2016年山西省孝义市高考数学试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 34 页） 2016 年山西省孝义市高考数学过目卷（文科） 一 20个小题） 1集合 A=1， 2， 3， 4， 5， B=1， 2， 3， C=z|z=xA 且 yB，则集合 C 中的元素个数为（ ） A 3B 11C 8D 12 2设集合 A= 1， 0， 1， 2， 3， B=x|2x 0，则 AB=（ ） A 3B 2， 3C 1， 3D 0， 1， 2 3若 z（ 1+i） =i（其中 i 为虚数单位），则 |z|等于（ ） A B C 1D 4复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5已知向量 =（ +1， 1）， =（ +2， 2），若（ + ） （ ），则 =（ ） A 4B 3C 2D 1 6 ， 20， ， ， D 是边 的一点（包括端点），则 的取值范围是（ ） A 1， 2B 0， 1C 0， 2D 5， 2 7命题 “xR， 2x+1 0”的否定是（ ） A xR， 2x+10B xR， 2x+1 0 C xR， 2x+10D xR， 2x+1 0 8某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ） A 30B 12C 24D 4 9已知不等式组 构成平面区域 （其中 x， y 是变量），若目标函数 z=y（ a 0）的最小值为 6，则实数 a 的值为（ ） A B 6C 3D 10已知 x、 y 取值如表： x 0 1 4 5 6 y 1.3 m 3m 2 页（共 34 页） 画散点图分析可知： y 与 x 线性相关，且求得回归方程为 =x+1，则 m 的值（精确到 （ ） A 1如图是 2013 年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图， 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（ ） A 85， 84B 84， 85C 86， 84D 84， 86 12学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了 n 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在 10， 50）（单 位：元），其中支出在 30， 50）（单位：元）的同学有 67 人，其频率分布直方图如图所示，则 n 的值为（ ） A 100B 120C 130D 390 13若 +） = ， 是第三象限的角，则 =（ ） A B C 2D 2 14已知 0，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（ ） A B C D 15函数 f（ x） =x+ ）（ xR， 0）的最小正周期为 ，为了得到 f（ x）的图象，只需将函数 g（ x） =x+ ）的图象（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 第 3 页（共 34 页） 16在 ， A=60， ， D 是 上的一点， ， 面积为 1，则 长为（ ） A 2 B C D 17已知双曲线 （ a 0）的离心率为 ，则 a 的值为（ ） A B C D 18如图过抛物线 p 0）的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A， B， C，若|2|且 |3，则抛物线的方程为（ ） A x 19已知函数 f（ x） =，则函数 y=f（ x）的大致图象是（ ） A B C D 20已知函数 f（ x） = ，若存在 04 时， f（ =f（ 则 x1f（ 取值范围是（ ） A 0， 1） B 1， 4C 1， 6D 0， 1 3， 8 二 6个小题） 21随机向边长为 5， 5， 6 的三角形中投一点 P，则点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的概率是 22甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话 事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 第 4 页（共 34 页） 23把正整数按一定的规则排成了 如图所示的三角形数表设 i， jN+）是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数，如 1则 24底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥如图，半球内有一内接正四棱锥 S 四棱锥的体积为 ，则该半球的体积为 25已知 前 n 项 和，且满足 ， =3n（ nN+），则 26已知数列 前 n 项和 2n+1，若不等式 2n 3（ 5 ） nN+恒成立，则整数 的最大值为 三、解答题（共 9小题，满分 0分） 27在 ， a， b， c 是其三个内角 A， B， C 的对边，且 ab， ）求角 C 的大小 （ ）设 c= ，求 面积 S 的最大值 28已知 ， ，其前 n 项和为 满足 （ ）求证：数列 是等差数列； （ ）证明： + 29如图，三棱柱 棱垂直底面， 0， C= D 是棱 （ ）证明：平面 平面 ）平面 此棱柱为两部分，求这两部分体积的比 第 5 页（共 34 页） 30如图，已知 平面 边形 矩形，四边形 直角梯形， 0， F=， （ 1）求证： 平面 （ 2）求证： 平面 （ 3）求三棱锥 E 体积 31某学校为了选拔学生参加 “中学生知识竞赛 ”，先在本校进行选拔测试（满分 150分），若该校有 100 名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图 （ ）根据频率分布直方图，估算这 100 名学生参加选拔测试的平均成绩； （ ）该校推荐选拔测试成绩在 110 以上的学生代表学校参加市知识竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加市知识竞赛的学生中随机抽取 2 人，求选取的两人 的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率 32截至 2014 年 11 月 27 目，我国机动车驾驶人数量突破 3 亿大关，年均增长超过两千万为了解我地区驾驶预考人员的现状，选择 A， B， C 三个驾校进行调查参加各驾校科目一预考人数如下： 驾校 A 驾校 B 驾校 C 人数 150 200 250 若用分层抽样的方法从三个驾校随机抽取 24 人进行分析，他们的成绩如下： 第 6 页（共 34 页） 87 97 91 92 93 99 97 86 92 98 92 94 87 89 99 92 99 92 93 76 70 90 92 64 （ 1）求三个驾校分别应抽多少人？ （ 2）补全下面的茎叶图，并求样本的众数和极差； （ 3）在对数据进一步分析时，满足 |x 4 的预考成绩，称为具有 M 特性在样本中随机抽取一人， 求此人的预考成绩具有 M 特性的概率 33已知抛物线 ： p 0）的焦点到准线的距离为 2 （ ）求 p 的值； （ ）如图所示，直线 相交于 A、 B 两点， C 为抛物线 上异于 A、 B 的一点，且 x 轴，过 B 作 垂线，垂足为 M，过 C 作直线 M 于点 N，设 （ i）线段 |长是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由； （ 证： A， B， C， N 四点共圆 34设 f（ x） = 2 （ ）若 f（ x）在其定义域内为单调递增函数，求实数 p 的取值范围； （ ）设 g（ x） = ，且 p 0，若在 1， e上至少存在一点 得 f（ g（ 立，求实数 p 的取值范围 35已知函数 f（ x） =1（ a 0， e 为自然对数的底数） （ 1）求函数 f（ x）的最小值； （ 2）若 f（ x） 0 对任意的 xR 恒成立，求实数 a 的值； （ 3）在（ 2）的条件下，证明： 1+ + + n+1）（ nN*） 选修 4何证明选讲 36如图， O 的直径， C， F 为 O 上的点， 角平分线，过点 C 作 延长线于 D 点， 足为点 M 第 7 页（共 34 页） （ 1）求证： O 的切线； （ 2）求证： B=A 选修 4坐标系与参数方程 37极坐标系与直角坐标系 相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为 （ I）求 C 的直角坐标方程； （ ）设直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，求弦长 | 先修 4不等式选讲 38设函数 f（ x） =|x 1|+|x a| （ 1）若 a= 1，解不等式 f（ x） 3 （ 2）如果 xR， f（ x） 2，求 a 的取值范围 第 8 页（共 34 页） 2016 年山西省孝义市高考数学过目卷（文科） 参考答案与试题解析 一 20个小题） 1集合 A=1， 2， 3， 4， 5， B=1， 2， 3， C=z|z=xA 且 yB，则集合 C 中的元素个数为（ ） A 3B 11C 8D 12 【考点】 集合的表示法 【分析】 根据题意和 z=xA 且 yB，利用列举法求出集合 C，再求出集合 C 中的元素个数 【解答】 解：由题意得， A=1， 2， 3， 4， 5， B=1， 2， 3， C=z|z=xA 且 yB， 当 x=1 时， z=1 或 2 或 3；当 x=2 时， z=2 或 4 或 6；当 x=3 时， z=3 或 6 或 9； 当 x=4 时， z=4 或 8 或 12；当 x=5 时， z=5 或 10 或 15； 所以 C=1， 2， 3， 4， 6， 8， 9， 12， 5， 10， 15中的元素个数为 11， 故选： B 2设集合 A= 1， 0， 1， 2， 3， B=x|2x 0，则 AB=（ ） A 3B 2， 3C 1， 3D 0， 1， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 B 中不等式变形得： x（ x 2） 0， 解得： x 0 或 x 2，即 B=x|x 0 或 x 2， A= 1， 0， 1， 2， 3， AB= 1， 3， 故选： C 3若 z（ 1+i） =i（其中 i 为虚数单位），则 |z|等于（ ） A B C 1D 【考点】 复数求模 【分析】 把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，最后利用复数模的计算公式求模 【解答】 解： z（ 1+i） =i， z= = = ， |z|= = ， 故选： A 4复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 第 9 页（共 34 页） 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由复数代数形式的除法运算化简复数 ，然后求出复数在 复平面内对应点的坐标，则答案可求 【解答】 解： ， 复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ， ） 位于第四象限 故选： D 5已知向量 =（ +1， 1）， =（ +2， 2）， 若（ + ） （ ），则 =（ ） A 4B 3C 2D 1 【考点】 数量积判断两个平面向量的垂直关系 【分析】 利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出 【解答】 解： ， =（ 2+3， 3）， ， =0， （ 2+3） 3=0，解得 = 3 故选 B 6 ， 20， ， ， D 是边 的一点（包括端点），则 的取值范围是（ ） A 1， 2B 0， 1C 0， 2D 5， 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由于 D 是边 的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设 =+ （ 01）由 20， ， ，可得 =21 1代入利用数量积运算性质即可得出 = 7+2 再利用一次函数的单调性即可得出 【解答】 解： D 是边 的一点（包括端点）， 可设 = + （ 01） 20， ， ， =21 1 = + = + =（ 2 1） 4+1 = 7+2 第 10 页（共 34 页） 01， （ 7+2） 5， 2 的取值范围是 5， 2 故选： D 7命题 “xR， 2x+1 0”的否定是（ ） A xR， 2x+10B xR， 2x+1 0 C xR， 2x+10D xR， 2x+1 0 【考点】 命题的否定 【分析】 对于含有量词的命题的否定，要对量词和结论同时进行否定， “”的否定为 “”， “ ”的否定为 “”即可求解 【解答】 解解： “存在性命题 ”的否定一定是 “全称命题 ” “xR， 2x+1 0”的否定是 xR， 2x+10 故选 C 8某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ） A 30B 12C 24D 4 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 三视图复原 的几何体是三棱柱去掉一个三棱锥的几何体，结合三视图的数据，求出体积即可 【解答】 解：由三视图知，几何体是某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体，几何体是底面为边长为 3， 4， 5 的三角形，高为 5 的三棱柱被平面截得的， 如图所示， 所以几何体的体积为： =24 故选： C 第 11 页（共 34 页） 9已知不等式组 构成平面区域 （其中 x， y 是变量），若目标函数 z=y（ a 0）的最小值为 6，则实数 a 的值为（ ） A B 6C 3D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义确定最优解，解方程即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=y（ a 0）得 y= x+ ， 则直线斜率 0， 平移直线 y= x+ ， 由图象知当直线 y= x+ 经过点 A 时，直线的截距最小，此时 z 最小，为 6， 由 得 ， 即 A（ 2， 0）， 此时 2a+0= 6， 解得 a=3， 故选： C 第 12 页（共 34 页） 10已知 x、 y 取值如表： x 0 1 4 5 6 y 1.3 m 3m 散点图分析可知： y 与 x 线性相关，且求得回归方程为 =x+1，则 m 的值（精确到 （ ） A 考点】 线性回归方程 【分析】 将 代入回归方程为 可得 ，则 4m=可得出结论 【解答】 解：将 代入回归方程为 可得 ，则 4m=得 m= 即精确到 m 的值为 故选： C 11如图是 2013 年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分 数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（ ） A 85， 84B 84， 85C 86， 84D 84， 86 【考点】 茎叶图 【分析】 根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分 93 和一个最低分 79 后，把剩下的五个数字求出平均数和众数 【解答】 解：由茎叶图知，去掉一个最高分 93 和一个最低分 79 后， 所剩数据 84， 84， 86， 84， 87 的平均数为 （ 84+84+86+84+87） =85； 众数为： 84 故选： A 第 13 页（共 34 页） 12学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了 n 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在 10， 50）（单 位：元），其中支出在 30， 50）（单位：元）的同学有 67 人，其频率分布直方图如图所示，则 n 的值为（ ） A 100B 120C 130D 390 【考点】 频率分布直方图 【分析】 根据小矩形的面积之和，算出位于 10 30 的 2 组数的频率之和为 而得 到位于 30 50 的数据的频率之和为 1 由频率计算公式即可算出样本容量 n 的值 【解答】 解： 位于 10 20、 20 30 的小矩形的面积分别为 0=0= 位于 10 20、 20 30 的据的频率分别为 得位于 10 30 的前 3 组数的频率之和为 此可得位于 30 50 数据的频率之和为 1 支出在 30， 50）的同学有 67 人，即位于 30 50 的频数为 67， 根据频率计算公式，可 得 =之得 n=100 故选： A 13若 +） = ， 是第三象限的角，则 =（ ） A B C 2D 2 【考点】 运用诱导公式化简求值 【分析】 已知等式利用诱导公式化简求出 据 为第三象限 角，利用同角三角函数间基本关系求出 式利用诱导公式化简，整理后将各自的值代入计算即可求出值 【解答】 解： +） = ，即 ， 是第三象限的角， ， 则原式 = = = = ， 第 14 页（共 34 页） 故选： B 14已知 0，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 y=x+）中参数的物理意义 【分析】 结合特殊值，求解三角函数的递减区间，并验证结果即可 【解答】 解：取 ， ，其减区间为（ kZ）， 显然 （ kZ）， 0 ，即 ， 不在减区间内 排除 B， C； 取 ， ，其减区间为 （ kZ）， 显然 （ kZ）， 0 ，即 不在减区间内 排除 D 故选： A 15函数 f（ x） =x+ ）（ xR， 0）的最小正周期为 ，为了得到 f（ x）的图象，只需将函数 g（ x） =x+ ）的图象（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 先由周期求得 ，再利用诱导公式、函数 y=x+）的图象变换规律，可得结论 【解答】 解：由于函数 f（ x） =x+ ）（ xR， 0）的最小正周期为 = ， =2，f（ x） =2x+ ）， 故 g（ x） =x+ ） =2x+ ） =2x+ ） =2x ） 第 15 页（共 34 页） 把函数 g（ x） =2x ）的图象向左平移 个单位长度，可得 y=（ x+ ） =2x+ ） =f（ x）的图象， 故选： C 16在 ， A=60， ， D 是 上的一点， ， 面积为 1，则 长为（ ） A 2 B C D 【考点】 三角形中的几何计算 【分析】 在 ，通过 三角形的面积，求出 余弦定理求出 可求解 后在 ，由正弦定理可求 【解答】 解： ， ， 面积为 1， ， ，则 ， 则 2，得 ， 在 ，由余弦定理可得 = ， 35， 5， 在 ， 5， A=60， ， 由正弦定理可得， ， ， 故选： D 17已知双曲线 （ a 0）的离心率为 ，则 a 的值为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 直接利用双曲线 求出半焦距，利用离心率求出 a 即可 【解答】 解：双曲线 ，可得 c=1， 双曲线的离心率为： ， ，解得 a= 故选： B 第 16 页（共 34 页） 18如图过抛物线 p 0）的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A， B， C，若|2|且 |3，则抛物线的方程为（ ） A x 【考点】 抛物线的标准方程 【分析】 分别过点 A， B 作准线的垂线，分别交准线于点 E， D，设 |a，根据抛物线定义可知 |a，进而推断出 值，在直角三角形中求得 a，进而根据 用比例线段的性质可求得 p，则抛物线方程可得 【解答】 解：如图分别过点 A， B 作准线的垂线，分别交 准线于点 E， D，设 |a，则由已知得： |2a，由定义得： |a，故 0， 在直角三角形 ， |3， |3+3a， 2| 3+3a=6， 从而得 a=1， = 求得 p= ， 因此抛物线方程为 x 故选 D 19已知函数 f（ x） =，则函数 y=f（ x）的大致图象是（ ） 第 17 页（共 34 页） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 先求出其定义域，得到 x|x0，根据函数的奇偶性排除 B、 C 两项，再证明当 x0 时，函数 图象恒在 x 轴上方，排除 D 选项，从而可得正确的选项是 A 【解答】 解：由题意可得，函数的定义域 x0，并且可得函数为非奇非偶函数，满足 f（ 1）=f（ 1） =1，可排除 B、 C 两个选项 当 x 0 时， t= = 在 x=e 时， t 有最小值为 函数 y=f（ x） =，当 x 0 时满足 y=f（ x） 0， 因此，当 x 0 时，函数图象恒在 x 轴上方，排除 D 选项 故选 A 20已知函数 f（ x） = ，若存在 04 时， f（ =f（ 则 x1f（ 取值范围是（ ） A 0， 1） B 1， 4C 1， 6D 0， 1 3， 8 【考点】 分段函数的应用 【分析】 由已知中函数 f（ x） = ，可得当 04 时，若 f（ =f（ 则 1， 3，进而得到 x1f（ 表达式，数形结合，可得 x1f（ 取值范围 【解答】 解：函数 f（ x） = 的图象如下图所示： 当 04 时，若 f（ =f（ 第 18 页（共 34 页） 则 1， 3， x1f（ =x1f（ = 2 |2|） = ， 其图象如下图所示： 即 x1f（ 范围是 1， 4 故选： B 二 6个小题） 21随机向边长为 5， 5， 6 的三角形中投一点 P，则点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的概率是 4 24 【考点】 几何概型 【分析】 本题符合几何概型，由题意作图，求面积比即可 【解答】 解：本题符合几何概型，由题意作图如下， 则点 P 应落在黑色阴影部分， S = 6 =12， 第 19 页（共 34 页） 三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积 S= ， 故点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的概率 P= = 故答案为： 22甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考 了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话 事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 甲 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 利用反证法，即可得出结论 【解答】 解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立； 假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分； 故答案为：甲 23把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表设 i， jN+）是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数，如 1则 38 【考点】 归纳推理 【分析】 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，故 行的第 7 个数字，即第 2+4+6+7 个正偶数 【解答】 解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列， 故 行的第 7 个数字， 即第 2+4+6+7=19 个正偶数 故 19=38， 故答案为： 38 24底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥如图，半球内有一内接正四棱锥 S 四棱锥的体积为 ，则该半球的体积为 3 第 20 页（共 34 页） 【考点】 球内接多面体 【分析】 设出球的半径，利用棱锥的体积公式，求解半径，然后求解半球的体积 【解答】 解：连结 点为 0，设球的半径为 r， 由题意可知 O=D=OB=r 则 ， 四棱锥的体积为： = ， 解得 r= ， 半球的体积为： = 故答案为： 25已知 前 n 项和，且满足 ， =3n（ nN+） ，则 231007 2 【考点】 数列递推式 【分析】 由 =3n，得 ，两式作商得： ，由此可得数列 奇数项和偶数项分别构成以 3 为公比的等比数列，分组后利用等比数列的前 n 项和求得 【解答】 解：由 =3n，得 ， 两式作商得： ， 又 ， ， 则数列 奇数项和偶数项分别构成以 3 为公比的等比数列， a1+（ a2+ = + 第 21 页（共 34 页） = + =231007 2 故答案为： 231007 2 26已知数列 前 n 项和 2n+1，若 不等式 2n 3（ 5 ） nN+恒成立，则整数 的最大值为 4 【考点】 数列递推式；数列的函数特性；数列的求和 【分析】 由数列递推式求得首项，然后构造出等差数列 ，求出通项后代入不等式 2n 3（ 5 ） 理后得到 5 然后根据数列 的单调性求得最值得答案 【解答】 解：当 n=1 时， ，得 ； 当 n2 时， ，两式相减得 ，得 ， 又 ， 数列 是以 2 为首项， 1 为公差的等差数列， ，即 0， 不等式 2n 3（ 5 ） 价于 5 记 ， n2 时， n3 时， ， 5 ，即 ， 整数 的最大值为 4 三、解答题（共 9小题，满分 0分） 27在 ， a， b， c 是其三个内角 A， B， C 的对边，且 ab， ）求角 C 的大小 第 22 页（共 34 页） （ ）设 c= ，求 面积 S 的最大值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ ）化简已知可得 2A+ ） =而有 2A+ =2B 或 2A+ = 2B，结合已知大边对大角即可解得 C 的值 （ ）由（ ）可求 余弦定理 可得 ，从而可求 面积 S 的最大值 【解答】 解：（ ） 2（ =2 22A+ ） =2 2A+ ） = 2A+ =2B 或 2A+ = 2B， 由 ab，知 AB，所 以 2A+ =2B 不可能成立，所以 2A+ = 2B， 即 A+B= ， 所以 C= = 6 分 （ ）由（ ）， C= ，所以 ， S= ， ab=a2+33 ab=a2+ab， 即 面积 S 的最大值为 12 分 28已知 ， ，其前 n 项和为 满足 （ ）求证：数列 是等差数列； （ ）证明： + 【考点】 数列的求和；等差关系的确定 第 23 页（共 34 页） 【分析】 （ ）根据数列的递推关系进行化简结合等差数列的定义即可证明数列 是等差数列； （ ）求出 通项公式，利用放缩法进行证明不等式 【解答】 解：（ ）当 n2 时， n 1= ， 即 1 1， 则 ， 从而 构成以 1 为首项， 2 为公差的等差数列 （ ） 构成以 1 为首项， 2 为公差的等差数列， =1+2（ n 1） =2n 1，即 ， 当 n2 时， = = （ ） 从而 + 1+ （ 1 ） 29如图，三棱柱 棱垂直底面， 0， C= D 是棱 （ ）证明：平面 平面 ）平面 此棱柱为两部分，求这两部 分体积的比 【考点】 平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 （ ）由题意易证 平面 由面面垂直的判定定理即可证得平面 面 第 24 页（共 34 页） （ ）设棱锥 B 1， ，易求 11= ，三棱柱 1=1，于是可得（ V ： 1，从而可得答案 【解答】 证明：（ 1）由题意知 C=C， 平面 面 由题设知 5， 0，即 C=C， 平面 面 平面 平面 （ 2）设棱锥 B 1， ，由题意得 11= ， 又三棱柱 =1， （ V ： 1， 平面 此棱柱两部分体积的比为 1： 1 30如图，已知 平面 边形 矩形，四边形 直角梯形， 0， F=， （ 1）求证： 平面 （ 2）求证： 平面 （ 3）求三棱锥 E 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1） 面 面 用判定定理可判断 （ 2）运用勾股定理可判断 根据线面的转化， 平面 面 出 平面 （ 3） 平面 C 【解答】 解：（ 1） 四边形 矩形， 面 面 平面 （ 2）过 C 作 足为 M， 四边形 矩形， B=2 ， ， ， ， 第 25 页（共 34 页） 平面 平面 面 面 E=B， 平面 （ 3） 平面 面 面 B=A， 平面 C = 242 31某学校为了选拔学生参加 “中学生知识竞赛 ”，先在本校进行选拔测试（满分 150分），若该校有 100 名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布 直方图 （ ）根据频率分布直方图，估算这 100 名学生参加选拔测试的平均成绩； （ ）该校推荐选拔测试成绩在 110 以上的学生代表学校参加市知识竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加市知识竞赛的学生中随机抽取 2 人，求选取的两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率 【考点】 古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图 【分析】 （ ）根据频率分布直方图，求出每个矩形的面积，即每组的概率，每组的中值乘以每组的频率之和即这 100 名学生参加选拔测试的平均成绩 ； （ ）利用频率分布直方图计算分数在 110， 130）和 130， 150）的人数分别予以编号，列举出随机抽出 2 人的所有可能，找出符合题意得情况，利用古典概型计算即可 【解答】 解析：（ ）设平均成绩的估计值为 ，则： =80 （ ）该校学生的选拔测试分数在 110， 130）有 4 人， 第 26 页（共 34 页） 分别记为 A， B， C， D，分数在 130， 150）有 2 人，分别记为 a， b， 则 6 人中随机选取 2 人，总的事件有 （ A， B），（ A， C），（ A， D），（ A， a），（ A， b）， （ B， C），（ B， D），（ B， a），（ B， b）， （ C， D），（ C， a），（ C， b）， （ D， a），（ D， b）， （ a， b）共 15 个基本事件， 其中符合题设条件的基本事件有 8 个 故选取的这两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为 32截至 2014 年 11 月 27 目，我国机动车驾驶人数量突破 3 亿大关，年均增长超过两千万为了解我地区驾驶预考人员的现状，选择 A， B， C 三个驾校进行调查 参加各驾校科目一预考人数如下： 驾校 A 驾校 B 驾校 C 人数 150 200 250 若用分层抽样的方法从三个驾校随机抽取 24 人进行分析，他们的成绩如下： 87 97 91 92 93 99 97 86 92 98 92 94 87 89 99 92 99 92 93 76 70 90 92 64 （ 1）求三个驾校分别应抽多少人？ （ 2）补全下面的茎叶图，并求样本的众数和极差； （ 3）在对数据进一步分析时，满足 |x 4 的预考成绩，称为具有 M 特性在样本中随机抽取一人， 求此人的预考成绩 具有 M 特性的概率 【考点】 茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）求出 A、 B、 C 三个驾校的总人数，根据同一比例求出从三个驾校分别应抽的人数； （ 2）根据表中数据，补全茎叶图，求出样本的众数与极差； （ 3）求出满足 |x 4 的预考成绩的个数，计算满足条件的概率 【解答】 解：（ 1） A、 B、 C 三个驾校的人数分别是 150、 200、 250， 从三个驾校分别应抽的人数是 24 =6， 24 =8， 24 =10； （ 2）根据表中数据，补全茎叶图如图所示， 第 27 页（共 34 页） 根据茎叶图，得； 样本的众数是 92， 极差是 99 64=35； （ 3）根据题意，满足 |x 4 的预考成绩，有 99、 99、 99、 98、 97、 97、 94、 93、 93 共9 个， 在样本数据中随机抽取一人，则此人的预考成绩具有 M 特性的概率是 P= = 33已知抛物线 ： p 0）的焦点到准线的距离为 2 （ ）求 p 的值； （ ）如图所示，直线 相交于 A、 B 两点， C 为抛物线 上异于 A、 B 的一点，且 x 轴，过 B 作 垂线，垂足为 M，过 C 作直线 M 于点 N，设 （ i）线段 |长是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由； （ 证： A， B， C， N 四点共圆 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质 【分析】 （ ）由题意焦点到准线的距离等于 p； （ ）（ i）设 A（ B（ 则 C（ M（ 从而写出直线 抛物线方程联立整理可得 24） x+，从而利用韦达定理可得x1+， ； 再求出