实际问题与二次函数

26.3实际问题与二次函数第1课时能根据实际问题建立二次函数的关系式，并探求出在何时刻，实际问题能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力.阅读教材P22-23，自学“探究”，清楚求实际问题中的最值与二次函数最值之间的关系.自学反馈学生独立完成后集体订正在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最_值或最_值.用二次函数的知识解决实际问题时，关键是先将实际问题抽象成数学问题，即先建立_函数关系，然后再利用_的图象及性质进行解答.二次函数y=a（x-h）2+k中，若a0，当x=_时，函数y有最_值，其值为_；若a0，当x=_时，函数y有最_，其值为_.教师点拨：遇到一般式，可先化成顶点式，再求最值；自变量有取值范围的还要考虑在范围内的最值.已知二次函数y=x2-6x+m的最小值是1，那么m的值是_.教师点拨：可根据顶点公式求.边长为10cm的正方形铁片，中间剪去一个边长是xcm的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（cm2）与x（cm）之间的函数关系是.某校运动会上，小明同学推出铅球时，铅球飞行的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系为y=x2+x+，小明同学的最好成绩是_.教师点拨：此题最好成绩是求x的最大值，而此时y=0.活动1小组讨论例1某经销店为某工厂代销一种建筑材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）.当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.解：45+7.5=60（吨）.y=（x-100）（45+7.5）.化简，得y=x2+315x-24000.y=x2+315x-24000=（x-210）2+9075.此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.我认为，小静说得不对.理由：当月利润最大时，x为210元，而月销售额W=x（45+7.5）=（x-160）2+19200当x为160元时，月销售额W最大当x为210元时，月销售额W不是最大的.小静说得不对.教师点拨：要分清利润、销售量与售价的关系；分清最大利润与最大销售额之间的区别.活动2跟踪训练（独立完成后展示学习成果）1.若抛物线y=-x2+bx+c的最高点为（-1，-3），则b=_，c=_.教师点拨：最高点即抛物线的顶点，可根据顶点公式解此题.2.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件.如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）.设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元.求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？3.如图所示，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米，现以O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；求这条抛物线的解析式；若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？教师点拨：第小题总长的大小跟点A的位置有关，设出点A的坐标，写出总长与点A之间的函数关系式，从而求最值.活动3课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈大 小 二次 二次函数 h 小 k h 大 k10 y=-x2+100 10m【合作探究】活动2跟踪训练1.-2 -4 2.y=-10x2+110x+2100（0x15）当每件商品定价55.5元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2402.5元 每件商品的售价定为60元或51元时，每个月的利润恰好为2200元；当售价在5160元时，每个月的利润不低于2200元3.M（12，0）、P（6，6） y=x2+2x 15第2课时能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案.阅读教材P24，自学“探究2”，能根据几何图形及相互关系建立二次函数关系式，体会二次函数这一模型的意义.自学反馈学生独立完成后集体订正用长8m的铝合金制成如图所示的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是_.如图，点C是线段AB上的一点，AB1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ）A.当C是AB的中点时，S最小B.当C是AB的中点时，S最大C.当C为AB的三等分点时，S最小D.当C是AB的三等分点时，S最大 第题图 第题图如图年示，某村修一条水渠，横断面是等腰梯形，底角为120，两腰与下底的和为4cm，当水渠深x为_时，横断面面积最大，最大面积是_.教师点拨：先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值.活动1小组讨论例1某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15m（图中所有线条长度之和），当x等于多少时，窗户通过的光线最多（结果精确到0.01m）？此时，窗户的面积是多少？解：由题意可知4y+122x+7x=15.化简得y=.设窗户的面积为Sm2，则Sx2+2x=-3.5x2+7.5x.a=-3.50，S有最大值.当x1.07m时，S最大4.02（m2）.即当x1.07m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积是4.02m2.教师点拨：此题较复杂，特别要注意：中间线段用x的代数式来表示时，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内.活动2跟踪训练（小组讨论解题思路共同完成并展示）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬，两腰之间有两条竖直甬道，且它们的宽度相等，设甬道的宽为x米.用含x的式子表示横向甬道的面积；当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？教师点拨：想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形.活动1小组讨论例2如图，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？解：设矩形纸较短边长为a，设DEx，则AEa-x.那么两个正方形的面积和y为y=x2+（a-x）2=2x2-2ax+a2.当x=a时，y最小2（a）2-2aa+a2=a2.即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.教师点拨：此题关键是充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解.活动2跟踪训练（独立完成后展示学习成果）如图，有一块空地，空地外有一面长10m的围墙，为了美化生活环境，准备靠墙修建一个矩形花圃，用32m长的不锈钢作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为1m的通道及在左右花圃各放一个1m宽的门，花圃的宽AD究竟应为多少m才能使花圃的面积最大？教师点拨：此题要结合函数图象求解，顶点不在取值范围内.活动3课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈m2 A ，【合作探究1】活动2跟踪训练150xm2 5m 当甬道宽度为6m时，所建花坛总费用最少，为238.44万元【合作探究2】活动2跟踪训练当x=6.25m时，面积最大为56.25m2第3课时能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题.阅读教材P25，自学“探究3”，学会根据实际问题，建立适当的坐标系和二次函数关系.自学反馈学生独立完成后集体订正遂道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y=x2+2，一辆车高3m，宽4m，该车_（填“能”或“不能”）通过该遂道.有一抛物线拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数关系式为_.活动1小组讨论例1小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加多少?解：由题意建立如图的直角坐标系：设抛物线的解析式为y=ax2.抛物线经过点A（2，-2），-24a，a=.即抛物线的解析式为y=x2.当水面下降1m时，点B的纵坐标为-3.将y=-3代入二次函数解析式y=x2，得-3=x2，x2=6，x=.此时水面宽度为2=2m.即水面下降1m时，水面宽度增加了（2-4）m.教师点拨：用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系.抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便.活动2跟踪训练（独立完成后展示学习成果）1.有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m.如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为h的函数解析式；设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少m时就会影响过往船只在桥下顺利航行.教师点拨：以桥面所在直线为x轴，以桥拱的对称轴所在直线为y轴建立坐标系.设抛物线线解析式为y=ax2，然后点B的坐标为（10，-4），即可求出解析式.1. 杂技团进行杂技表演时，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=x2+3x+1的一部分，如图.求演员弹跳离地面的最大高度；已知人梯高BC3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由.2. 某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管如图做示的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据.求该抛物线的解析式；计算所需不锈钢管的总长度.教师点拨：本题可以通过建立不