高中三角函数知识点与常见习题类型解法

精品文档 1欢迎下载 三角函数知识点与常见习题类型解法三角函数知识点与常见习题类型解法 1 1 任意角的三角函数 任意角的三角函数 1 弧长公式 R 为圆弧的半径 为圆心角弧度数 为弧长 Ral al 2 扇形的面积公式 R 为圆弧的半径 为弧长 lRS 2 1 l 3 同角三角函数关系式 倒数关系 商数关系 1cottan aa a a a cos sin tan a a a sin cos cot 平方关系 1cossin 22 aa 4 诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 所谓奇偶指的是整数的奇偶性 k 2 k 函 数 x xsinxcosxtanxcot a asin acosatan acot a 2asin acosatan acot a 2 acosasin acot atan 2 2 两角和与差的三角函数 两角和与差的三角函数 1 两角和与差公式 sinsincoscos cos aa sincoscossin sin aaa tantan1 tantan tan a a aa 注 公式的逆用或者变形 2 二倍角公式 aaacossin22sin 1cos2sin21sincos2cos 2222 aaaaa a a a 2 tan1 tan2 2tan 从二倍角的余弦公式里面可得出 降幂公式 2 2cos1 cos2 a a 2 2cos1 sin2 a a 3 半角公式 可由降幂公式推导出 2 cos1 2 sin aa 2 cos1 2 cos aa a a a a a aa sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2 tan 精品文档 2欢迎下载 3 3 三角函数的图像和性质 其中 三角函数的图像和性质 其中 zk 三角函数xysin xycos xytan 图像 定义域 2 kx 值域 1 1 1 1 最小正周期 2 T 2 T T 奇偶性奇偶奇 单调性 单调递增 2 2 2 2 kk 单调递减 2 3 2 2 2 kk 单调递增 2 12 kk 单调递减 12 2 kk 单调递增 2 2 kk 对称性 对称轴 2 kx 对称中心 0 k 对称轴 kx 对称中心 0 2 k 对称中心 0 2 k 零值点 kx 2 kx kx 最值点 1 2 2 max ykx 1 2 2 max ykx 1 2 max ykx 1 12 max ykx 无 4 函数函数的图像与性质 的图像与性质 sin xAy 本节知识考察一般能化成形如图像及性质 sin xAy 1 函数和和的周期都是 sin xAy cos xAy 2 T 2 函数和和的周期都是 tan xAy cot xAy T 3 五点法作的简图 设 取 0 来求相应的值 sin xAy xt 2 2 3 2x 以及对应的值再描点作图 y 4 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换 提倡先平移后伸缩 切记每一个变换总是对字 母而言 即图像变换要看 变量 起多大变化 而不是 角变化 多少 x 精品文档 3欢迎下载 函数的平移变换 将图像沿轴向左 右 平移个单位 左加右减 0 aaxfyxfy xfy xa 将图像沿轴向上 下 平移个单位 上加下减 0 bbxfyxfy xfy yb 函数的伸缩变换 将图像纵坐标不变 横坐标缩到原来的倍 0 wwxfyxfy xfy w 1 缩短 伸长 1 w10 w 将图像横坐标不变 纵坐标伸长到原来的 A 倍 0 AxAfyxfy xfy 伸长 缩短 1 A10 A 函数的对称变换 将图像绕轴翻折 180 整体翻折 xfyxfy xfy y 对三角函数来说 图像关于轴对称 x 将图像绕轴翻折 180 整体翻折 xfyxfy xfy x 对三角函数来说 图像关于轴对称 y 将图像在轴右侧保留 并把右侧图像绕轴翻折到左侧 偶 xfyxfy xfy yy 函数局部翻折 保留在轴上方图像 轴下方图像绕轴翻折上去 局部翻动 xfyxfy xfy xxx 5 5 方法技巧 方法技巧 三角函数恒等变形的基本策略 1 常值代换 特别是用 1 的代换 如等 45tancottancossin1 22 xxaa 2 项的分拆与角的配凑 如分拆项 aaaaaa 222222 cos1cos cos sincos2sin 配凑角 等 22 3 降次与升次 切化弦法 4 引入辅助角 这里辅助角所在象限由 cos sin cossin 2222 bababay 的符号确定 角的值由确定 ba a b tan 典型例题 1 已知 求的值 2tan xxx cos sin 精品文档 4欢迎下载 解 解 因为 又 2 cos sin tan x x x1cossin 22 aa 联立得 1cossin cos2sin 22 xx xx 解这个方程组得 5 5 cos 5 52 sin 5 5 cos 5 52 sin x x x x 2 求的值 330cos 150sin 690tan 480sin 210cos 120tan 解 解 原式 30360cos 150sin 30720tan 120360sin 30180cos 180120tan o 3 3 30cos 150sin 30tan 120sin 30cos 60tan 3 若 求的值 2 cossin cossin xx xx xxcossin 解 解 法一 因为 2 cossin cossin xx xx 所以 cos sin2cossinxxxx 得到 又 联立方程组 解得xxcos3sin 1cossin 22 aa 10 10 cos 10 103 sin 10 10 cos 10 103 sin x x x x 所以 10 3 cossinxx 法二 因为 2 cossin cossin xx xx 所以 cos sin2cossinxxxx 所以 所以 22 cos sin4 cos sinxxxx xxxxcossin84cossin21 精品文档 5欢迎下载 所以有 10 3 cossinxx 4 求证 xxxx 2222 sintansintan 证明 证明 法一 右边 222222222 sintan cos1 tan cos tantansintanxxxxxxxxx 法二 左边 22222222222 sintan cos1 tancostantan cos1 tansintanxxxxxxxxxxx 5 5 求函数在区间上的值域 6 2 sin 2 x y 2 0 解 解 因为 所以 由正弦函数的图象 得到 20 x 2 0 x 6 7 626 x 所以 1 2 1 6 2 sin 2 x y 2 1 6 2 sin 2 x y 6 6 求下列函数的值域 1 2 2cossin 2 xxy cos sincossin2xxxxy 解 解 1 2cossin 2 xxy 3 cos cos2coscos1 22 xxxx 精品文档 6欢迎下载 令 则xtcos 4 13 2 1 4 13 2 1 3 1 1 222 ttttyt 利用二次函数的图象得到 4 13 1 y 2 cos sincossin2xxxxy cos sin1 cos sin 2 xxxx 令 则xxtcossin 2 4 sin x 2 2 t 则利用二次函数的图象得到 1 2 tty 21 4 5 y 7 7 若函数y Asin x 0 0 的图象的一个最高点为 它到其相邻的最低点之 2 2 间的图象与x轴交于 6 0 求这个函数的一个解析式 解 解 由最高点为 得到 最高点和最低点间隔是半个周期 从而与x轴交点的间隔是 2 2 2 A 个周期 这样求得 T 16 所以 4 1 4 4 T 8 又由 得到可以取 2 8 sin 22 4 8 sin 2 4 xy 8 8 已知函数f x cos4x 2sinxcosx sin4x 求f x 的最小正周期 若求f x 的最大值 最小值 数的值 2 0 x x x y cos3 sin1 域 精品文档 7欢迎下载 解 解 因为f x cos4x 2sinxcosx sin4x cos2x sin2x cos2x sin2x sin2x 4 2sin 2 2 4 sin 22sin2cos2sin sin cos 22 xxxxxxx 所以最小正周期为 若 则 所以当x 0 时 f x 取最大值为当 2 0 x 4 3 4 4 2 x 1 4 sin 2 时 f x 取最小值为 8 3 x 2 9 已知 求 1 2 的值 2tan sincos sincos 22 cos2cos sinsin 解 1 223 21 21 tan1 tan1 cos sin 1 cos sin 1 sincos sincos 2 22 22 22 cossin cos2cossinsin cos2cossinsin 3 24 12 222 1 cos sin 2 cos sin cos sin 2 2 2 2 说明 利用齐次式的结构特点 如果不具备 通过构造的办法得到 进行弦 切互化 就会使解题 过 程简化 10 求函数的值域 2 1 sincos sincos yxxxx 解 设 则原函数可化为sincos2sin 22 4 txxx 周 精品文档 8欢迎下载 因为 所以 22 13 1 24 yttt 22 t 周 当时 当时 2t max 32y 1 2 t min 3 4 y 所以 函数的值域为 3 32 4 y 周 11 已知函数 1 求的最小正周期 的最大值 2 4sin2sin22f xxxxR 周 f x f x 及此时x的集合 2 证明 函数的图像关于直线对称 f x 8 x 解 22 4sin2sin222sin2 1 2sin f xxxxx 2sin22cos22 2sin 2 4 xxx 1 所以的最小正周期 因为 f xT xR 所以 当 即时 最大值为 22 42 xk 3 8 xk f x2 2 2 证明 欲证明函数的图像关于直线对称 只要证明对任意 有 f x 8 x xR 成立 88 fxfx 因为 2 2sin 2 2 2sin 2 2 2cos2 8842 fxxxx 2 2sin 2 2 2sin 2 2 2cos2 8842 fxxxx 所以成立 从而函数的图像关于直线对称 88 fxfx f x 8 x 12 已知函数 y cos2x sinx cosx 1 x R 2 1 2 3 1 当函数 y 取得最大值时 求自变量 x 的集合 2 该函数的图像可由 y sinx x R 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到 精品文档 9欢迎下载 解 1 y cos2x sinx cosx 1 2cos2x 1 2sinx cosx 1 2 1 2 3 4 1 4 1 4 3 cos2x sin2x cos2x sin sin2x cos 4 1 4 3 4 5 2 1 6 6 4 5 sin 2x 2 1 6 4 5 所以 y 取最大值时 只需 2x 2k k Z 即 x k k Z 6 2 6 所以当函数 y 取最大值时 自变量 x 的集合为 x x k k Z 6 2 将函数 y sinx 依次进行如下变换 i 把函数 y sinx 的图像向左平移 得到函数 y sin x 的图像 6 6 ii 把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 得到函数 y sin 2x 的图 2 1 6 像 iii 把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍 横坐标不变 得到函数 y sin 2x 的 2 1 2 1 6 图像 iv 把得到的图像向上平移个单位长度 得到函数 y sin 2x 的图像 4 5 2 1 6 4 5 综上得到 y cos2x sinxcosx 1 的图像 2 1 2 3 历年高考综合题历年高考综合题 一 选择题 一 选择题 1 08 全国一 6 是 2 sincos 1yxx A 最小正周期为的偶函数B 最小正周期为的奇函数2 2 C 最小正周期为的偶函数 D 最小正周期为的奇函数 2 08 全国一 9 为得到函数的图象 只需将函数的图像 cos 3 yx sinyx A 向左平移个长度单位B 向右平移个长度单位 6 6 精品文档 10欢迎下载 C 向左平移个长度单位D 向右平移个长度单位 5 6 5 6 3 08 全国二 1 若且是 则是 sin0 tan0 A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角 4 08 全国二 10 函数的最大值为 xxxfcossin A 1 B C D 223 5 08 安徽卷 8 函数图像的对称轴方程可能是 sin 2 3 yx A B C D 6 x 12 x 6 x 12 x 6 08 福建卷 7 函数y cosx x R 的图象向左平移个单位后 得到函数y g x 的图象 则g x 的 2 解析式为 A sinx B sinx C cosx D cosx 7 08 广东卷 5 已知函数 则是 2 1 cos2 sin f xxx xR f x A 最小正周期为的奇函数 B 最小正周期为的奇函数 2 C 最小正周期为的偶函数 D 最小正周期为的偶函数 2 8 08 海南卷 11 函数的最小值和最大值分别为 cos22sinf xxx A 3 1B 2 2C 3 D 2 3 2 3 2 9 08 湖北卷 7 将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F 若F 的一条对sin yx 3 称轴是直线则的一个可能取值是 1 x A B C D 5 12 5 12 11 12 11 12 10 08 江西卷 6 函数是 sin sin2sin 2 x f x x x A 以为周期的偶函数 B 以为周期的奇函数4 2 C 以为周期的偶函数 D 以为周期的奇函数2 4 11 若动直线与函数和的图像分别交于两点 则的最大值xa sinf xx cosg xx MN MN 为 A 1 B C D 223 12 08 山东卷 10 已知 则的值是 4 cossin3 65 7 sin 6 精品文档 11欢迎下载 A B C D 2 3 5 2 3 5 4 5 4 5 13 08 陕西卷 1 等于 sin330 A B C D 3 2 1 2 1 2 3 2 14 08 四川卷 4 2 tancotcosxxx tan xsin xcosxcot x 15 08 天津卷 6 把函数sin yx x R的图象上所有的点向左平行移动 3 个单位长度 再把所 得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 得到的图象所表示的函数是 A sin 2 3 yxx R B sin 26 x yx R C sin 2 3 yxx R D sin 2 3 yxx R 16 08 天津卷 9 设 5 sin 7 a 2 cos 7 b 2 tan 7 c 则 A abc B acb C bca D bac 17 08 浙江卷 2 函数 2 sincos 1yxx 的最小正周期是 A 2 B C 3 2 D 2 18 08 浙江卷 7 在同一平面直角坐标系中 函数 20 2 3 2 cos x x y的图象和直线 2 1 y的交点个数是 A 0 B 1 C 2 D 4 二 填空题二 填空题 19 08 北京卷 9 若角的终边经过点 则的值为 12 P tan2 20 08 江苏卷 1 的最小正周期为 其中 则 cos 6 f xx 5 0 21 08 辽宁卷 16 设 则函数的最小值为 0 2 x 2 2sin1 sin2 x y x 22 08 浙江卷 12 若 3 sin 25 则cos2 23 08 上海卷 6 函数f x sin x sin x 的最大值是 3 2 精品文档 12欢迎下载 三 解答题三 解答题 24 08 四川卷 17 求函数的最大值与最小值 24 74sin cos4cos4cosyxxxx 25 08 北京卷 15 已知函数 的最小正周期为 2 sin3sinsin 2 f xxxx 0 求的值 求函数在区间上的取值范围 f x 2 0 3 26 08 天津卷 17 已知函数 的最小值正周 2 2s incoss1 2cof xxxx 0 xR 期是 求的值 求函数的最大值 并且求使取得最大值的的集合 2 f x f xx 27 08 安徽卷 17 已知函数 cos 2 2sin sin 344 f xxxx 求函数的最小正周期和图象的对称轴方程 求函数在区间上的值域 f x f x 12 2 精品文档 13欢迎下载 28 08 陕西卷 17 已知函数 2 2sincos2 3sin3 444 xxx f x 求函数的最小正周期及最值 令 判断函数的奇偶性 f x 3 g xfx g x 并说明理由 精品文档 14欢迎下载 参考答案 参考答案 一 一 选择题 1 1 10 D C C B B A D C 9 A A 11 20 11 C 13 B 14 D 15 C 16 D 17 B 18 C 二 填空题 19 20 10 21 22 23 2 3 4 3 25 7 三 解答题 三 解答题 24 解 24 74sin cos4cos4cosyxxxx 22 72sin24cos1 cosxxx 22 72sin24cossinxxx 2 72sin2sin 2xx 2 1 sin26x 由于函数在中的最大值为 2 16zu 11 2 max 1 1610z 最小值为 2 min 1 166z 故当时取得最大值 当时取得最小值sin21x y10sin21x y6 点评 此题重点考察三角函数基本公式的变形 配方法 符合函数的值域及最值 突破 利用倍角公式降幂 利用配方变为复合函数 重视复合函数中间变量的范围是关键 2525 解 1 cos23 sin2 22 x f xx 311 sin2cos2 222 xx 1 sin 2 62 x 因为函数的最小正周期为 且 f x 0 所以 解得 2 2 1 精品文档 15欢迎下载 由 得 1 sin 2 62 f xx 因为 所以 所以 2 0 3 x 7