数值分析Euler方法

第二节Euler方法 5 2 1 Euler方法 设节点为xk x0 kh h b a nk 0 1 n 方法一泰勒展开法 将y xk 1 在xk泰勒展开得 则可得 方法二数值微分法 用向前差商近似导数 方法三数值积分法 依上述公式逐次计算可得 也称Euler为单步法 又称为显格式的单步法 2欧拉法的几何意义 也称欧拉折线法 从上述几何意义上得知 由Euler法所得的折线明显偏离了积分曲线 可见此方法非常粗糙 3 欧拉法的局部截断误差 定义 在假设yi y xi 即第i步计算是精确的前提下 考虑的截断误差Ri y xi 1 yi 1称为局部截断误差 定义 若某算法的局部截断误差为O hp 1 则称该算法有p阶精度 欧拉法的局部截断误差 欧拉法具有1阶精度 5 2 2后退的欧拉公式 隐式欧拉公式 由于未知数yn 1同时出现在等式的两边 故称为隐式欧拉公式 而前者称为显式欧拉公式 隐式公式不能直接求解 一般需要用Euler显式公式得到初值 然后用Euler隐式公式迭代求解 因此隐式公式较显式公式计算复杂 但稳定性好 几何意义 见上图 显然 这种近似也有一定误差 如何估计这种误差y xn 1 yn 1 方法同上 基于Taylor展开估计局部截断误差 但是注意 隐式公式中右边含有f xn 1 yn 1 由于yn 1不准确 所以不能直接用y xn 1 代替f xn 1 yn 1 设已知曲线上一点Pn xn yn 过该点作弦线 斜率为 xn 1 yn 1 点的方向场f x y 方向 若步长h充分小 可用弦线和垂线x xn 1的交点近似曲线与垂线的交点 几何意义 隐式欧拉法的局部截断误差 1Euler sMethod 隐式欧拉法的局部截断误差 即隐式欧拉公式具有1阶精度 1Euler sMethod 比较欧拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差 显式公式 隐式公式 若将这两种方法进行算术平均 即可消除误差的主要部分而获得更高的精度 称为梯形法 5 2 3梯形公式 在用数值积分的方法推导欧拉公式时 右端的积分用梯形积分公式可得 梯形法的迭代计算和收敛性 注 的确有局部截断误差 即梯形公式具有2阶精度 比欧拉方法有了进步 但注意到该公式是隐式公式 计算时不得不用到迭代法 其迭代收敛性与欧拉公式相似 5 2 4改进的欧拉格式 欧拉方法容易计算 但精度较低 梯形公式精度高 但是隐式形式 不易求解 若将二者结合 可得到改进的欧拉格式 上述方法也可以表示为下述两种形式 5 2 5欧拉两步公式 假设 则可以导出即中点公式也具有2阶精度 且是显式的 需要2个初值y0和y1来启动递推过程 这样的算法称为双步法 预测 校正系统中点法具有二阶精度 且是显式的 与梯形公式精度相匹配 用中点公式作预测 梯形公式作校正 得到如下预测校正系统 校正误差约为预测误差的1 4 预测误差和校正误差的事后误差估计式 利用上两式可以估计预测值和校正值与准确值的误差 可以期望 利用这两个误差分别作预测值和校正值的补偿 有可能提高精度 设pn cn分别为第n步的预测值和校正值 即 此时cn 1未知 故用pn cn代替 预测 校正 改进公式 注 利用该算法计算yn 1时 需要 例 试分别用欧拉格式和改进的欧拉格式求解下列初值问题 解 欧拉格式的具体算式为 改进的欧拉格式为 改进的欧拉格式的具体算