第3章 静定梁和静定刚架受力分析

AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 第3章静定梁和静定刚架的受力分析 本章教学的基本要求 灵活运用隔离体平衡法 截面法 计算指定截面的内力 熟练掌握静定梁和静定平面刚架内力图的作法 了解空间刚架内力图绘制的方法 本章教学内容的重点 绘制静定梁和静定平面刚架的内力图 这是本课程最重要的基本功之一 本章教学内容的难点 用隔离体平衡法计算任一指定截面的内力 用区段叠加法绘弯矩图 根据弯矩图和所受荷载绘出剪力图和轴力图 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 本章内容简介 3 1单跨静定梁 3 2多跨静定梁 3 3静定平面刚架 3 4 静定空间刚架 第3章静定梁和静定刚架的受力分析 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 1单跨静定梁 单跨静定梁的内力分析和内力图的绘制 是多跨梁和刚架受力分析的基础 是本课程最重要的基本功之一 常见的单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 1 1用隔离体平衡法计算指定截面内力 计算指定截面内力的基本方法是隔离体平衡法 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 切 取 力 平 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 第一 切 设想将杆件沿指定截面切开 第二 取 取截面任一侧部分为隔离体 第三 力 这是该方法最关键的一步 一是勿忘在隔离体上保留原有的全部外力 包括支反力 二是必须在切割面上添加要求的未知内力 所求的轴力和剪力 按正方向添加 轴力以拉力为正 剪力以绕隔离体顺时针方向转动者为正 而所求的弯矩 其方向可任意假设 只需注意在计算后判断其实际方向 并在绘弯矩图时 绘在杆件受拉一侧 第四 平 利用隔离体平衡条件 直接计算截面的内力 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 1 任意截面的轴力等于该截面一侧所有外力沿杆轴切线方向的投影代数和 2 任意截面的剪力等于该截面一侧所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和 3 任意截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对某点 例如该截面形心 的力矩代数和 注意 如果截面内力计算结果为正 或负 则表示该指定截面内力的实际方向与所假设的方向相同 或相反 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 1 2内力图的特征 1 荷载与内力之间的微分关系 以上微分关系的几何意义是 剪力图在某点的切线斜率等于该点的荷载集度 但两者的正负号相反 弯矩在某点的切线斜率等于该点的剪力 弯矩在某点的曲率与该点的荷载集度成正比 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 2 内力图的特征 1 在均布荷载区段 q 常数 FQ是x的一次式 FQ图是斜直线 M是x的二次式 M图是二次抛物线 且其突出方向与荷载指向相同 2 无荷载区段 q 0 1 一般情况下 CD段 M图为斜线 FQ图为水平线 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 2 特殊情况之一 杆端无横向荷载 可有轴向荷载 作用 AB段 M 0 FQ 0 3 特殊情况之二 纯弯曲 BC段 M图为水平线 FQ 0 2 内力图的特征 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 在集中荷载作用处 剪力有突变 其突变值等于该集中荷载值 弯矩图有尖角 尖角突出方向与荷载指向相同 2 内力图的特征 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 4 在集中力偶作用处 剪力图无变化 弯矩图有突变 该处左右两边的弯矩图形的切线相互平行 即切线的斜率相同 突变值等于该集中力偶值 2 内力图的特征 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 5 M图的最大值发生在FQ图中FQ 0点处 利用内力图的上述特征 可不列出梁的内力方程 而只须算出一些表示内力图特征的截面 称为控制截面 的内力值 就能迅速地绘出梁的内力图 2 内力图的特征 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 1 3用区段叠加法绘直杆的弯矩图 1 记住简单直梁在一些单一荷载作用下的弯矩图 要求根据材料力学课程所介绍的方法 计算 绘制并熟记常见几个最基本的弯矩图形 弯矩图绘在杆件受拉一侧 不标注正负号 可借用柔绳比拟的方法 定性地理解前面7个简支梁弯矩图的轮廓图 即这些弯矩图如同一根两端绷紧的橡皮筋受图示力作用后的形状 当杆端有外力偶作用时 可将表示力偶的圆弧箭头顺其原指向绘于杆端外侧 则箭尾一侧受拉 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 简单直梁在单一荷载作用下的弯矩图 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 简单直梁在单一荷载作用下的弯矩图 续1 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 1单跨静定梁 简单直梁在单一荷载作用下的弯矩图 续2 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 2 区段叠加法绘弯矩图 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 上述作简支梁弯矩图的叠加法 可以推广应用于结构中任一直杆段的弯矩图 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 第一种情况 对于常见的直线图形叠加直线图形或直接图形叠加曲线图形的情况 可按以下三个步骤进行 1 一求控制弯矩 首先 是求两杆端的弯矩 常可直接判断 对于简支梁两端铰支处 悬臂梁的悬臂端 若无集中力偶作用 其弯矩为零 若有集中力偶作用 其弯矩即等于该集中力偶 其次 是求外力不连续点处的弯矩 如集中力作用点 均布荷载的起点和终点 集中力偶作用点两侧的弯矩 用隔离体平衡法即可方便求得 区段叠加法绘弯矩图小结 2 二引直线相连 将相邻二控制弯矩用直线相连 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 当二控制截面间无横向荷载作用时 用实线连接 即为该区段弯矩图形 当二控制截面间尚有横向荷载作用时 则用虚线连接 作为新的 基线 然后再按下面第3 步进行叠加 3 三叠简支弯矩 在新的基线上 叠加该区段按简支梁仅承受跨间横向荷载作用时所求得的弯矩图 注意 竖标垂直于原杆轴 区段叠加法绘弯矩图小结 续 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 区段叠加法分步示意图 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 区段叠加法分步示意图 续 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 第二种情况 对于曲线弯矩图叠加曲线弯矩图的情况 找出一些控制截面弯矩值 至少三点 中间连以适当曲线 主要是定好弯曲方向 一般为连续光滑曲线 区段叠加法绘弯矩图小结 续 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 1 4根据弯矩图绘剪力图 利用微分关系 可方便地根据弯矩图绘剪力图 1 当弯矩图为直线变化时 第一 关于FQ的正负 AC段 M图 下坡 即M为增函数 则其相应的FQ为正 M的一阶导数FQ 0 CB段 M图 上坡 M为减函数 则其相应的FQ为负 M的一阶导数FQ 0 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 第二 关于FQ的大小 可由M图形的坡度 斜率 确定 即FQ DM l 其中 l为该区段长度 M为M图中该区段两端点二弯矩值的高差 而且区段内M图形 坡度 愈陡 剪力值越大 坡度 愈缓 剪力值愈小 坡度 为零 即M图为水平线 则剪力值为零 无剪力 若相邻两区段M图形 坡度 相同 即当有集中力偶作用时 则该两区段剪力值亦相同 3 1 4根据弯矩图绘剪力图 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 现将以上关于FQ的正负和大小的规律 小结如下 当弯矩图为直线变化时 其剪力 式中 l为区段长度 M为该区段两端弯矩值 高差 3 1 4根据弯矩图绘剪力图 FQ 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 以上规律同样适用于竖杆或斜杆 只是须注意 先假想将该杆 放平 即绕该杆下端顺时针或反时针方向转动到水平位置 再遵循 沿杆轴由左向右看 这一前提条件 3 1 4根据弯矩图绘剪力图 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 2 当M图为二次抛物线变化时 根据M与FQ的微分关系可判定 该FQ图为斜直线 一次式 因此 只需按照 一求两端剪力 隔离体平衡法 二引直线相连 的步骤 即可绘出该区段的FQ图 3 1 4根据弯矩图绘剪力图 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 例3 1 试根据图示弯矩图 绘出相应的剪力轮廓图 3 1单跨静定梁 解 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 1 5斜梁 房屋中的楼梯梁和坡屋面梁 是常见的杆轴倾斜的斜梁 1 计算特点 斜梁内力不仅有弯矩M 剪力FQ 还有轴力FN 2 荷载简化 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 反力及内力计算 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 反力及内力计算公式小结 1 反力 2 内力 3 1单跨静定梁 即 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 例3 2 试求作图示斜梁的内力图 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 例3 3 试求作图示斜梁的内力图 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 例3 4 试求作图示三折斜梁的内力图 a 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 1单跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 2多跨静定梁 3 2 1组成特点 构造分析 1 三种组成形式 a 基本形式之一及其层次图 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 2多跨静定梁 b 基本形式之二及其层次图 c 混合组成及其层次图 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 2 基本部分和附属部分基本部分 主要部分 能独立承载的部分 附属部分 次要部分 需依赖于基本部分的支承方能承载的部分 3 2多跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 2 2力的传递 由附属部分向基本部分传递 且当基本部分受荷载时 附属部分无内力产生 当附属部分受荷载时 基本部分有内力产生 3 2多跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 2 3计算步骤 采用分层计算法 其关键是分清主次 先 附 后 基 计算反力和内力 其步骤为 1 作层次图 2 计算反力 3 绘内力图 4 叠加 注意铰处弯矩为零 5 校核 利用微分关系 3 2多跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 例3 5 试求作图示多跨静定梁的内力图 3 2多跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 例3 6 试求图示多跨静定梁的内力图 3 2多跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 2多跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 例3 7 试求图示多跨静定梁铰E和铰F的位置 使中间跨的支座负弯矩MB和MC与跨中正弯矩M2的绝对值相等 3 2多跨静定梁 解 在M图中 MB M2 ql2 8 按题意 要求 MB MC M2 a AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 亦即2 MB ql2 8 于是可得 将式 b 代入式 a 解出 x 0 125l b 与三跨跨度为l的简支梁比较可知 其跨中正弯矩将减小一些 3 2多跨静定梁 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 3静定平面刚架 3 3 1刚架的特点 1 构造特点 一般由若干梁 柱等直杆组成且具有刚结点的结构 称为刚架 杆轴及荷载均在同一平面内且无多余约束的几何不变刚架 称为静定平面刚架 不在同一平面内无多余约束的几何不变刚架 称为静定空间刚架 2 力学特性 刚结点处夹角不可改变 且能承受和传递全部内力 M FQ FN 3 刚架优点 内部空间较大 杆件弯矩较小 且制造比较方便 因此 刚架在土木工程中得到广泛应用 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 3 2静定平面刚架的组成形式 3 3静定平面刚架 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 3 3静定平面刚架内力图的绘制 静定平面刚架的内力图有弯矩图 剪力图和轴力图 静定平面刚架内力图的基本作法是杆梁法 即把刚架拆成杆件 其内力计算方法原则上与静定梁相同 通常是先由刚架的整体或局部平衡条件 求出支座反力或某些铰结点处的约束力 然后用截面法逐杆计算各杆的杆端内力 再利用杆端内力按照静定梁的方法分别作出各杆的内力图 最后将各杆内力图合在一起 就得到刚架的内力图 说明1 一般可按M图 FQ图 FN图的顺序绘制内力图 3 3静定平面刚架 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 1 关于M图的绘制 对于每个杆件而言 实际上是分别应用一次区段叠加法 一求控制弯矩 二引直线相连 三叠简支弯矩 2 关于FQ图的绘制 当M图为直线变化时 可根据微分关系 由M图 下坡 或 上坡 的走向 沿杆轴由左向右看 及其 坡度 的大小 直接确定FQ的正负和大小 如前所述 当M图为二次抛物线变化时 可取该杆段为隔离体 化为等效的简支梁 根据杆端的已知M及跨间荷载 利用力矩方程 求杆端剪力值 3 关于FN图的绘制 对于比较复杂的情况 可取结点为隔离体 根据已知FQ 利用投影方程 求杆件轴力值 3 3 3静定平面刚架内力图的绘制 3 3静定平面刚架 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 说明2 刚架的M图约定绘在杆件受拉一侧 不标注正负号 FQ图和FN图可绘在杆件的任一侧 但必须标注正负号 其符号规定与梁相同 说明3 关于简单刚结点的概念 两杆刚结点 称为简单刚结点 当无外力偶作用时 汇交于该处两杆的杆端弯矩坐标应绘在结点的同一侧 内侧或外侧 且数值相等 作M图时 可充分利用这一特性 3 3 3静定平面刚架内力图的绘制 3 3静定平面刚架 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 例3 8 试求作图示刚架的内力图 解 1 求支反力 2 求作M图 3 3静定平面刚架 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 3静定平面刚架 3 求作FQ图 4 求作FN图 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 例3 9 试求作图示简支刚架的内力图 杆AE MAE MEA 0 解 1 求支反力 2 求作M图 1 一求控制弯矩 杆EC MEC 0 MCE 4 2 8kN m 左侧受拉 杆BD MBD 0 MDB 4 4 16kN m 右侧受拉 杆DF MFD 0 MDF 2 2 1 2 10 22 24kN m 上侧受拉 3 3静定平面刚架 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 3静定平面刚架 a b c AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 2 二引直线相连 3 三叠简支弯矩 3 3静定平面刚架 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 求作FQ图 4 求作FN图 3 3静定平面刚架 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 例3 10 试求作图3 25所示悬臂刚架的内力图 解 1 求支反力 2 求作M图 1 CD段 MDC MCE 2qa2 左侧受拉 二引直线相连 2 DB段 MBD 6qa 2a 2qa2 10qa2 上侧受拉 MDB 2qa2 下侧受拉 3 3静定平面刚架 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 3静定平面刚架 AllRightsReserved 重庆大学土木工程学院 3 求作FQ图 参照M图绘FQ图 3 3静定平面刚架 AllR