高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念教案新人教B版.docx

8.1.1向量数量积的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系教学重点：平面向量数量积的含义及几何意义教学难点：向量的投影及数量积的几何意义.【知识导学】知识点一两个向量的夹角(1)定义：给定两个非零向量a，b(如图所示)，在平面内任选一点O，作a，b，则称0，内的AOB为向量a与向量b的夹角，记作a，b(2)规定0a，b.在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有a，bb，a(3)垂直：当a，b时，称向量a和向量b互相垂直，记作ab.在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直(4)当a，b0时，a与b同向；当a，b时，a与b反向；当a，b或a与b中至少有一个为零向量时，ab.知识点二向量数量积(内积)的定义一般地，当a与b都是非零向量时，称|a|b|cosa，b为向量a和b的数量积(也称为内积)，记作ab，即ab|a|b|cosa，b由定义可知，两个非零向量a与b的数量积是一个实数知识点三平面向量的数量积的性质(1)如果e是单位向量，则aeea|a|cosa，e(2)abab0，且ab0ab.(3)aa|a|2，即|a|.(4)cosa，b(|a|b|0)(5)|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立知识点四向量的投影如图1，设非零向量a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A，B，则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影如图2中，向量a在向量b上的投影为.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有可能相反知识点五向量数量积的几何意义如图(1)(2)(3)所示当a，b时，的方向与b的方向相反，而且|a|cosa，b一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cosa，b为向量a在向量b上的投影的数量投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数两个非零向量a，b的数量积ab，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积这就是两个向量数量积的几何意义【新知拓展】1a在b方向上的投影的数量也可以写成，它的符号取决于角的余弦值2在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0180.3ab的符号与a与b的夹角的关系设两个非零向量a与b的夹角为，则(1)若ab0为锐角或零角当0时，a与b共线同向，ab0.(2)ab0或a与b中至少有一个为0.(3)ab0为钝角或平角，当180时，a与b共线反向，ab0(0)，向量夹角不一定为锐角(钝角)4向量的数量积ab|a|b|cos的主要应用(1)利用公式求数量积，应先求向量的模，正确求出向量的夹角(向量的夹角由向量的方向确定)(2)利用公式变式cos求夹角，应正确求出两个整体：数量积ab与模积|a|b|，同时注意0，(3)利用ab0证明垂直问题1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ab0，则ab.()(2)两个向量的数量积是一个向量()(3)当ab时，|ab|a|b|.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)已知向量a与轴l的夹角为30且|a|，则a在轴l上的投影的数量为_(2)已知|a|4，|b|2，且a与b的夹角为135，则ab_.(3)在直角坐标系xOy内，已知向量与x轴和y轴正向的夹角分别为120和30，则在x轴、y轴上的投影的数量分别为_和_答案(1)(2)8(3)|题型一 两个向量的夹角例1已知向量a，b的夹角为60，试求下列向量的夹角：(1)a，b；(2)2a，b.解如图，由向量夹角的定义可知：(1)向量a，b的夹角为120.(2)向量2a，b的夹角为60.金版点睛(1)向量的夹角是针对非零向量定义的(2)注意区别向量的夹角和直线的夹角，两者的范围不同，前者是0，180，后者是0，90(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，BAC不是向量与的夹角，作，则BAD才是向量与的夹角已知向量a与b的夹角为60且|b|a|，求ab与a的夹角解如图，作a，b，则BOA60，连接BA，则ab.取OA的中点D，连接BD，|b|a|，ODOBBDDA，BDO602BAO，BAO30.ab与a的夹角为30.题型二 向量的数量积定义例2已知|a|5，|b|2，若：(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为30.分别求ab.解(1)当ab时，若a与b同向，则它们的夹角为0，ab|a|b|cos052110；若a与b反向，则它们的夹角为180，ab|a|b|cos18052(1)10.(2)当ab时，则它们的夹角为90，ab|a|b|cos905200.(3)当a与b的夹角为30时，ab|a|b|cos30525.金版点睛求平面向量的数量积的一般步骤及注意事项(1)确定向量的模和夹角，根据定义求出数量积(2)a与b垂直当且仅当ab0.(3)非零向量a与b共线当且仅当ab|a|b|.已知|a|4，|b|5，向量a与b的夹角，求ab.解ab|a|b|cos4510.题型三 向量在直线上的投影例3已知直线l，(1)向量|4，l60，求在l上的投影的数量OA1；(2)向量|4，l90，求在l上的投影的数量OB1；(3)向量|4，l120，求在l上的投影的数量OC1.解(1)OA14cos6042；(2)OB14cos90400；(3)OC14cos12042.金版点睛对向量在直线上的投影的理解从定义上看，向量b在直线上的投影是一个向量，其在直线上的投影的数量可正、可负、可为零(1)当时，该数量为正实数(2)当时，该数量为负实数(3)当0时，该数量为|b|.(4)当时，该数量为|b|.注意：此处b为非零向量(5)当时，该数量为0.已知|a|8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的投影的数量为()A4B4C4D8答案B解析因为a在e方向上的投影的数量为|a|cos4，故选B.题型四 向量数量积的几何意义例4已知|b|3，a在b方向上的投影的数量是，则ab为()A3B.C2D.解析ab|a|b|cos|b|a|cos3.答案B金版点睛利用向量数量积的几何意义求两向量的数量积需明确两个关键点：相关向量的模和一个向量在另一向量方向上的投影的数量代入向量数量积的公式即可已知ab16，若a在b方向上的投影的数量为4，则|b|_.答案4解析设a与b的夹角为，ab16，|a|b|cos16.又a在b方向上的投影的数量为4，|a|cos4，|b|4.1已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b上的投影的数量为()A.B3C4D5答案A解析设a与b的夹角为，则向量a在b上的投影的数量为|a|cos.2已知|a|4，|b|2，当它们之间的夹角为时，ab()A4B4C8D8答案B解析根据向量数量积的定义得ab|a|b|cosa，b42cos4.3设e1，e2是两个平行的单位向量，则下面的结果正确的是()Ae1e21Be1e21C|e1e2|1D|e1e2|1答案C解析当e1，e2同向时，e1e2|e1|e2|cose1，e211cos01，当e1，e2反向时，e1e2|e1|e2|cose1，e211cos180