离心率地求法总结材料[精].doc

离心率地求法总结材料精 导读：实用文档圆锥曲线中的离心率问题离心率两大考点：求值、求范围求值:1. 利用 a 与 c 的关系式（或齐次式） 2. 几何法 3. 与其它知识点结合求范围:1. 利用圆锥曲线相关性质建立 a、c 不等关离心率的求法(解析版).pdf实用文档圆锥曲线中的离心率问题离心率两大考点：求值、求范围求值:1. 利用 a 与 c 的关系式（或齐次式） 2. 几何法 3. 与其它知识点结合求范围:1. 利用圆锥曲线相关性质建立 a、c 不等关系求解. 2. 运用数形结合建立 a、c 不等关系求解 3. 利用曲线的范围，建立不等关系 4. 运用函数思想求解离心率 5. 运用判别式建立不等关系求解离心率一、求离心率的值1. 利用 a 与 c 的关系式（或齐次式）题 1：(成都市 2010 第二次诊断性检测)已知椭圆的一个焦点为 F，若椭圆上存在点 P，满足 以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF 相切于线段 PF 的中点，则该椭圆的离心率为 题 2：已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为 60，则双曲线 C 的离心率为62实用文档题3：设双曲线x a2 2y2 b21(a0，b0)的渐近线与抛物线yx21相切，则该双曲线的离心率等于（ ）（A） 3 （B）2 （C） 5（D） 6解：由题双曲线x2 a2 y2 b21(a0，b0) 的一条渐近线方程为y=bx a，代入抛物线方程整 理 得 ax2 - bx + a = 0 ， 因 渐 近 线 与 抛 物 线 相 切 ， 所 以 b2 - 4a 2 = 0 ， 即c 2 = 5a 2 e = 5 ，故选择 C。题 4：(2009 浙江理)过双曲线 x2 a2-y2 b2= 1(a 0,b 0) 的右顶点 A 作斜率为-1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若uuur AB=1uuur BC，则双曲线的离心率是（）2（A） 2（B） 3（C） 5（D） 102. 几何法题1： 以椭圆的右焦点F，为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M，若直线MFl (Fl为左焦点)是圆F2的切线，M是切点，则椭圆的离心率是MF1 = 1, F1F2 = 2, MF1 = 3,e PF2 | 故选 D= 2c = 1 = 2 -12 2c + 2c 2 +13. 与其它知识点结合题1：已知M为椭圆上一点，Fl，F2是其两个焦点，且MFlF2= 2 a ，MF2Fl= a ( a 0)，则椭圆的离心率为()(A)12sin a (B)lsin 2 a (C)1-cos2 a (D)2cos a -1实用文档题2：已知P为双曲线右支上一点，Fl、F2是其左、右两焦点，且PFlF2= 15，PF2Fl=75，则双曲线的离心率为2练习：.1.设双曲线 x2 - y2 = 1(0 实用文档5.(07全国)设F1、F2分别是双曲线x2 a2-y2 b2= 1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF2= 90o,且 | AF1 |= 3 | AF2 |,则双曲线的离心率为（ B ）A. 5 2B. 10 2C. 15 2D. 5二、求离心率的取值范围1. 利用圆锥曲线相关性质建立 a、c 不等关系求解.题1：（2008福建）双曲线x2 a2=y2 b2= 1（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,3)B. (1, 3C.(3,+ )D.3, +)分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应 想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？解析：|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=|PF2|= 2a ，|PF2| c - a 即 2a c - a 3a c 所以双曲线离心率的取值范围为10, b 0) 的左，右焦点分别为 F1, F2 ,点P在双曲线的右支上，且| PF1 |= 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为：()4A35B3C27D3|PF1|=4PF2|,|PF1|-|PF2|=3|PF2|= 2a ，|PF2| c - a 即 2 a c - a 5 a c33所以双曲线离心率的取值范围为1 0,b 0) 的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若 PF1 2 的最小值为 8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（）PF2A (1, 2 B (1,3 C2,3 D3, +)解析PF1 2 = (2a + PF2 )2 =PF2PF24a2 PF2+ PF2 + 4a 24a2 + 4a = 8a ，欲使最小值为 8a ，需右支上存在一点 P，使 PF2 = 2a ，而 PF2 c - a 即 2a c - a 所以1b0) 的左右焦点分别为 F1、F2，如果椭圆上存在点 P，使 ? F1PF2 90o，求离心率 e 的取值范围。解：设因为，所以将这个方程与椭圆方程联立，消去 y，可解得题2：椭圆 G： x2 a2+y2 b2= 1(ab0) 的两焦点为 F1(-c, 0), F2 (c, 0) ，椭圆上存在点 M使uuuuv uuuuv F1M gF2M = 0 . 求椭圆离心率 e 的取值范围；uuuuv uuuuv 解析 设 M (x, y), F1M F2M = 0 x2 + y2 = c2 将y2=b2-b2 a2x2 代入得x2=a2-a2b2 2Q 0 x2 a2 求得 2 e b 0) 中x a ，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.实用文档3. 运用数形结合建立 a、c 不等关系求解题1：（06福建）已知双曲线x2 a2-y2 b2= 1(a0, b 0) 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A） (1, 2（B） (1, 2)（C）2, +)（D） (2, +)解析 欲使过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 b ，b3 ，即 b 3a 即 c2 - a2 3a2 c2 4a2aa即 e 2 故选 C.题2：直线L过双曲线x2 a2-y2 b2= 1(a 0,b0) 的右焦点，斜率k=2，若L 与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。如图 1，若 右支上，则 L 与双曲线只有一个交点；若，则 L 与双曲线的两交点均在题3：已知F1、F2分别是双曲线x2 a2-y2 b2= 1(a 0,b 0) 的左、右焦点，过F1 且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A、B 两点。若 ABF2 是锐角三角形，求双曲线的离心率的取 值范围。解：如图 2，因为 ABF2 是等腰三角形，所以只要AF2B 是锐 角即可，即AF2F1则实用文档4. 运用函数思想求解离心率题 1：（08全国卷）设 a 1 ，则双曲线x2 a2-y2 (a +1)2= 1的离心率 e 的取值范围是A ( 2,2) B. ( 2, 5) C. (2,5) D. (2, 5)解析：由题意可知 e = 1+ ( a +1)2 = 1+ (1+ 1 )2 a 1 1 1+ 1 2aaa 2 e 0)与直线l:x+y= 1 相交于两个不同的点A、B.求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围解析 由 C 与 l 相交于两个不同的点，故知方程组x2 a2-y2= 1, 有两个不同的实数解.消去 y 并整理得x + y = 1.（1a2）x2+2a2x2a2=0.所以1 - 4aa2 4+ 0. 8a2 (1-a2)0.解得0a2且a 1.双曲线的离心率e = 1+ a2 = 1 +1 Q 0 a 6 且e 2aa22所以双曲线的离心率取值范围是 ( 6 , 2) U( 2, +) 2实用文档练习：1。设x2 a2y2 - b2= 1(a 0,b 0) 两条渐近线含实轴的所成角为 q ，离心率 e 轾 犏 臌2，, 2，则 q的范围实用文档1组 1。分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？解析：|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=|PF2|= 2a ，|PF2| c - a 即 2a c - a 3a c 所以双曲线离心率的取值范围为1 e 3 ，故选 B.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于 c - a ）则可建立不等关系使问题迎刃而解.2，|PF1|=4PF2|,|PF1|-|PF2|=3|PF2|= 2a ，|PF2| c - a 即 2 a c - a 5 a c33所以双曲线离心率的取值范围为1 e 5 ，故选 B. 3练习：解析PF1 2 = (2a + PF2 )2 =PF2PF24a2 PF2+ PF2 + 4a 24a2 + 4a = 8a ，欲使最小值为 8a ，需右支上存在一点 P，使 PF2 = 2a ，而 PF2 c - a 即 2a c - a 所以1 e 3 .2组1。解：设因为，所以将这个方程与椭圆方程联立，消去 y，可解得uuuuv uuuuv 2，解析 设 M (x, y), F1M F2M = 0 x2 + y2 = c2 将y2=b2-b2 a2x2 代入得x2=a2-a2b2 2Q 0 x2 a2 求得 2 e b 0) 中x a ，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.3组1，解析 欲使过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 b ，b3 ，即 b 3a 即 c2 - a2 3a2 aac2 4a2 即 e 2 故选 C.2，解：如图 1，若，则 L 与双曲线只有一个交点；若，则 L