2016年高考复习专题五-函数与导数-含近年高考试题

2016 专题五：函数与导数 在解题中常用的有关结论 （ 需要熟记 ）： (1)曲线 ()y f x 在0的切线的斜率等于0()切线方程为0 0 0( ) ( ) ( )y f x x x f x (2)若可导函数 ()y f x 在 0 处取得极值，则0( ) 0。反之，不成立。 (3)对于可导函数 ()等式 ()0 0（ ） 的解集决定函数 ()）区间。 (4)函数 () 上递增（减）的充要条件是： ()0 ( 0) 恒成立 (5)函数 () 上 不单调 等价于 () 上有极值， 则 可等价转化为 方程( ) 0 在区间 I 上有实根且 为 非二重根。（若 ()为二次函数且 I=R，则有 0 ）。 (6) () 上无极值等价于 ()而得到 ()0 或()0 在 (7)若 ， () 恒成立，则; 若 ， () 恒成立，则(8)若 0，使得0()，则； 若 0，使得0()，则. (9)设 () 若 xD ( ) ( )f x g x 恒成立则有 m ) ( ) 0f x g x(10)若对 11、2212( ) ( )f x g x恒成立，则m i n m a x( ) ( )f x g x. 若对 11， 22，使得12( ) ( )f x g x,则m i n m i n( ) ( )f x g x. 若对 11， 22，使得12( ) ( )f x g x，则m a x m a x( ) ( )f x g x. （ 11） 已知 (),， ()， 若对 11, 22，使得1()() 。 (12)若三次函数 f(x)有三个零点，则方程 ( ) 0 有两个不等实根 12，且极大值大于 0，极小值小于 0. (13)证题中常用的不等式 : l n 1 ( 0 )x x x l n + 1 ( 1 )x x x （ ） 1 1 l n 1 ( 1 )12xx 22l n 1 1 ( 0 )22x 考点一：导数几何意义： 角度一 求切线方程 1 (2014洛阳统考 )已知函数 f(x) 3x x x， a f 4 ， f (x)是 f(x)的导函数，则过曲线 y 一点 P(a， b)的切线方程为 ( ) A 3x y 2 0 B 4x 3y 1 0 C 3x y 2 0 或 3x 4y 1 0 D 3x y 2 0 或 4x 3y 1 0 解析： 选 A 由 f(x) 3x x x 得 f (x) 3 2x 2x，则 a f 4 3 22.由 y y 3曲线 y (a， b)的切线的斜率 k 33 12 3.又 b b 1，所以切点 P 的坐标为 (1,1)，故过曲线 y 的切线方程为 y 1 3(x 1)，即 3x y 2 0. 角度二 求切点坐标 2 (2013辽宁五校第二次联考 )曲线 y 3ln x x 2 在点 的切线方程为 4x y 1 0，则点 坐标是( ) A (0,1) B (1， 1) C (1,3) D (1,0) 解析： 选 C 由题意知 y 3x 1 4，解得 x 1，此时 4 1 y 1 0，解得 y 3， 点 1,3) 角度三 求参数的值 3已知 f(x) ln x， g(x) 1272( 当 x (， )时， g (x)0， ， x 由 F (x)0)， f (x) x 5 6x x 2x 3x . 令 f (x) 0，解得 2， 3. 当 03 时， f (x)0，故 f(x)在 (0,2)， (3， )上为增函数；当 20， x 1. 当 00；当 x1 时， f (x)0， f(x)在区间 (1， )上为增函数，不合题意 当 a0 时， f (x) 0(x0)等价于 (21) (1) 0(x0)，即 x 1a， 此时 f(x)的单调递减区间为 1a， . 由 1a 1，a0，得 a 1. 当 价于 (21) (1) 0(x0)，即 x 12a，此时 f(x)的单调递减区间为 12a， . 由 12a 1，函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x) f(x) 2x，且 g(x)在区间 ( 2， 1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围 解： (1)f (x) b， 由题意得 f0 1，f 0 0， 即 c 1，b 0. (2)由 (1)得， f (x) x(x a)(a0)， 当 x ( ， 0)时， f (x)0， 当 x (0， a)时， f (x)0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为 ( ， 0)， (a， )，单调递减区间为 (0， a) (3)g (x) 2， 依题意，存在 x ( 2， 1)，使不等式 g (x) 20， f(x)为 ( ， )上的增函数，所以函数 f(x)无极值 当 a0 时，令 f (x) 0，得 a，即 x ln a. x ( ， ln a)， f (x)0， 所以 f(x)在 ( ， ln a)上单调递减，在 (ln a， )上单调递增， 故 f(x)在 x ln a 处取得极小值， 且极小值为 f(ln a) ln a，无极大值 综上，当 a 0 时，函数 f(x)无极值； 当 a0 时， f(x)在 x ln a 处取得极小值 ln a，无极大值 针对训练 设 f(x) 21 的导数为 f (x)，若函数 y f (x)的图像关于直线 x 12对称，且 f (1) 0. (1)求实数 a， b 的值； (2)求函数 f(x)的极值 解： (1)因为 f(x) 21， 故 f (x) 62b， 从而 f (x) 6 x b 即 y f (x)关于直线 x 从而由题设条件知 12，即 a 3. 又由于 f (1) 0，即 6 2a b 0， 得 b 12. (2)由 (1)知 f(x) 2312x 1， 所以 f (x) 66x 12 6(x 1)(x 2)， 令 f (x) 0， 即 6(x 1)(x 2) 0， 解得 x 2 或 x 1， 当 x ( ， 2)时， f (x)0， 即 f(x)在 ( ， 2)上单调递增； 当 x ( 2,1)时， f (x)0， 即 f(x)在 (1， )上单调递增 从而函数 f(x)在 x 2 处取得极大值 f( 2) 21， 在 x 1 处取得极小值 f(1) 6. 考点 五 运用导数解决函数的最值问题 典例 已知函数 f(x) ln x ax(a R) (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a0 时，求函数 f(x)在 1,2上的最小值 解 (1)f (x) 1x a(x0)， 当 a 0 时， f (x) 1x a0， 即函数 f(x)的单调增区间为 (0， ) 当 a0 时，令 f (x) 1x a 0，可得 x 1a， 当 00； 当 x1f (x) 1 )，若函数 f(x)在 x 1 处与直线 y 12相切， (1)求实数 a， b 的值； (2)求函数 f(x)在 1e， e 上的最大值 解： (1)f (x) 2 函数 f(x)在 x 1 处与直线 y 12相切， f 1 a 2b 0，f1 b 12， 解得 a 1，b 12. (2)f(x) ln x 12f (x) 1x x 1 当 1e x e 时，令 f (x)0 得 1e 导函数 y f (x)的两个零点为 3 和 0. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)的极小值为 f(x)在区间 5， )上的最大值 解 (1)f (x) 2bcex 2a bx b 令 g(x) (2a b)x b c， 因为 ，所以 y f (x)的零点就是 g(x) (2a b)x b c 的零点，且 f (x)与 g(x)符号相同 又因为 a0，所以 30，即 f (x)0， 当 ， g(x)5 f(0)，所以函数 f(x)在区间 5， )上的最大值是 5针对训练 已知函数 f(x) c，曲线 y f(x)在点 x 1 处的切线为 l： 3x y 1 0，若 x 23时， y f(x)有极值 (1)求 a， b， c 的值； (2)求 y f(x)在 3,1上的最大值和最小值 解： (1)由 f(x) c，得 f (x) 32b.当 x 1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2a b 0， 当 x 23时， y f(x)有极值，则 f 23 0，可得 4a 3b 4 0， 由 ，解得 a 2， b ， 所以 f(1) 4. 所以 1 a b c c 5. (2)由 (1)，可得 f(x) 24x 5， f (x) 34x 4.令 f (x) 0，解之，得 2， 23. 当 x 变化时， f (x)， f(x)的取值及变化情况如下表所示： x 3 ( 3， 2) 2 2， 23 23 23， 1 1 f (x) 0 0 f(x) 8 13 9527 4 所以 y f(x)在 3,1上的最大值为 13，最小值为 9527. 考点七： 利用导数研究恒成立问题及参数求解 典例 (2013全国卷 )设函数 f(x) b， g(x) ex(d)若曲线 y f(x)和曲线 y g(x)都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 y 4x 2. (1)求 a， b， c， d 的值； (2)若 x 2 时， f(x) kg(x)，求 k 的取值范围 解 (1)由已知得 f(0) 2， g(0) 2， f (0) 4， g (0) 4. 而 f (x) 2x a， g (x) ex(d c)，故 b 2， d 2， a 4， d c 4. 从而 a 4， b 2， c 2， d 2. (2)由 (1)知， f(x) 4x 2， g(x) 2ex(x 1) 设函数 F(x) kg(x) f(x) 2x 1) 4x 2， 则 F (x) 2x 2) 2x 4 2(x 2)(1) 由题设可得 F(0) 0，即 k 1. 令 F (x) 0 得 ln k， 2. ( )若 1 k 2 x ( 2， ， F (x) 0；当 x ( )时， F (x) 0，即 F(x)在 ( 2， 单调递减，在 ( )上单调递增，故 F(x)在 2， )上的最小值为 F(而 F( 22 42 x1(2) 0. 故当 x 2 时， F(x) 0，即 f(x) kg(x)恒成立 ( )若 k F (x) 2e2(x 2)(e 2)从而当 x 2 时， F (x) 0，即 F(x)在 ( 2， )上单调递增， 而 F( 2) 0，故当 x 2 时， F(x) 0，即 f(x) kg(x)恒成立 ( )若 k F( 2) 22 2 2e 2 (k x 2 时， f(x) kg(x)不可能恒成立 综上， k 的取值范围是 1， 针对训练 设函数 f(x) 12(1)求 f(x)的单调区间； (2)若当 x 2,2时，不等式 f(x)m 恒成立，求实数 m 的取值范围 解： (1)函数 f(x)的定义域为 ( ， )， f (x) x ( x(1 若 x 0，则 f (x) 0； 若 以 f (x)0，则 1 成立 故 m 的取值范围为 ( ， 2 考点八、 利用导数证明不等式问题 典例 (2013河南省三市调研 )已知函数 f(x) ex(a0) (1)若 a 12，求函数 f(x)的单调区间； (2)当 1 a 1 e 时，求证： f(x) x. 解 (1)当 a 12时， f(x) 12x f (x) 12 f (x) 0，得 x . 当 当 x 时， f (x)0， f(x) x 成立 ( )当 1ln(a 1)时， F (x)0， F(x)在 ( ， a 1)上单调递减，在 (ln(a 1)， )上单调递增 F(x) F(ln(a 1) a 1) (a 1)ln(a 1) (a 1)1 ln(a 1)， 10,1 ln(a 1) 1 1 e) 1 0， F(x) 0，即 f(x) x 成立 综上，当 1 a 1 e 时，有 f(x) x. 法二 ：令 g(a) x f(x) x 只要证明 g(a) 0 在 1 a 1 e 时恒成立即可 g(1) x x ， g(1 e) x(1 e) x 设 h(x) h (x) e， 当 ， h (x)0， h(x)在 ( ， 1)上单调递减，在 (1， )上单调递增， h(x) h(1) e1 0， 即 g(1 e) 0. 由 知， g(a) 0 在 1 a 1 e 时恒成立 当 1 a 1 e 时，有 f(x) x. 针对训练 (2014东北三校联考 )已知函数 f(x) 1213a0)，函数 g(x) f(x) ex(x 1)，函数 g(x)的导函数为 g (x) (1)求函数 f(x)的极值； (2)若 a e， ( )求函数 g(x)的单调区间； ( )求证： x0 时，不等式 g (x) 1 ln x 恒成立 解： (1)f (x) x x 1a ， 当 f (x) 0 时， x 0 或 x 1a，又 a0， 当 x