2019版高考数学第9章平面解析几何4第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系教案理.docx

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离dr0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切()(3)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()答案：(1)(2)(3)(4) (教材习题改编)若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1B1，3C3，1D(，31，)解析：选C.由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，所以，即|a1|2，解得3a1，故选C. 圆Q：x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为()Axy20Bxy40Cxy40Dxy20解析：选D.因点P在圆上，且圆心Q的坐标为(2，0)，所以kPQ，所以切线斜率k，所以切线方程为y(x1)，即xy20. 若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则实数m_解析：圆C1的圆心是原点(0，0)，半径r11，圆C2：(x3)2(y4)225m，圆心C2(3，4)，半径r2，由两圆外切，得|C1C2|r1r215，所以m9.答案：9 直线x2y50与圆x2y28相交于A，B两点，则|AB|_解析：如图，取AB中点C，连接OC，OA，则OCAB，|OA|2，|OC|，所以|AC|，所以|AB|2|AC|2.答案：2直线与圆的位置关系 典例引领 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外， 则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切B相交 C相离D不确定(2)圆x2y21与直线ykx2没有公共点的充要条件是_【解析】(1)因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，从而圆心O到直线axby1的距离d1，所以直线与圆相交(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k21)x24kx30，直线与圆没有公共点的充要条件是16k212(k21)1，即1，解得k(，)【答案】(1)B(2)k(，)若将本例(1)的条件改为“点M(a，b)在圆O：x2y21上”，则直线axby1与圆O的位置关系如何？解：由点M在圆上，得a2b21，所以圆心O到直线axby1的距离d1，则直线与圆O相切判断直线与圆的位置关系常用的方法提醒上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题 通关练习1直线xsin ycos 1cos 与圆x2(y1)2的位置关系是()A相离B相切C相交D以上都有可能解析：选A.因为圆心到直线的距离d1，所以直线与圆相离2(2018聊城模拟)圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点的个数为()A1B2C3D4解析：选C.因为圆心到直线的距离为2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个圆的切线与弦长问题(高频考点)圆的切线与弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目高考对圆的切线及弦长问题的考查主要有以下三个命题角度：(1)求圆的切线方程；(2)求弦长及切线长；(3)由弦长及切线问题求参数 典例引领 角度一求圆的切线方程 过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A2xy50B2xy70Cx2y50Dx2y70【解析】因为过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，所以点(3，1)在圆(x1)2y2r2上，因为圆心与切点连线的斜率k，所以切线的斜率为2，则圆的切线方程为y12(x3)，即2xy70.故选B.【答案】B角度二求弦长及切线长 (1)若a，b，c是ABC三个内角的对边，且csin C3asin A3bsin B，则直线l：axbyc0被圆O：x2y212所截得的弦长为()A4B2C6D5(2)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|_【解析】(1)因为.故由csin C3asin A3bsin B可得c23(a2b2)圆O：x2y212的圆心为O(0，0)，半径为r2，圆心O到直线l的距离d，所以直线l被圆O所截得的弦长为226，故选C.(2)由于直线xay10是圆C：x2y24x2y10的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线xay10上，所以2a10，所以a1，所以A(4，1)所以|AC|236440.又r2，所以|AB|240436.所以|AB|6.【答案】(1)C(2)6角度三由弦长及切线问题求参数 (2016高考全国卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_【解析】圆C的方程可化为x2(ya)2a22，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r，所以圆心到直线xy2a0的距离为，所以()2()2，解得a22，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4.【答案】4(1)求直线被圆截得的弦长的常用方法几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|2.代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|x1x2|. (2)圆的切线方程的求法几何法：设切线方程为yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而求出k.代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0进而求得k.通关练习1平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0解析：选A.设直线方程为2xyc0，由直线与圆相切，得d，c5，所以所求方程为2xy50或2xy50.2(2018洛阳市第一次统一考试)直线l：ykx1与圆O：x2y21相交于A，B两点，则“k1”是“|AB|”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.依题意，注意到|AB|等价于圆心O到直线l的距离等于，即有，k1.因此，“k1”是“|AB|”的充分不必要条件，选A.3(2016高考全国卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_解析：设圆心到直线l：mxy3m0的距离为d，则弦长|AB|22，得d3，即3，解得m，则直线l：xy60，数形结合可得|CD|4.答案：4圆与圆的位置关系 典例引领 (1)已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(xb)2(y2)21相外切，则ab的最大值为()A. B. C. D2(2)两圆C1：x2y24xy10，C2：x2y22x2y10相交于A、B两点，则|AB|_【解析】(1)由圆C1与圆C2相外切，可得213，即(ab)2a22abb29，根据基本不等式可知9a22abb22ab2ab4ab，即ab，当且仅当ab时，等号成立故选C.(2)由(x2y24xy1)(x2y22x2y1)0得弦AB所在直线方程为2xy0.圆C2的方程即为(x1)2(y1)21，圆心C2(1，1)，半径r21.圆心C2到直线AB的距离d.所以|AB|22.【答案】(1)C(2) 若本例(1)条件中“外切”变为“内切”，求ab的最大值解：由C1与C2内切，得 1.即(ab)21, 又ab，当且仅当ab时等号成立，故ab的最大值为.(1)几何法判断圆与圆的位置关系的步骤确定两圆的圆心坐标和半径；利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，并求r1r2，|r1r2|；比较d，r1r2，|r1r2|的大小，然后写出结论 (2)两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解通关练习1圆C1：(xm)2(y2)29与圆C2：(x1)2(ym)24外切，则m的值为()A2B5C2或5D不确定解析：选C.由C1(m，2)，r13；C2(1，m)，r22；则两圆心之间的距离为|C1C2|235，解得m2或5.故选C.2(2018河南郑州模拟)若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_解析：O1与O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，所以O1AOA.又因为|OA|，|O1A|2，所以|OO1|5.又A，B关于OO1所在直线对称，所以AB长为RtOAO1斜边上的高的2倍所以|AB|2 4.答案：4 解决有关弦长问题的两种方法(1)几何法：直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且r2d2；(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|x1x2|或|AB|y1y2|(k0) 求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程注意：斜率不存在的情形 易错防范(1)求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为1列方程来简化运算(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条：过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解 1(2018安徽江南十校联考)直线l：xym0与圆C：x2y24x2y10恒有公共点，则m的取值范围是()A，B2，2C1，1D21，21解析：选D.圆C的标准方程为(x2)2(y1)24，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d，若直线l与圆C恒有公共点，则2，解得21m21，故选D.2若直线l：ykx1(k0)与圆C：x24xy22y30相切，则直线l与圆D：(x2)2y23的位置关系是()A相交B相切C相离D不确定解析：选A.因为圆C的标准方程为(x2)2(y1)22，所以其圆心坐标为(2，1)，半径为，因为直线l与圆C相切所以，解得k1，因为k0，所以k1，所以直线l的方程为xy10.圆心D(2，0)到直线l的距离d0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则当t取得最大值时，点P的坐标是()A.B.C.D.解析：选D.设P(a，b)为圆上一点，由题意知，0，即(at)(at)b20，a2t2b20，所以t2a2b2|OP|2，|OP|max213，即t的最大值为3，此时kOP，OP所在直线的倾斜角为30，所以点P的纵坐标为，横坐标为3，即P.6过原点且与直线xy10平行的直线l被圆x2(y)27所截得的弦长为_解析：由题意可得l的方程为xy0，因为圆心(0，)到l的距离d1，所以所求弦长222.答案：27在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为_解析：因为AOB90，所以点O在圆C上设直线2xy40与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2xy40的距离，所以点C在以O为焦点，以直线2xy40为准线的抛物线上，所以当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|，所以圆C的最小半径为，所以圆C面积的最小值为.答案：8.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|2.则圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_解析：如图，先求出点B的坐标，进而求出圆C在点B处的切线方程，再求切线在x轴上的截距令(x1)2(y)22中的x0，解得y1，故B(0，1)直线BC的斜率为1，故切线的斜率为1，切线方程为yx1.令y0，解得x1，故所求截距为1.答案：19已知圆C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程(1)过切点A(4，1)；(2)与直线l2：x2y40垂直解：(1)因为kAC，所以过切点A(4，1)的切线斜率为3，所以过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)，即3xy110.(2)设切线方程为2xym0，则，所以m5，所以切线方程为2xy50.10圆O1的方程为x2(y1)24，圆O2的圆心坐标为(2，1)(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|2，求圆O2的方程解：(1)因为圆O1的方程为x2(y1)24，所以圆心O1(0，1)，半径r12.设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|r1r2.又|O1O2|2，所以r2|O1O2|r122.所以圆O2的方程为(x2)2(y1)2128.(2)设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r，又圆O1的方程为x2(y1)24，相减得AB所在的直线方程为4x4yr80.设线段AB的中点为H，因为r12，所以|O1H|.又|O1H|，所以，解得r4或r20.所以圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.1(2018安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上若圆C上存在点M，使MA2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围是()A.B0，1C.D.解析：选A.因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即13.由1得5a212a80，解得aR；由3得5a212a0，解得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.故选A.2(2018广东省五校协作体第一次诊断考试)两圆x2y22axa240和x2y24by14b20恰有三条公切线，若aR，bR且ab0，则的最小值为_解析：两圆x2y22axa240和x2y24by14b20配方得，(xa)2y24，x2(y2b)21，依题意得两圆相外切，故123，即a24b29，21，当且仅当，即a22b2时等号成立，故的最小值为1.答案：13(2017高考全国卷)已知抛物线C：y22x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l