几何画板在圆锥曲线中的应用.doc

目 录内容摘要1关键词11利用几何画板促进概念的形成21.1探究双曲线的定义及性质21.2探究抛物线的定义及性质51.3探究椭圆内接三角形面积62探求圆锥曲线问题82.1求最值问题82.2几何画板探求轨迹问题92.3给予学生自己探索的机会102.4验证定理成立11注释12参考文献12英文摘要121几何画板在圆锥曲线中的应用内容摘要：在现代教育技术的广泛应用的今天，高中数学课程应提倡实现信息技术和课程内容的有机整合。在这一时代背景和教育背景下，本研究通过研究几何画板在圆锥曲线中的应用，利用几何画板教学的优势，探讨学生借助几何画板进行研究性学习的有效途径。围绕研究主题，全文从以下几个层面和角度进行了相关研究： 1) 研究综述：阐述了目前相关研究的现状，勾勒了几何画板的发展态势，介绍了本研究的相关理论，概括了几何画板的特性。 2) 应用意义：阐述了几何画板是研究性学习圆锥曲线的重要工具，从提高学习效率、信息吸收率、突破重难点、动态把握几何规律、培养学生的创新思维等方面论述了几何画板在高中圆锥曲线课堂教学中的应用意义。 3) 实践探索：几何画板辅助圆锥曲线参数方程的教学、课堂教学实例等方面探索了几何画板实践用于课堂教学的有效模式和有效途径。1. 关键词：几何画板；圆锥曲线；最值；轨迹。研究现状 在现代给予技术日益进步的今天，前人已研究了一些圆锥曲线的曲线、圆心率、切线、通径、焦半径、圆锥曲线的相关性等方面的知识。本文主要就几何画板在圆锥曲线中的一些简单应用进行探讨。圆锥曲线在是高中知识的重点，也是难点，同时也是高考的必考知识。如何学好和教好这个知识点，成为学生和老师所要共同面对的问题。数学是一门集数形关系知识于一身的学科，高中圆锥曲线是综合代数和几何知识运用，其特点之一是数与形的紧密结合。圆锥曲线的概念比较抽象难懂，要想学好学透，需要丰富的想象空间，必须要数形结合。数学缺少了图形，就少了直观，图形缺少了数学那么久显得粗枝大叶了。几何画板就是一个很好辅助工具：其具有交互性，可控制性，大容量性，快速灵活性，可以使数与形很好的结合，正好符合数学教学的要求。几何画板能够因地制宜的创设教学情境，有助于提高学生学习的兴趣和观察能力；同时，师生也能过有很好的课堂互动，能够促进师生之间的情感交流，从而也便于班级工作的管理。充分利用几何画板的表现力和受控性强的特点，既能达到传授知识，开发智力，培养能力又能实现因材施教和个别化教学的目的。现行解析几何教材中，给出了圆锥曲线的统一定义：与一个定点（焦点）的距离和一条定直线（准线）的距离的比是等于常数e的点的轨迹，当0e1时，是双曲线；当e=1时，是抛物线。这些定义概念对于空间想象能力还不足的中学生来讲，还是比较抽象的，如果教师只是用传统的教学方法。即：用黑板粉笔和尺规来进行教学画图，那么学生就比较难理解和接受。新的数学课程标准强化了探索的过程，现在利用几何画板来研究圆锥曲线的一些定义和性质，以及几何画板在圆锥曲线上的应用。1利用几何画板促进概念的形成1.1探究双曲线的定义及性质【制作目标】利用自定义工具作出双曲线，动态“可视化”双曲线的定义、对称性、渐近线、离心率等知识。【方法步骤】（1）制作双曲线：作线段AB，O为线段AB的中点在线段OB上取点C，以O为变换中心，将C旋转1800到点C利用自定义工具中的“双曲线(焦点+定长)”工具，依次点击点A、B、C、C，作出双曲线。双曲线的定义：在双曲线上任取一点D,度量线段DA、DB长度，计算|DADB|，并将度量值和计算结果列表隐藏双曲线和l，追踪点D，拖动点D或生成点D的动画，可以观察线段DA、DB、|DADB|的变化和生成双曲线，当点D在点C的右侧时出现双曲线的右支；当点D移动到线段AB上时轨迹不存在；当点D移动到点C的左侧时出现双曲线的左支。(图1)图1（2）双曲线的范围：分别过点C、C作直线AB的垂线l1、l2。此时，拖动D点即可发现双曲线的一支落在l1的右侧，另一支落在l2的左侧。（3）双曲线的对称性：分别作点D关于点O、直线AB、直线l的对称点拖动点D观察这些对称点的位置变化，探索曲线的对称性。（4）离心率：度量线段OC和线段OB的长度，计算离心率e=OB/OC拖动点C、B，改变焦点和顶点的位置，观察双曲线和离心率的变化。（5）渐近线：以点O为圆心，线段OB为半径作圆，分别交直线l、l1、l2于点M、E、F在圆弧EMF上任取一点G(点G可以是平面上的任意点，把它限定在圆弧EMF上，是为了方便拖动),作直线OG分别作直线OE和OF在双曲线的四分之一支上任取一点K，过K作直线l的平行线，交直线OE于点L度量距离KL拖动点G，观察直线OG与双曲线的位置关系把直线OG拖到直线OE的位置，此时，拖动点K,观察距离KL的变化(图2)。图2（6）推导双曲线的方程：利用自定义工具中的“箭头”工具，给线段OB、OM加上箭头，建立坐标系根据几何条件|DA-DB|=CC推导双曲线的方程。（7）美化界面：隐藏不必显示的对象和标签。双曲线的制作过程生动有趣、直观、形象，明确了各种几何关系，可以吸引学生的注意力，引起他们的学习兴趣。在数学具体情景中对知识的自我发现，从而促进概念的形成，从双曲线的制作就可以引导学生给双曲线下定义。和学生同学探索双曲线的一些性质，动态的曲线或者轨迹，能为学生通过观察、归纳揭示问题的本质，提供一种良好的课堂情境，比传统的教学，更有实效，更能激发学生的学习热情，以及创造能力。学习是一个不断探索求证的过程，在探索求证的过程中必会有新的发现。从双曲线的性质定义，我们可以继续探索它的有关性质。例如：已知直线l交双曲线及其渐近线于A、B、C、D四点，看与有怎样的关系？并证明你的结论。分析：学生咋一看这道数学题，都是字母，比较抽象，有无从下手的感觉，感觉比较棘手。那么教师就可以利用几何画板，分析引导学生，把抽象化具体，化静为动，就可以很好解决这道题。（1）先建立坐标系，作出一个双曲线及其两条渐近线，先作一条直线l与Y轴平行并与双曲，及其渐近线交于A、B、C、D四点。隐藏直线l,并用线段连接AB，CD，度量线段AB,CD的长度，隐藏直线和一些不必要的点，移动点A,由双曲线的对称性可以知道=。（图3）图（2）再新建文件，作出一个双曲线及其两条渐近线，作一条与Y轴不平行的直线l，与双曲线及其渐近线交于A、B、C、D四点。隐藏直线l,并用线段连接AB，CD，度量线段AB,CD的长度，隐藏直线和一些不必要的点，移动点A,再观察线段AB与CD长度的数值变化。（图4）图4 从表中可以看出，无论如何的移动点A，线段CD和AB的长度，都随点A的移动而改变大小，但是它们的数值都相同，即线段=。结论：可以得出：=。那么可以几何画板加以验证，如图4用线段连接AD，并标示出中点坐标M，同理，找出线段BC的中点坐标N,并制表（图4）。证明如下：当直线l斜率不存在时，即直线l与Y轴平行。由对称性知=当直线l斜率存在时，方程设为：y=kx+m由y=kx+m和联立得 得AD的中点坐标M的横坐标又由y=kx+m和联立得BC的中点横坐标所以 又MN同在直线l上 所以=扩展：从=这个结论还可以推得出 ： 因为= ，而点O到线段AB与CD的高相等，所以1.2探究抛物线的定义及性质【制作目标】利用自定义工具快速生成抛物线，动态“可视化”抛物线定义，对称性、离心率等知识。【方法步骤】（1）设定抛物线的焦点和准线：任作一直线AB和直线AB外一点C，分别作为抛物线的准线和焦点(图5)。图5（2）作抛物线：利用自定义工具中的抛物线(焦点+准线)工具，依次点击点C和直线AB ,得到抛物线(图5)。（3）抛物线的定义：在抛物线上取点D，作线段DE垂直AB于E，并利用自定义工具作出直角标记度量线段DC、DE的长度，计算DC/DE,并将度量值和计算结果列表拖动点D，探索表格中的数据规律。（4）作抛物线的顶点：作线段CFAB于F，则线段CF的中点O为抛物线的顶点。抛物线的对称性：以直线CF为镜面，将点D反射到点D拖动点D，观察点D与抛物线的位置关系(图5)。（5）推导抛物线的方程：定义O为原点，建立如图坐标系，利用自定义工具中的箭头工具给坐标轴标上箭头，推导抛物线的方程(图5)。抛物线的离心率：e=DC/DE=1，拖动点D，观察曲线和离心率e的变化。（6）美化界面：隐藏不必显示的对象和标签。小结：从1.1和1.2得出：数学学科不仅仅是一种具有严谨系统的演绎科学，其活动也不仅仅只是高度的抽象思维活动，不仅仅只是逻辑推理，还有实验。在实验中发现和创造，可以帮住人们获取感性认识，并从感性上升为理性认识。几何画板在圆锥曲线应用上，可以把抽象的知识形象化具体化，使得课堂生动活泼，可以弥补传统教学方式在直观感、立体感和动态感方面的不足。不仅能突破难点，促进知识的识记和掌握，而且能加深学生对知识的理解记忆和运用。通过e的动态变化所引起点的轨迹的相应变化的演示，可使学生认识到，当变量在一定范围内变化时，轨迹虽也在变化，但并不影响图形的本质的变化，然而一旦超越了某一临界状态，量变就会成为质变。这样，能自然的创设情境，不仅可以加深学生对数学知识本质属性的理解，而且还能潜移默化地渗透数学归纳和唯物辩证法的思想，帮助和培养学生理解数学中所体现运动变化，量变引起质变的规律，深化了学生对圆锥曲线本质的理解，而传统的教学不具有这样的性质特点。1.3探究椭圆内接三角形面积【制作目标】将圆上的三角形投影到椭圆上，度量它们的面积，分析面积的关系，作出猜想，并进行证明，培养学生的发现能力，发展创新思维。【方法步骤】（1）提出问题：利用自定义工具作椭圆，在椭圆上任作一个三角形,探究三角形的面积。（2）探究圆与椭圆的关系：在圆A上任取一点C，过点C作CDAB于D(AB为圆的直径)，在线段CD上取点E，选择点C、 E作轨迹，则点E的轨迹是椭圆，且DE/DC为定值，该定值为=b/a，其中，a，b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长。(图6) 图6（3）探究圆上的三角形与椭圆上的三角形的位置关系：作圆的内接三角形FGH作FIAB于I，以I为缩放中心，为缩放比例对点F进行缩放，得到点J，同理得到点M、N，则FGH与JMN 的各顶点各边分别一一对应。(图7)图7探究圆上的三角形与椭圆上的三角形的面积关系：度量FGH与JMN的面积，计算FGH与JMN的面积比，拖动三角形的顶点，改变顶点位置，观察面积比的变化，得出猜想：FGH与JMN的面积比为定值并证明猜想(图8)。（4）美化界面：隐藏不必显示的对象和标签。一个复杂问题通过几何画板创设情景，能为抽象思维提供直观模型，使数学关系的静态结构表现为时空的动态过程，为改善学生学习数学起到画龙点睛的作用。几何画板就像一个数学实验室，在数学实验室创设的情景更有利于学生的学习，更能提高教学效果。 2、探求圆锥曲线问题2.1求最值问题已知点A在圆上移动，点B在椭圆上移动,求|AB|的最大值。【制作目标】动态可视化求最值的观察、猜想、探究、问题解决的全过程。【方法步骤】（1）作图：绘制点(-2,0)、(2,0)、 (0,1)、(0,2)、(0,3)、(0,4)、(0,-1) 利用自定义工具中的椭圆（两个顶点和一点）工具，依次匹配点(-2,0)、(2,0)、 (0,1)，得到椭圆以点(0,3)为圆心作单位圆。（图9）图9（2）测量：在圆和椭圆上分别取点A、B,度量点A与点B之间的坐标距离|AB|，拖动线段AB，观察|AB|的数值变化。（图9）（3）猜想：通过观察|AB|的数值变化作出猜想：当A和B分别与(0,4)、(0,-1)重合时|AB|有最大值。（图9）（4）探究：固定B,拖动点A,观察|AB|的数值变化，发现线段AB过圆心C(0,3)时|AB|最大作直线BC，交圆于D、E。（图9）（5）推理：|AB|BC|+|CA|=|BC|+|CD|=|BD|。（图9）（6）问题转化：|AB|的最大值转化为|BD|的最大值转化为|BC|的最大值设点B的坐标为(s,t),则|BC|2=s2+(t-4)2 =16-3(t+1)2，问题进一步转化为二次函数f(t)=16-3(t+1)2在区间-1,1上的最大值。（7）问题解决：当t= -1时，二次函数f(t)= 16-3(t+1)2在区间-1,1上取得最大值16，从而|BC|的最大值为4，|BD|的最大值为5，因此|AB|的最大值也是5。（图10）图10数与形的完美结合，它们在一起内容上互相联系，方法上互相渗透，并在一定的条件下可以互相转化。数与形各有其长，运用数形结合思想，使逻辑思想，形象思维完美地统一起来。因此，数形结合的思想，是我们解决数学问题的常用方法，而几何画板正是给我们提供这样的一个平台。2.2几何画板探求轨迹问题设双曲线方程为，P为双曲线上任意一点，F为双曲线的一个焦点，讨论以|PF|为直径的圆与圆x2y2=a2的位置关系。【制作目标】动态可视化的观察、猜想、探究、问题解决的全过程。（1）打开几何画板软件，建立坐标系，并隐藏不必要的点和网格。在x轴上构造一个以2a为短轴的双曲线（其中ab0），F为双曲线的一个焦点。（2）以原点是圆心，a为半径作圆。在双曲线上任意取点P，连接PF，作以|PF|为直径的圆，并点击点P，看生成点P的动画，可以看到它的轨迹是一个圆。（3）观察以|PF|为直径的圆与圆x2y2=a2的位置关系。（4）结论：当点P在双曲线的右支上时，外切；当点P在双曲线的左支上时，内切（图11、12）。 图11 图12（）讨论：当条件ab0变为0b0,b0，都有结论当点P在双曲线的右支上时，外切；当点P在双曲线的左支上时，内切。用几何画板比单纯的用双曲线的定义及两圆相切时的几何性质，更加直观更具有生动性，把抽象的东西具体化了，通过实践，给学生探索的机会，使学生更容易理解。并且能活跃课堂气氛，可以培养学生的归纳总结能力，还可以增强师生的情感交流。23给予学生自己探索的机会设方程为，若M、N是椭圆关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM,PN的斜率都存在，并记为,探求是否与点P位置无关的定值，并证明。【方法步骤】建立坐标系，隐藏网格、单位点和原点，构造一个椭圆，在椭圆上任意的取M、P两点，并取点M旋转180度得到与原点对称的点N，分别度量直线PM,PN的斜率，并计算它们的斜率乘积。动点P，直线PM,PN的斜率改变时，观察的值的变化情况（图13）。 结论：通过画板观察，无论直线PM,PN的斜率如何改变，它们斜率的乘积总是一个定值。但这是一个感性的认识，要上升为理性认识，我们还必须给予证明。证明：设点P，M，N，则， 又和联立解得 = 即 = 所以证明了是与点P位置无关的定值。思考：如果点P在其他圆锥曲线上呢，的值还是定值吗？显然除了圆外（它们斜率乘积是-1），双曲线和抛物线都没具有这样的性质。这就给了学生探索发现问题、分析问题、解决问题的机会，在不断的探索中能学到新知识，增加他们的成就感，使其对数学产生浓厚的兴趣。2.4验证定理成立设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴。看直线CA与原点O怎样的关系？并证明。建立坐标系，作出抛物线的图像，在X轴的负半轴作出它的垂线，在垂线上取一点C，再作过点C与X轴的平行线交抛物线于点B,连接BF交抛物线于点A,再连接直线CA，度量其斜率，再隐藏直线CA,连接OA，并度量其斜率，拖动点C，观察直线CA和OA斜率的变化情况，并制表如图14。图14 观察：随着点C的上下移动，直线AB也在移动，直线CA和OA的斜率也在变化，但是，无论它们怎么变化，其值都是相同的。结论：无论点C如何拖动，直线CA和OA的斜率都是相同，由直线的性质可以知道CAOA，即直线CA过原点O。其证明如下： 证明：设直线AB方程为：x=my+代入得所以 而, 又OA与OC有共同点O， AC过原点O。实践证明：几何画板以其强大的功能，在圆锥曲线的应用上，打破了传统的常规教学与教法，并与传统的教学教法相结合，给课堂带来了活力，培养学生的观察、分析问题和学生的创造性的思维能力以及实践归纳能力。特别是培养学生数形结合的思想，有利于数学学习方法的掌握。并且也有利于教师自身素质的提高，使得教学效果有起到“动一子而全盘皆活”的作用。几何画板是一座很好连接传统教学方法与现代教学方法的桥梁。但同时也要明白，它只是一种辅助教学的工具，有其自身的局限性。作为21世纪的教师，应遵循教育教学规律，积极探索几何画板等先进教学媒体的功能和优势，使之更好的服务于教学。注释1. 陶丹；几何画板在圆锥曲线中的应用研究J中国期刊网2006参考文献1 魏志雄，王豫黔几何画板数学课件制作实例教程M北京：人民邮电出版社，20062 方其桂主编，张杏林等几何画板多媒体CAI课件制作实例教程M北京： 清华大学出版社，20023刘同军几何画板在数学教学中的应用M山东：中国石油大学出版社20054 朱俊杰，缪亮，周传高编著几何画板课件制作百例M北京：清华大学出版社20055 缪亮，朱俊杰，李捷编著几何画板辅助数学教学M北京：清华大学出版社20046 方其桂主编几何画板4X课件制作百例M北京：清华大学出版社20047 陶维林几何画板实用范例教程M北京：清华大学出版社20018 陶维林用几何画板教平面解析几何M北京：清华大学出版社20019 陶维林几何画板新特色与实用技巧M北京：清华大学出版社2003Geometers Sketchpad in the application of conicAbstract：In the modern educational technology widely used today, high school mathematics curriculum should promote information technology and course content to achieve organic integration. Background and education in this context, this study of Geometers Sketchpad in the conic section application, the advantages of teaching using Geometers Sketchpad to explore the use of Geometers Sketchpad to study student learning and effective way. On the research topic, the full text from several level