轴的交点为 N 易知 FN 1 由题意3FAFB 故 2 3 BM 又由椭 圆的第二定义 得 2 22 233 BF 2AF 故选 A 答案 A 3 2009 浙江理 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右顶点A作斜率为1 的直线 该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为 B C 若 1 2 ABBC 则双曲线的离心率是 A 2 B 3 C 5 D 10 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 解析 对于 0A a 则直线方程为0 xya 直线与两渐近线的交点为 B C 22 aabaab BC ab ababab 则有 22 2222 22 a ba babab BCAB ababab ab 因 22 2 4 5ABBCabe 答案 C 4 2009 浙江文 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为F 右顶点为A 点B在椭圆上 且BFx 轴 直 线AB交y轴于点P 若2APPB 则椭圆的离心率是 A 3 2 B 2 2 C 1 3 D 1 2 解析 对于椭圆 因为2APPB 则 1 2 2 2 OAOFace 答案 D 5 2009 北京理 点P在直线 1l yx 上 若存在过P的直线交抛物线 2 yx 于 A B两点 且 PAAB 则 称点P为 点 那么下列结论中正确的是 A 直线l上的所有点都是 点 B 直线l上仅有有限个点是 点 C 直线l上的所有点都不是 点 D 直线l上有无穷多个点 点不是所有的点 是 点 解析解析 本题主要考查阅读与理解 信息迁移以及学生的学习潜力 考查学生分析问题和解决问题的能力 属于创 新题型 本题采作数形结合法易于求解 如图 设 1A m nP x x 则 2 22Bmxnx 2 A Byx 在上 2 2 21 2 nm nxmx 消去 n 整理得关于 x 的方程 22 41 210 xmxm 1 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 222 41 4 21 8850mmmm 恒成立 方程 1 恒有实数解 应选 A 答案答案 A 6 2009 山东卷理 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线与抛物线 y x 2 1 只有一个公共点 则双曲线的离心率为 A 4 5 B 5 C 2 5 D 5 解析 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线为x a b y 由方程组 2 1 b yx a yx 消去 y 得 2 10 b xx a 有唯一解 所以 2 40 b a 所以2 b a 22 2 1 5 cabb e aaa 故选 D 答案 D 命题立意 本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念 以及直线与抛物线的位置关系 只有一个公共点 则解 方程组有唯一解 本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能 7 2009 山东卷文 设斜率为 2 的直线l过抛物线 2 0 yaxa 的焦点 F 且和y轴交于点 A 若 OAF O 为坐标原点 的面积为 4 则抛物线方程为 A 2 4yx B 2 8yx C 2 4yx D 2 8yx 解析 抛物线 2 0 yaxa 的焦点 F 坐标为 0 4 a 则直线l的方程为2 4 a yx 它与y轴的交点为 A 0 2 a 所以 OAF 的面积为 1 4 2 42 aa 解得8a 所以抛物线方程为 2 8yx 故选 B 答案 B 命题立意 本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算 考查数形结合的 数学思想 其中还隐含着分类讨论的思想 因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变 化有两种情况 这里加绝对值号可以做到合二为一 8 2009 全国卷 文 双曲线1 36 22 yx 的渐近线与圆 0 3 222 rryx相切 则 r A 3 B 2 C 3 D 6 解析 本题考查双曲线性质及圆的切线知识 由圆心到渐近线的距离等于 r 可求 r 3 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 答案 A 9 2009 全国卷 文 已知直线 0 2 kxky与抛物线 C xy8 2 相交 A B 两点 F 为 C 的焦点 若 FBFA2 则 k 3 1 3 2 3 2 3 22 解析 本题考查抛物线的第二定义 由直线方程知直线过定点即抛物线焦点 2 0 由2FAFB 及第二定义 知 2 22 BA xx联立方程用根与系数关系可求 k 2 2 3 答案 D 1 2009 安徽卷理 下列曲线中离心率为 6 2 的是 22 1 24 xy 22 1 42 xy 22 1 46 xy 22 1 410 xy 解析 由 6 2 e 得 222 222 331 1 222 cbb aaa 选 B 答案 11 2009 福建卷文 若双曲线 22 22 1 3 xy ao a 的离心率为 2 则a等于 A 2 B 3 C 3 2 D 1 解析 由 222 2 3 12 3 xya aa c 可知虚轴b 3 而离心率e a 解得 a 1 或 a 3 参照选项知而应选 D 答案 D 12 2009 安徽卷文 下列曲线中离心率为的 是 A B C D 解析 依据双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率 c e a 可判断得 6 2 c e a 选 B 答案 B 13 2009 江西卷文 设 1 F和 2 F为双曲线 22 22 1 xy ab 0 0ab 的两个焦点 若 12 FF 0 2 Pb是正三角形的 三个顶点 则双曲线的离心率为 A 3 2 B 2 C 5 2 D 3 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 解析 由 3 tan 623 c b 有 2222 344 cbca 则2 c e a 故选 B 答案 B 14 2009 江西卷理 过椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P 2 F为右焦点 若 12 60FPF 则椭圆的离心率为 A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 解析 因为 2 b Pc a 再由 12 60FPF 有 2 3 2 b a a 从而可得 3 3 c e a 故选 B 答案 B 15 2009 天津卷文 设双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虚轴长为 2 焦距为32 则双曲线的渐近线方程为 A xy2 B xy2 C xy 2 2 D xy 2 1 解析 由已知得到2 3 1 22 bcacb 因为双曲线的焦点在 x 轴上 故渐近线方程为 xx a b y 2 2 答案 C 考点定位 本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用 考察了同学们的运算能力和推理能力 16 2009 湖北卷理 已知双曲线 22 1 22 xy 的准线过椭圆 22 2 1 4 xy b 的焦点 则直线2ykx 与椭圆至多有一个交 点的充要条件是 A 1 1 2 2 K B 11 22 K C 22 22 K D 22 22 K 解析 易得准线方程是 2 2 1 2 a x b 所以 2222 41cabb 即 2 3b 所以方程是 22 1 43 xy 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 联立2 ykx 可得 22 3 4k 16k 40 xx 由0 可解得 A 答案 A 17 2009 四川卷文 理 已知双曲线 0 1 2 2 22 b b yx 的左 右焦点分别是 1 F 2 F 其一条渐近线方程为xy 点 3 0 yP在双曲线上 则 1 PF 2 PF A 12 B 2 C 0 D 4 解析 由渐近线方程为xy 知双曲线是等轴双曲线 双曲线方程是2 22 yx 于是两焦点坐标分别是 2 0 和 2 0 且 1 3 P或 1 3 P 不妨去 1 3 P 则 1 32 1 PF 1 32 2 PF 1 PF 2 PF 01 32 32 1 32 1 32 答案 C 18 2009 全国卷 理 已知直线 20yk xk 与抛物线 2 8C yx 相交于AB 两点 F为C的焦点 若 2 FAFB 则k A 1 3 B 2 3 C 2 3 D 2 2 3 解析 设抛物线 2 8C yx 的准线为 2l x 直线 20yk xk 恒过定点 P 2 0 如图过AB 分 别作AMl 于M BNl 于N 由 2 FAFB 则 2 AMBN 点 B 为 AP 的中点 连结OB 则 1 2 OBAF OBBF 点B的横坐标为1 故点B的坐标为 2 202 2 1 2 2 1 2 3 k 故选 D 答案 D 19 2009 全国卷 理 已知双曲线 22 22 10 0 xy Cab ab 的右焦点为F 过F且斜率为3的直线交C于 AB 两点 若4AFFB 则C的离心率为 A 6 5 B 7 5 C 5 8 D 9 5 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 解析 设双曲线 22 22 1 xy C ab 的右准线为l 过AB 分 别作AMl 于M BNl 于N BDAMD 于 由直线 AB 的斜率为3 知直线 AB 的倾斜角 1 6060 2 BADADAB 由双曲线的第二定义有 1 AMBNADAFFB e 11 22 ABAFFB 又 156 43 25 AFFBFBFBe e 答案 A 20 2009 湖南卷文 抛物线 2 8yx 的焦点坐标是 A 2 0 B 2 0 C 4 0 D 4 0 解析 由 2 8yx 易知焦点坐标是 0 2 0 2 p 故选 B 答案 B 21 2009 宁夏海南卷理 双曲线 2 4 x 2 12 y 1 的焦点到渐近线的距离为 A 2 3 B 2 C 3 D 1 解析 双曲线 2 4 x 2 12 y 1 的焦点 4 0 到渐近线3yx 的距离为 340 2 3 2 d 答案 A 22 2009 陕西卷文 0mn 是 方程 22 1mxny 表示焦点在 y 轴上的椭圆 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 将方程 22 1mxny 转化为 22 1 11 xy mn 根据椭圆的定义 要使焦点在 y 轴上必须满足 11 0 0 mn 所以 11 nm 答案 C 23 2009 全国卷 文 设双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 的渐近线与抛物线 2 1y x 相切 则该双曲线的离心率 等于 A 3 B 2 C 5 D 6 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 解析 由题双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 的一条渐近线方程为 a bx y 代入抛物线方程整理得 0 2 abxax 因渐近线与抛物线相切 所以04 22 ab 即55 22 eac 故选择 C 答案 C 24 2009 湖北卷文 已知双曲线1 4 1 22 2 2222 b yxyx 的准线经过椭圆 b 0 的焦点 则b A 3 B 5 C 3 D 2 解析 可得双曲线的准线为 2 1 a x c 又因为椭圆焦点为 2 4 0 b 所以有 2 41b 即b2 3 故b 3 故 C 答案 C 27 2009 天津卷理 设抛物线 2 y 2x 的焦点为 F 过点 M 3 0 的直线与抛物线相交于 A B 两点 与抛物线 的准线相交于 C BF 2 则 BCF 与 ACF 的面积之比 BCF ACF S S A 4 5 B 2 3 C 4 7 D 1 2 6 4 2 2 4 6 10 5510 x 0 5 F 0 51 0 00 h x 2 x 3 g y 1 2 f y y2 2 A B F C 解析 由题知 12 12 2 1 2 1 A B A B ACF BCF x x x x AC BC S S 又3 2 3 2 2 1 BBB yxxBF 由 A B M 三点共线有 BM BM AM AM xx yy xx yy 即 2 3 3 30 3 20 A A x x 故2 A x 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 5 4 14 13 12 12 A B ACF BCF x x S S 故选择 A 答案 A 28 2009 四川卷理 已知直线 1 4 360lxy 和直线 2 1lx 抛物线 2 4yx 上一动点P到直线 1 l和直线 2 l的距离之和的最小值是 A 2 B 3 C 11 5 D 37 16 考点定位 本小题考查抛物线的定义 点到直线的距离 综合题 解析 1 直线 2 1lx 为抛物线 2 4yx 的准线 由抛物线的定义知 P到 2 l的距离等于P到抛物线的焦点 0 1 F的距离 故本题化为在抛物线 2 4yx 上找一个点P使得P到点 0 1 F和直线 2 l的距离之和最小 最小值为 0 1 F到直线 1 4 360lxy 的距离 即 2 5 604 min d 故选择 A 解析 2 如图 由题意可知 22 3 1 06 2 34 d 答案 A 二 填空题 29 2009 宁夏海南卷理 设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 焦点为 F 1 0 直线 l 与抛物线 C 相交于 A B 两点 若 AB 的中点为 2 2 则直线 l 的方程为 解析 抛物线的方程为 2 4yx 2 11 112212 2 22 22 12 1212 1212 4 4 4 41 yx A x yB xyxx yx yy yyxx xxyy 则有 两式相减得 直线l 的方程为y 2 x 2 即y x 答案 y x 30 2009 重庆卷文 理 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 FcF c 若椭圆上存在一 点P使 1221 sinsin ac PFFPF F 则该椭圆的离心率的取值范围为 解析 1 因为在 12 PFF 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 则由已知 得 1211 ac PFPF 即 12 aPFcPF 设点 00 xy由焦点半径公式 得 1020 PFaex PFaex 则 00 a aexc aex 记得 0 1 1 a caa e x e cae e 由椭圆的几何性质知 0 1 1 a e xaa e e 则 整理得 2 210 ee 解得2121 0 1 eee 或 又 故椭圆的离心率 21 1 e 解析 2 由解析 1 知 12 c PFPF a 由椭圆的定义知 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 则即 由椭圆的几何性质知 2 22 2 2 20 a PFacaccca ca 则既所以 2 210 ee 以下同解析 1 答案 21 1 31 2009 北京文 理 椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 F F 点 P 在椭圆上 若 1 4PF 则 2 PF 12 FPF 的大小为 解析解析 本题主要考查椭圆的定义 焦点 长轴 短轴 焦距之间的关系以及余弦定理 属于基础知识 基本运算的 考查 22 9 3ab 22 927cab 12 2 7FF 又 112 4 26PFPFPFa 2 2PF 又由余弦定理 得 2 22 12 242 7 1 cos 2 2 42 FPF 12 120FPF 故应填2 120 32 2009 广东卷 理 巳知椭圆G的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 3 2 且G上一点到G的两个焦 点的距离之和为 12 则椭圆G的方程为 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 解析 2 3 e 122 a 6 a 3 b 则所求椭圆方程为1 936 22 yx 答案 1 936 22 yx 33 2009 四川卷文 抛物线 2 4yx 的焦点到准线的距离是 解析 焦点F 1 0 准线方程1 x 焦点到准线的距离是 2 答案 2 34 2009 湖南卷文 过双曲线 C 22 22 1 xy ab 0 0 ab 的一个焦点作圆 222 xya 的两条切线 切点分别为 A B 若120AOB O 是坐标原点 则双曲线线 C 的离心率为 解析 12060302AOBAOFAFOca 2 c e a 答案 2 35 2009 福建卷理 过抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点 F 作倾斜角为45 的直线交抛物线于 A B 两点 若线段 AB 的 长为 8 则p 解析 由题意可知过焦点的直线方程为 2 p yx 联立有 2 2 2 2 30 4 2 ypx p xpx p yx 又 2 22 1 1 3 482 4 p ABpp 答案 2 36 2009 辽宁卷理 以知 F 是双曲线 22 1 412 xy 的左焦点 1 4 AP是双曲线右支上的动点 则PFPA 的最 小值为 解析 注意到 P 点在双曲线的两只之间 且双曲线右焦点为 F 4 0 于是由双曲线性质 PF PF 2a 4 而 PA PF AF 5 两式相加得 PF PA 9 当且仅当 A P F 三点共线时等号成立 答案 9 37 2009 宁夏海南卷文 已知抛物线 C 的顶点坐标为原点 焦点在 x 轴上 直线 y x 与抛物线 C 交于 A B 两点 若 2 2P为AB的中点 则抛物线 C 的方程为 解析 设抛物线为 y2 kx 与 y x 联立方程组 消去 y 得 x2 kx 0 21 xx k 2 2 故 2 4yx 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 答案 2 4yx 38 2009 湖南卷理 已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中 有一个内角为 60 o 则双曲线 C 的离心率为 解析 连虚轴一个端点 一个焦点及原点的三角形 由条件知 这个三角形的两边直角分别是 b c b是虚半轴长 c是焦半距 且一个内角是30 即得tan30 b c 所以3cb 所以2ab 离心率 36 22 c e a 答案 6 2 39 2009 年上海卷理 已知 1 F 2 F是椭圆1 2 2 2 2 b y a x C a b 0 的两个焦点 P为椭圆C上一点 且 21 PFPF 若 21F PF 的面积为 9 则b 解析 依题意 有 22 2 2 1 21 21 4 18 2 cPFPF PFPF aPFPF 可得 4c2 36 4a2 即 a2 c2 9 故有 b 3 答案 3 三 解答题三 解答题 40 2009 年广东卷文 本小题满分 14 分 已知椭圆 G 的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 2 3 两个焦点分别为 1 F和 2 F 椭圆 G 上一点到 1 F和 2 F的距离之 和为 12 圆 k C 02142 22 ykxyx Rk 的圆心为点 k A 1 求椭圆 G的方程 2 求 21F FAk 的面积 3 问是否存在圆 k C包围椭圆 G 请说明理由 解解 1 设椭圆 G 的方程为 22 22 1 xy ab 0ab 半焦距为 c 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 则 212 3 2 a c a 解得 6 3 3 a c 222 36279bac 所求椭圆 G 的方程为 22 1 369 xy 2 点 K A的坐标为 2K 1 2 12 11 26 326 3 22 K A F F SFF V 3 若0k 由012152101206 22 可知点 6 0 在圆 k C外 若0k 由01215210120 6 22 可知点 6 0 在圆 k C外 不论 K 为何值圆 k C都不能包围椭圆 G 41 2009 浙江理 本题满分 15 分 已知椭圆 1 C 22 22 1 0 yx ab ab 的右顶点为 1 0 A 过 1 C的焦点且垂直长轴的弦长为1 I 求椭圆 1 C的方程 II 设点P在抛物线 2 C 2 yxh h R上 2 C在点P处的切线与 1 C交于点 M N 当线段AP的中点与 MN的中点的横坐标相等时 求h的最小值 解解 I 由题意得 2 1 2 121 b a b b a 所求的椭圆方程为 2 2 1 4 y x II 不妨设 2 1122 M x yN xyP t th 则抛物线 2 C在点 P 处的切线斜率为2 x t yt 直线 MN 的方程为 2 2ytxth 将上式代入椭圆 1 C的方程中 得 222 4 2 40 xtxth 即 22222 4 14 40txt th xth 因为直线 MN 与椭圆 1 C有两个不同的交点 所以有 422 1 162 2 40thth 设线段 MN 的中点的横坐标是 3 x 则 2 12 3 2 22 1 xxt th x t 设线段 PA 的中点的横坐标是 4 x 则 4 1 2 t x 由题意得 34 xx 即有 2 1 10th t 其中的 2 2 1 40 1hh 或3h 当3h 时有 2 20 40hh 因此不等式 422 1 162 2 40thth 不成立 因此1h 当 1h 时代入方程 2 1 10th t 得1t 将1 1ht 代入不等式 422 1 162 2 40thth 成立 因此h的最小值为 1 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 42 2009 浙江文 本题满分 15 分 已知抛物线C 2 2 0 xpy p 上一点 4 A m到其焦点的距离为 17 4 I 求p与m的值 II 设抛物线C上一点P的横坐标为 0 t t 过P的直线交C于另一点Q 交x轴于点M 过点Q作PQ的垂 线交C于另一点N 若MN是C的切线 求t的最小值 解解 由抛物线方程得其准线方程 2 p y 根据抛物线定义 点 4 mA到焦点的距离等于它到准线的距离 即 4 17 2 4 p 解得 2 1 p 抛物线方程为 yx 2 将 4 mA代入抛物线方程 解得2 m 由题意知 过点 2 ttP的直线PQ斜率存在且不为 0 设其为k 则 2 txktylPQ 当 0 2 k ktt xy 则 0 2 k ktt M 联立方程 yx txkty 2 2 整理得 0 2 tktkxx 即 0 tkxtx 解得 tx 或tkx 2 tktkQ 而QPQN 直线NQ斜率为 k 1 1 2 tkx k tkylNQ 联立方程 yx tkx k tky 2 2 1 整理得 0 11 22 tktk k x k x 即 0 1 2 tkktkxkx 0 1 tkxtkkkx 解得 k tkk x 1 或tkx 1 1 2 2 k tkk k tkk N 1 1 1 1 22 22 2 2 2 ktk ktk k ktt k tkk k tkk KNM 而抛物线在点 N 处切线斜率 k tkk yk k tkk x 2 2 1 切 MN 是抛物线的切线 k tkk ktk ktk2 2 1 1 22 22 整理得021 22 ttkk 0 21 4 22 tt 解得 3 2 t 舍去 或 3 2 t 3 2 min t 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 43 2009 北京文 本小题共 14 分 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的离心率为3 右准线方程为 3 3 x 求双曲线 C 的方程 已知直线0 xym 与双曲线 C 交于不同的两点 A B 且线段 AB 的中点在圆 22 5xy 上 求 m 的值 解析解析 本题主要考查双曲线的标准方程 圆的切线方程等基础知识 考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法 考查推理 运算能力 解解 由题意 得 2 3 3 3 a c c a 解得1 3ac 222 2bca 所求双曲线C的方程为 2 2 1 2 y x 设 A B 两点的坐标分别为 1122 x yxy 线段 AB 的中点为 00 M xy 由 2 2 1 2 0 y x xym 得 22 220 xmxm 判别式0 12 000 2 2 xx xm yxmm 点 00 M xy在圆 22 5xy 上 2 2 25mm 1m 44 2009 北京理 本小题共 14 分 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的离心率为3 右准线方程为 3 3 x 求双曲线C的方程 设直线l是圆 22 2O xy 上动点 0000 0 P xyx y 处的切线 l与双曲线C交于不同的两点 A B 证明 AOB 的大小为定值 解法解法 1 1 本题主要考查双曲线的标准方程 圆的切线方程等基础知识 考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法 考查推理 运算能力 由题意 得 2 3 3 3 a c c a 解得1 3ac 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 222 2bca 所求双曲线C的方程为 2 2 1 2 y x 点 0000 0P xyx y 在圆 22 2xy 上 圆在点 00 P xy处的切线方程为 0 00 0 x yyxx y 化简得 00 2x xy y 由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy 得 222 000 344820 xxx xx 切线l与双曲线 C 交于不同的两点 A B 且 2 0 02x 2 0 340 x 且 222 000 164 34820 xxx 设 A B 两点的坐标分别为 1122 x yxy 则 2 00 1212 22 00 482 3434 xx xxx x xx cos OA OB AOB OA OB 且 1212120102 2 0 1 22OA OBx xy yx xx xx x y 2 12012012 2 0 1 42 2 x xxxxx x x x 22 22 00 00 2222 0000 82 8281 4 3423434 xx xx xxxx 22 00 22 00 8282 0 3434 xx xx AOB 的大小为90 解法解法 2 2 同解法 1 点 0000 0P xyx y 在圆 22 2xy 上 圆在点 00 P xy处的切线方程为 0 00 0 x yyxx y 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 化简得 00 2x xy y 由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy 得 222 000 344820 xxx xx 222 000 348820 xyy xx 切线l与双曲线 C 交于不同的两点 A B 且 2 0 02x 2 0 340 x 设 A B 两点的坐标分别为 1122 x yxy 则 22 00 1212 22 00 8228 3434 xx x xy y xx 1212 0OA OBx xy y AOB 的大小为90 22 00 2xy 且 00 0 x y 22 00 02 02xy 从而当 2 0 340 x 时 方程 和方程 的判别式均大于零 45 2009 江苏卷 本题满分 10 分 在平面直角坐标系xoy中 抛物线 C 的顶点在原点 经过点 A 2 2 其焦点 F 在x轴上 1 求抛物线 C 的标准方程 2 求过点 F 且与直线 OA 垂直的直线的方程 3 设过点 0 0 M mm 的直线交抛物线 C 于 D E 两点 ME 2DM 记 D 和 E 两点间的 距离为 f m 求 f m关于m的表达式 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 46 2009 山东卷理 本小题满分 14 分 设椭圆 E 22 22 1 xy ab a b 0 过 M 2 2 N 6 1 两点 O 为坐标原点 I 求椭圆 E 的方程 II 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且OAOB 若存在 写出该 圆的方程 并求 AB 的取值范围 若不存在说明理由 解 1 因为椭圆 E 22 22 1 xy ab a b 0 过 M 2 2 N 6 1 两点 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 椭圆 E 的方程为 22 1 84 xy 2 假设存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且OAOB 设该圆的切线方程 为ykxm 解方程组 22 1 84 xy ykxm 得 22 2 8xkxm 即 222 12 4280kxkmxm 则 222222 164 12 28 8 84 0k mkmkm 即 22 840km 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 222222 222 12121212 222 28 48 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使OAOB 需使 1212 0 x xy y 即 222 22 288 0 1212 mmk kk 所以 22 3880mk 所以 2 2 38 0 8 m k 又 22 840km 所以 2 2 2 38 m m 所以 2 8 3 m 即 2 6 3 m 或 2 6 3 m 因为直线ykxm 为圆心在原点的圆的一条切线 所以圆的半径 为 2 1 m r k 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk 2 6 3 r 所求的圆为 22 8 3 xy 此时圆的切线ykxm 都满足 2 6 3 m 或 2 6 3 m 而当切线的斜率不存在时切线为 2 6 3 x 与椭圆 22 1 84 xy 的两个交点为 2 62 6 33 或 2 62 6 33 满足OAOB 综上 存在圆心在原点的圆 22 8 3 xy 使得该圆的任意一条切 线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且OAOB 因为 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 所以 222 222 121212 2222 4288 84 4 4 1212 12 kmmkm xxxxx x kkk 22 2 2222 121212 22 8 84 1 1 12 km ABxxyykxxk k 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk 当0k 时 2 2 321 1 1 3 44 AB k k 因为 2 2 1 448k k 所以 2 2 11 0 1 8 44k k 所以 2 2 32321 1 12 1 33 44k k 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 所以 4 6 2 3 3 AB 当且仅当 2 2 k 时取 当0k 时 4 6 3 AB 当 AB 的斜率不存在时 两个交点为 2 62 6 33 或 2 62 6 33 所以此时 4 6 3 AB 综上 AB 的取值范围为 4 6 2 3 3 AB 即 4 6 2 3 3 AB 命题立意 本题属于探究是否存在的问题 主要考查了椭圆的标准方程的确定 直线与椭圆的位置关系直线与圆的位 置关系和待定系数法求方程的方法 能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系 47 2009 山东卷文 本小题满分 14 分 设mR 在平面直角坐标系中 已知向量 1 amx y 向量 1 bx y ab 动点 M x y的轨迹为 E 1 求轨迹 E 的方程 并说明该方程所表示曲线的形状 2 已知 4 1 m 证明 存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A B 且OAOB O 为坐 标原点 并求出该圆的方程 3 已知 4 1 m 设直线l与圆 C 222 xyR 1 R 2 相切于 A1 且l与轨迹 E 只有一个公共点 B1 当 R 为何值时 A1B1 取 得最大值 并求最大值 解解 1 因为ab 1 amx y 1 bx y 所以 22 10a bmxy 即 22 1mxy 当 m 0 时 方程表示两直线 方程为1 y 当1m 时 方程表示的是圆 当0 m且1 m时 方程表示的是椭圆 当0 m时 方程表示的是双曲线 2 当 4 1 m时 轨迹 E 的方程为 2 2 1 4 x y 设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt 解方程组 2 2 1 4 ykxt x y 得 22 4 4xkxt 即 222 14 8440kxktxt 要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A B 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 则使 2 22222 6416 14 1 16 41 0k tktkt 即 22 410kt 即 22 41tk 且 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 44 84 141414 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt xxtt kkk 要使OAOB 需使 1212 0 x xy y 即 22222 222 444544 0 141414 ttktk kkk 所以 22 5440tk 即 22 544tk 且 22 41tk 即 22 44205kk 恒成立 所以又因为直线ykxt 为圆心在原点的圆的一条切线 所以圆的半径为 2 1 t r k 2 2 2 22 4 1 4 5 115 k t r kk 所求的圆为 22 4 5 xy 当切线的斜率不存在时 切线为5 5 2 x 与 2 2 1 4 x y 交于点 5 5 2 5 5 2 或 5 5 2 5 5 2 也满足OAOB 综上 存在圆心在原点的圆 22 4 5 xy 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且OAOB 3 当 4 1 m时 轨迹 E 的方程为 2 2 1 4 x y 设直线l的方程为ykxt 因为直线l与圆 C 222 xyR 1 R0 与 x 轴 的左 右两个交点 直线l过点 B 且与x轴垂直 S 为l上 异于点 B 的一点 连结 AS 交曲线 C 于点 T 1 若曲线 C 为半圆 点 T 为圆弧AAB的三等分点 试求出点 S 的坐标 II 如图 点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点 试问 是否存在 a 使得 O M S 三点共线 若存在 求出 a 的值 若不存在 请说明理由 解解 方法一方法一 当曲线 C 为半圆时 1 a 如图 由点 T 为圆弧AAB的三等分点得 BOT 60 或 120 1 当 BOT 60 时 SAE 30 又 AB 2 故在 SAE 中 有tan30 SBABs t 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 2 当 BOT 120 时 同理可求得点 S 的坐标为 1 2 3 综上 2 3 1 3 S或S 1 2 3 假设存在 0 a a 使得 O M S 三点共线 由于点 M 在以 SB 为直线的圆上 故BTOS 显然 直线 AS 的斜率 k 存在且 k 0 可设直线 AS 的方程为 yk xa 由 2 2 22222422 2 1 1 20 x y a kxa k xa ka a yk xa 得 设点 222 22 1 TTT a ka T xyxa a k 故 22 22 1 T aa k x a k 从而 22 2 1 TT ak yk xa a k 亦即 22 2222 2 11 aa kak T a ka k 22 2222 22 0 11 a kak B aBT a ka k 由 xa yk xa 得 2 2 s aakOSaak 由BTOS 可得 2222 2 24 0 12 a ka k BT OS a k 即 2222 240a ka k 0 0 2kaa 经检验 当2a 时 O M S 三点共线 故存在2a 使得 O M S 三点共线 方法二方法二 同方法一 假设存在 a 使得 O M S 三点共线 由于点 M 在以 SO 为直径的圆上 故SMBT 显然 直线 AS 的斜率 k 存在且 k 0 可设直线 AS 的方程为 yk xa 由 2 2 22222222 2 1 1 20 x y a bxa k xa ka a yk xa 得 设点 TT T xy 则有 422 22 1 T a ka xa a k 故 2222 22222222 22 111 TTT aa kakaa kak xyk xaT aa ka ka ka k 从而亦即 2 2 1 0 T BTSM T y B akka k xaa k 故 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 由 xa yk xa 得S a 2ak 所直线 SM 的方程为 2 2 yaka k xa O S M 三点共线当且仅当 O 在直线 SM 上 即 2 2 aka ka 0 0 2aKa 故存在2a 使得 O M S 三点共线 60 2009 辽宁卷文 理 本小题满分 12 分 已知 椭圆C以过点A 1 3 2 两个焦点为 1 0 1 0 1 求椭圆C的方程 2 E F是椭圆C上的两个动点 如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数 证明直线EF的斜率为定值 并求 出这个定值 解解 由题意 c 1 可设椭圆方程为 22 22 1 14 xy bb 因为A在椭圆上 所以 22 19 1 14bb 解得 2 b 3 2 b 3 4 舍去 所以椭圆方程为 22 1 43 xy 证明证明 设直线 方程 得 3 1 2 yk x 代入 22 1 43 xy 得 222 3 3 4 4 32 4 120 2 kxkk xk 设 E x E y F x F y 因为点 1 3 2 在椭圆上 所以 2 2 3 4 12 2 34 E k x k 3 2 EE ykxk 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数 在上式中以k 代k 可得 2 2 3 4 12 2 34 F k x k 3 2 FF ykxk 所以直线EF的斜率 21 2 FEFE EF FEFE yyk xxk k xxxx 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 即直线EF的斜率为定值 其值为 1 2 61 2009 宁夏海南卷理 本小题满分 12 分 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点 焦点在 s 轴上 它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1 求椭圆 C 的方程 若 P 为椭圆 C 上的动点 M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点 OP OM 求点 M 的轨迹方程 并说明轨迹 是什么曲线 解解 设椭圆长半轴长及半焦距分别为ac 由已知得 1 4 3 7 ac ac ac 解得 所以椭圆C的标准方程为 22 1 167 xy 设 M x y 其中 4 4x 由已知 2 2 2 OP OM 及点P在椭圆C上可得 2 2 22 9112 16 x xy 整理得 2222 169 16112xy 其中 4 4x i 3 4 时 化简得 2 9112y 所以点M的轨迹方程为 4 7 44 3 yx 轨迹是两条平行于x轴的线段 ii 3 4 时 方程变形为 22 22 1 112112 16916 xy 其中 4 4x 当 3 0 4 时 点M的轨迹为中心在原点 实轴在y轴上的双曲线满足44x 的部分 当 3 1 4 时 点M的轨迹为中心在原点 长轴在x轴上的椭圆满足44x 的部分 当1 时 点M的轨迹为中心在原点 长轴在x轴上的椭圆 62 2009 陕西卷文 本小题满分 12 分 已知双曲线 C 的方程为 22 22 1 0 0 yx ab ab 离心率 5 2 e 顶点到渐近线的距离为 2 5 5 1 求双曲线 C 的方程 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 2 如图 P 是双曲线 C 上一点 A B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上 且分别位于第一 二象限 若 1 2 3 APPB 求AOB 面积的取值范围 方法一方法一 解解 由题意知 双曲线C的顶点 0 a 到渐近线 2 5 0 5 axby 的距离为 所以 22 2 5 5 ab ab 所以 2 5 5 ab c 由 222 2 5 5 2 5 1 2 5 ab c a c b a c cab 得 所以曲线C的方程是 2 y 4 2 1x 由 知双曲线 C 的两条渐近线方程为2yx 设 2 2 0 0A mm Bnn mn 由 APPBP uu u ruur m n 2 m n 得点的坐标为 1 1 将 P 点的坐标代入 22 2 1 1 44 y x 化简得m n 因为2 AOB 14 tan 2 tan sin2 225 又5 5OAm OBn 所以 111 sin22 1 22 AOB SOAOBmn 记 111 1 2 23 S 则 2 11 1 2 S 由 01S 得 又 S 1 2 189 2 334 SS 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 当1 时 AOB 面积取到最小值2 当当 1 3 时 AOB 面积取到最大值 8 3 所以AOB 面积范围是 8 2 3 方法二方法二 由题意知 双曲线 C 的顶点 0 a 到渐近线 2 5 0 5 axby 的距离为 22 2 52 5 55 abab c ab 即 由 222 2 5 5 2 5 1 2 5 ab c a c b a c cab 得 所以曲线C的方程是 2 y 4 2 1x 设直线 AB 的方程为 ykxm 由题意知2 0km 由 2 222 ykxm mm A yxkk 得点的坐标为 由 2 222 ykxm mm B yxkk 得点的坐标为 121 122122 mm APPBP kkkk 得点的坐标为 uu u ruur 将 P 点的坐标代入 2 1x 2 y 4 得 22 2 4 1 4 m k 设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点 则 Q 点的坐标为 0 m AOB S AOQBOQ SS 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 2 2 111 222 114 2222 4 11 1 2 ABAB OQ xOQ xm xx mmm m kkk gg g 63 2009 四川卷文 理 本小题满分 12 分 已知椭圆 22 2 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 FF 离心率 2 2 e 右准线方程为2x I 求椭圆的标准方程 II 过点 1 F的直线l与该椭圆交于MN 两点 且 22 2 26 3 F MF N 求直线l的方程 解解 I 由已知得 2 2 2 2 c a a c 解得2 1 ac 22 1 bac 所求椭圆的方程为 2 2 1 2 x y II 由 I 得 1 1 0 F 2 1 0 F 若直线l的斜率不存在 则直线l的方程为1 x 由 2 2 1 1 2 x x y 得 2 2 y 设 2 1 2 M