高二数学线性规划应用研究曲线与方程知识精讲人教

高二数学线性规划应用研究 曲线与方程 知识精讲【同步教育信息】一. 本周教学内容： 1. 线性规划应用研究 2. 曲线与方程知识点 1. 线性规划问题的数学模型 线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取最大值或最小值问题，一般地，线性规划问题的数学模型是： 其中aij（i1，2，n，j1，2，m），bj（j1，2，n）都是常数，xj（j1，2，m）是非负变量，求zc1x1c2x2cmxm的最大值或最小值，这里cj（j1，2，m）是常量。 前面讨论了两个变量的线性规划问题，这类问题可以用图解法来求最优解，涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法求解。 2. 线性规划在实际中的应用 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。常见的问题有： （1）物资调运问题。 例如，已知A1、A2两煤矿每年的产量，煤需经B1、B2两个车站运往外地，B1、B2两个车站的运输能力是有限的，且已知A1、A2两煤矿运往B1、B2两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最小？ （2）产品安排问题。 例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位的甲种或乙种产品所能获得的利润都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，能使每月获得的总利润最大？ （3）下料问题 例如，要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小？ 3. 曲线的方程和方程的曲线的定义 对于曲线C和方程f（x，y）0，若 （1）C上的点的坐标都是方程f（x，y）0的解； （2）以方程f（x，y）0的解为坐标的点都在曲线C上，则称曲线C是方程f（x，y）0的曲线，方程f（x，y）0是曲线C的方程。 注意以上两条件必须同时满足，曲线的方程和方程的曲线是同时成立，相互的。 4. 求曲线方程的一般方法 （1）有关概念 坐标法：借助直角坐标系研究几何图形的方法。 平面解析几何：用坐标法研究几何图形的一门学科。 平面解析几何研究的主要问题： （I）根据已知条件，求出表示曲线的方程。 （II）通过方程研究平面曲线的性质。 （2）求曲线方程的一般步骤 （I）建立适当坐标系用有序数对（x，y）表示曲线上的任一点的坐标。 （II）写出适合条件的点M的集合PMP（M）0。 （III）用坐标表示条件P（M）列出方程f（x，y）0。 （IV）化方程f（x，y）0为最简形式。 （V）证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。 5. 求曲线方程的一般方法 （I）直译法 （II）转移法（代入法） （III）交轨法【典型例题】 例1. 研究如下问题（是否可以用线性规划方法求解） 某家具厂有方木料900m3，五合板600m2准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使利润最大？ 点拨、探究一： （1）解决线性规划问题的一般方法和步骤是：理清题意，列出表格；设好变元并列出不等式组和目标函数；准确作图，准确计算。 （2）根据本题的题意试完成下面的表格： （3）怎样设参数？ 设生产书桌x张，生产书橱y张，获利润为z元。 （4）目标函数、约束条件分别是什么？ 问题： 问题： 问题： （5）怎样求解这三个问题？ 问题的解是：z24000元。问题的解是：z72000元。问题用图解法求解。 先画出可行域，如图所示阴影部分 因此，只生产书橱600张可获得最大利润，最大利润是72000元。 总结：根据研究结果，只生产书橱可获利最大。 点拨、探究二： 为什么会出现只生产书橱可获利最大的情形呢？原因之一，书橱比书桌价格高，因此应尽可能多生产书橱；原因之二，生产一张书橱只需五合板1 m2，生产一张书桌却要五合板2 m2，按家具厂五合板的存有量600 m2，可生产书橱600张，若同时又生产书桌，则生产一张书桌就要减少两张书橱，显然不合算；原因之三，生产书橱的另一种材料，即方木料是足够供应的，家具厂方木料存有量为900 m3，而生产600张书橱只需要方木料300 m3。 这是一个特殊的线性问题，像这样的问题不用线性规划知识也能解决。 点拨、探究三：若本题中方木料存有量为90 m3，其他条件不变，求解本题。 画出可行域，如图所示阴影部分，且过可行域内的点M（100，400）而平行于 故生产书桌100张、书橱400张，可获最大利润56000元。 例2. 设A、B两点的坐标是（-1，-1）、（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程。 分析：根据求曲线方程的一般步骤求解。 解：设M（x，y）是线段AB的垂直平分线上任意一点，如图所示，也就是点M属。 由两点间的距离公式，点M所适合的条件可表示为： 将上式两边平方，整理得： 下面证明方程是线段AB的垂直平分线的方程。 （1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程的解； （2）设M1的坐标（x1，y1）是方程的解，即 点M到A、B的距离分别是 |M1A|M1B|，即点M1在线段AB的垂直平分线上 由（1）、（2）可知，方程是线段AB的垂直平分线的方程。 例3. 已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。 分析：根据曲线方程的关系求解。 解：设点M（x，y）是曲线上任意一点，MBx轴，垂足是B，那么点M属于集合PM|MA|MB|2。由距离公式，点M适合的条件可表示为 将式移项后再两边平方，得： 因为曲线在x轴的上方，所以y0，虽然原点O的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是 它的图形是关于y轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点。 小结：本题的解题方法叫直译法，在求曲线方程的过程中经常用直译法求解。 例4. 已知A（2，0）、B（-1，2），点C在直线2xy30上移动，求ABC重心G的轨迹方程。 分析：重心G的运动是由点C在直线2xy30上运动引起的，因而设G（x，y），再用x，y表示出点C的坐标，就可以建立起点G的轨迹方程。 解：设G（x，y），C（x，y） G是ABC的重心，且A（2，0），B（-1，2） 又C（x，y）在直线2xy30上 小结：本题中的动点C、G可分别称为主动点与从动点，为求从动点G的轨迹，应设出两边点坐标，再根据主动点与从动点存在的关系，建立两动点坐标之间的关系式，用从动点坐标表示出主动点坐标，代入主动点坐标满足的方程，得动点G的轨迹方程，这种方法叫转移法。 例5. 制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3g、B药品4g、C药品6g。乙种烟花每枚含A药品2g、B药品11g、C药品6g。已知每天原料的使用限额为A药品120g、B药品400g、C药品240g。甲烟花每枚可获利1.2美元，乙种烟花每枚可获利1美元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大？ 解：设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则 作出可行域，如下图所示： 域上的点A且与原点的距离最大。此时z1.2xy取最大值。 答：每天生产甲种烟花24枚、乙种烟花24枚，能使利润总额达到最大。 小结：把实际问题抽象为线性规划问题是解线性规划应用问题的关键，即根据实际问题找出约束条件和目标函数是解应用问题的关键。 例6. P（x，y）的轨迹方程。 分析：思路一：P点变动取决于M、N点的变动，图为M、N分别在两条射线上，为减少参数个数，设： P（x，y） 以下设法消去两个参数x1，x2，需要有三道等式，一是利用向量 思路二：参数法，设MN斜率为参数k，把P点坐标（a，b）看做已知量，建立MN直线方程，求得M、N两点坐标用a、b、k表示，再利用中点坐标公式和 详解：方法一： 方法二：设动点P（a，b），直线MN斜率为k 消去y，得关于x的二次方程： 代入，得P点轨迹方程为： 当斜率k不存在时，P点坐标为（1，0）满足方程。 小结：（1）本题提供的两种解法均用到选取参数，而参数可以是点的坐标、直线的斜率。在参数法中，同时用到了坐标转移法。特别是在解法二中，为防止出现混淆，把动点坐标看做已知点坐标（a，b），并把它转移到相关点上，体现了化动为静的思想。 （2）解法中还渗透了整体数学思想。如解法一中，把x1x2，x1x2作整体代入，而不必具体求出x1、x2。解法二中，把两条射线方程合并写成y23x2（x0）。 （3）解法一中参数的合理选取使得解题中避免了斜率存在与否的分类讨论。 （4）本题的轨迹方程的限制范围有以下几条解决途径。 第一种从特殊位置考虑： 当MNx轴时，P点坐标为（1，0） 第二种从解方程角度考虑 又MNx轴时，x1 例7. 过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。 解法一：设点M的坐标为（x，y） M为线段AB的中点 A的坐标为（2x，0），B的坐标为（0，2y） l1l2，且l1、l2过点P（2，4） 当x1时，A、B的坐标分别为（2，0）、（0，4） 线段AB的中点坐标是（1，2），它满足方程x2y50。 综上所述，点M的轨迹方程是x2y50。 解法二：设M的坐标为（x，y），则 A、B两点的坐标分别是（2x，0）、（0，2y） 连接PM 解法三： O、A、P、B四点共圆，且该圆的圆心为M 点M的轨迹为线段OP的中垂线 小结：在平面直角坐标系中，遇到垂直问题，常利用斜率之积等于-1解题，但须注意斜率是否存在，即往往需要讨论，如解法一，求轨迹方程有时利用平面几何知识更为方便快捷。 例8. 在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程。 解： M（x，y）是直线PA、QB的交点 x、y是由、组成的方程组的解，由、消去参数t，得： 经验证，点（-2，-4）和（0，-4）均满足方程。 小结：坐标，从而得直线PA、QB的方程，而M是这两直线的交点，消去参数即得交点的轨迹方程。【模拟试题】 1. 已知线段AB的长为10，动点P到A、B的距离平方和为122，求动点P的轨迹方程。 2. 某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产不少于15 t。已知生产甲产品1 t需煤5 t、电力4千瓦、劳力3个；生产乙产品1 t需煤6 t、电力5千瓦、劳力10个；甲产品每1 t利润7万元，乙产品每1 t利润12万元，但每天用煤不超过300 t，电力不超过200千瓦，劳力只有300个，问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大。 3. 某厂生产A与B两种产品，每公斤的产值分别为600元与400元。又知每生产1公斤A产品需要电力2千瓦、煤4吨；而生产1公斤B产品需要电力3千瓦、煤2吨。但该厂的电力供应不得超过100千瓦，煤最多只有120吨。问如何安排生产计划以取得最大产值。 4. 张明同学到某汽车运输队调查，得知此运输队有8辆载重量为6 t的A型卡车与6辆载重量为10 t的B型卡车，有10名驾驶员。此车队承包了每天至少搬运720 t沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车16次，B型卡车12次。每辆卡车每天往返的成本费为A型车240元，B型车378元。根据张明同学的调查写出实习报告，并回答每天派出A型车与B型车各多少辆运输队所花的成本最低。 5. 已知直线，P为上的动点，O为坐标原点，点Q分线段OP为1：2两部分，则点Q的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面上有两定点A、B，平面上一动点M到A、B两点距离之比为2：1，求动点M的轨迹方程。 7. 已知中BC边上的高的长为3，求ABC的垂心H的轨迹方程。 8. 过点P（6，8）作互相垂直的直线PA、PB，分别交x轴正向于A，交y轴正向于B，求线段AB中点的轨迹。 9. 在ABC中，已知顶点A（1，1），B（3，6）且ABC的面积等于3，求顶点C的轨迹方程。参考答案http:/www.DearEDU.com 1. 分析：直译法。 解：建立直角坐标系，使AB在x轴上，原点为AB的中点，则 设动点为，则由，得： 化简得： 注意：求动点轨迹方程时，坐标系的选取力求“对称”，动点要具有“任意性”。 2. 解：设每天生产甲、乙两种产品各x t、y t，利润总额为z万元 则 且，作出不等式组的可行域（图略） 由 即P（20，24） 当直线向上平移到过P点，即生产甲、乙两种产品各20 t、24 t时，利润总额最大为428万元。 3. 解：设生产A、B两种产品分别为x公斤、y公斤，总产值z元，则 作出不等式组表示的平面区域 由得： 取点M（20，20） 作直线的平行线，当经过点M时，z的值最大，最大值为20000元。 答：安排生产A产品20公斤、B产品20公斤能取得最大产值。 4. 解：设每天出动A型车x辆、B型车y辆，运输队所花的成本为z元，则： ，且x，y为整数 以上约束条件可简化成 作出可行域如下图： 在可行域内的整点中，点（8，0）使取最小值 最小值是 答：每天派出A型车8辆，B型车不派，运输队所花的成本最低。 5. A 解析：设点Q的坐标为（x，y），点P的坐标为（） Q分线段OP为1：2 点P在直线上， 把代入上式并化简，得： 为所求轨迹方程 6. 解：取直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如下图所示） 则 由题知， 化简整理得： 此为动点M的轨迹方程。 7. 解：