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莫比乌斯带的素材 莫比乌斯带是一种拓扑学结构 它只有一个面 表面 和一个边界 它是由德国数学家 天文学家莫比乌斯和约翰 李 斯丁在 1858 年独立发现的 这个结构可以用一个纸带旋转半圈 再把两端粘上之后轻而易举地制作出来 事实上有两种不同的 莫比乌斯带镜像 他们相互对称 如果把纸带顺时针旋转再粘 贴 就会形成一个右手性的莫比乌斯带 反之亦类似 莫比乌斯带本身具有很多奇妙的性质 如果从中间剪开一 个莫比乌斯带 不会得到两个窄的带子 而是会形成一个把纸 带的端头扭转了两次再结合的环 并不是莫比乌斯带 再把 刚刚做出那个把纸带的端头扭转了两次再结合的环从中间剪开 则变成两个环 如果你把带子的宽度分为三分 并沿着分割线 剪开的话 会得到两个环 一个是窄一些的莫比乌斯带 另一 个则是一个旋转了两次再结合的环 另外一个有趣的特性是将 纸带旋转多次再粘贴末端而产生的 比如旋转三个半圈的带子 再剪开后会形成一个三叶结 剪开带子之后再进行旋转 然后 重新粘贴则会变成数个 Paradromic 莫比乌斯的科学贡献涉及天文和数学两大领域 在数学方 面 首先是他对 19 世纪射影几何学的影响 莫比乌斯发展了射 影几何学的代数方法 他在 重心计算 1827 年 一书中 创立了代数射影几何的基本概念 齐次坐标 在同一著作中 他还揭示了对偶原理与配极之间的关系 并对交比概念给出了 完善的处理 莫比乌斯带 1858 年 他较早对拓扑学作深入 的探讨并给出恰当的提法 此外 莫比乌斯对球面三角等其它 数学分支也有重要贡献 证明方法 剪开莫比乌斯带 拿一张白的长纸条 把一面涂成黑色 然后把其中一端翻一 个身 如同上页图那样粘成一个莫比乌斯带 现在像图中那样 用剪刀沿纸带的中央把它剪开 你就会惊奇地发现 纸带不仅 没有一分为二 反而像图中那样剪出一个两倍长的纸圈 有趣的是 新得到的这个较长的纸圈 本身却是一个双侧曲 面 它的两条边界自身虽不打结 但却相互套在一起 为了让 读者直观地看到这一不太容易想象出来的事实 我们可以把上 述纸圈 再一次沿中线剪开 这回可真的一分为二了 得到的 是两条互相套着的纸圈 而原先的两条边界 则分别包含于两 条纸圈之中 只是每条纸圈本身并不打结罢了 莫比乌斯带还有更为奇异的特性 一些在平面上无法解决的 问题 却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决 比如在普通 空间无法实现的 手套易位问题 人左右两手的手套虽然极为 相像 但却有着本质的不同 我们不可能把左手的手套贴切地 戴到右手上去 也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来 无 论你怎么扭来转去 左手套永远是左手套 右手套也永远是右 手套 不过 倘若自你把它搬到莫比乌斯带上来 那么解决起 来就易如反掌了 在自然界有许多物体也类似于手套那样 它们本身具备完 全相像的对称部分 但一个是左手系的 另一个是右手系的 它们之间有着极大的不同 莫比乌斯带 在生活和生产中已经有了一些用途 例如 用皮带传送的动力机械的皮带就可以做成 莫比乌斯带 状 这样皮带就不会只磨损一面了 如果把录音机的磁带做成 莫 比乌斯带 状 就不存在正反两面的问题了 磁带就只有一个 面了 莫比乌斯带是一种拓扑图形 什么是拓扑呢 拓扑所研究 的是几何图形的一些性质 它们在图形被弯曲 拉大 缩小或 任意的变形下保持不变 只要在变形过程中不使原来不同的点 重合为同一个点 又不产生新点 换句话说 这种变换的条件 是 在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的 关系 并且邻近的点还是邻近的点 这样的变换叫做拓扑变换 拓扑有一个形象说法 橡皮几何学 因为如果图形都是用橡 皮做成的 就能把许多图形进行拓扑变换 例如一个橡皮圈能 变形成一个圆圈或一个方圈 但是一个橡皮圈不能由拓扑变换 成为一个阿拉伯数字 8 因为不把圈上的两个点重合在一起 圈就不会变成 8 莫比乌斯带 正好满足了上述要求 和莫比乌斯带非常近似的一个几何学物体叫做克莱因瓶 一个克莱因瓶可以用粘贴两个莫比乌斯带的方法制作出来 但 是如果物体不进行自我交叉 这个步骤在三维空间内是不可能 完成的 另外一个相近的结构是真投影屏面 如果在真投影屏面上 有一个洞的话 从左侧看就会形成一个莫比乌斯带 或者把莫 比乌斯带的边界进行有限定义 就会形成一个真投影屏面 更 形象地说法是重建莫比乌斯带的边缘形成一个普通的环 有一 种普遍的误解认为如果不进行平面的自我交叉就无法在三维空 间内形成一个有普通环边缘的莫比乌斯带 事实上是可能的 方法是这样的 定义 C 为 xy 面上的单位圆 现在连接 C 上面 的对拓点 比如 和 当 在 0 到 2 之间运动的时候 在 xy 面上方做这条线的反余切 其他情况则在面下做反余切 莫比乌斯圈在数学中的应用 莫比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑 艺术 工业生产 中 运用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路 避免车 辆行人的拥堵 一 1979 年 美国著名轮胎公司百路驰创造性地把传送带 制成麦比乌斯圈形状 这样一来 整条传送带环面各处均匀地 承受磨损 避免了普通传送带单面受损的情况 使得其寿命延 长了整整一倍 二 针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下一个一个的 墨点 为充分利用色带的全部表面 色带也常被设计成麦比乌 斯圈 三 在美国匹兹堡著名肯尼森林游乐园里 就有一部 加 强版 的云霄飞车 它的轨道是一个麦比乌斯圈