2020届东莞市高三期末调研测试数学（理）试题（解析版）

2020届广东省东莞市高三期末调研测试数学（理）试题一、单选题1已知集合，则集合（ ）ABCD【答案】A【解析】解一元二次不等式求得集合，解一元一次不等式求得集合，由此求得【详解】由，解得，所以.，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2己知，其中为虚数单位，则（ ）AB1C3D【答案】D【解析】整理等式为,等号左右两边实部、虚部对应相等,进而求得【详解】由题,所以,则,故选：D【点睛】本题考查相等的复数,考查复数的实部与虚部的定义,属于基础题3已知向量,满足，,且与的夹角为，则（ ）A1B3CD【答案】A【解析】对作平方处理,整理后即可求得【详解】由题,解得,故选：A【点睛】本题考查向量的模,考查运算能力4已知数列为等差数列，为其前 项和，则（ ）ABCD【答案】B【解析】利用等差数列的性质求出的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值.【详解】由等差数列的性质可得，.故选：B.【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.5某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（ ）整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从事互联网行业者岗位分布图 A互联网行业从业人员中90后占一半以上B互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%【答案】B【解析】根据行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图中的数据进行分析,即可判断选项【详解】对于选项A,由饼状图可得90后占,故A正确；对于选项B,互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总体的,故B错误；对于选项C,互联网行业中从事设计岗位的人数90后占总体的,故C正确；对于选项D,互联网行业中从事市场岗位的90后占总体的,故D正确,故选：B【点睛】本题考查饼状图的识别,考查数据的处理,属于基础题6函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）ABCD【答案】D【解析】先根据函数的奇偶性排除A、C,再由时,的趋向性判断选项即可【详解】由题,的定义域为,因为,所以是偶函数,图象关于轴对称,故排除A、C；又因为,则当时,所以,故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象7已知函数是定义在上的奇函数，当时，那么的值为（ ）AB-3C3D【答案】D【解析】利用奇函数的性质可得,代入解析式求解即可【详解】由题,因为是定义在上的奇函数,所以,故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用,考查对数的运算8如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用间接法,先找到不含上珠的概率,进而其对立事件概率即为所求【详解】由题,则,故选：A【点睛】本题考查概率的计算,考查间接法求概率,属于基础题9已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由条件利用的图象变换规律求得平移后的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论.【详解】解：将函数图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，令，得，则的最小值为，故选：C.【点睛】本题主要考查的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题.10设是给定的平面，是不在内的任意两点有下列四个命题：在内存在直线与直线异面；在内存在直线与直线相交；存在过直线的平面与垂直；存在过直线的平面与平行其中，一定正确的是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据直线和平面的位置关系,找到反例,即可判断选项【详解】由题,对于,当直线平面时,不成立；对于,当直线平面时,不成立；对于,根据直线与平面的位置关系,显然成立,故选：B【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的判定,熟练掌握直线与平面位置关系的判定定理与定义及推论是解题关键11已知圆的半径是，点是圆内部一点（不包括边界），点是圆圆周上一点，且，则的最小值为（ ）AB12CD13【答案】C【解析】由可得,则当时, ,再根据,则将代入求解即可【详解】由题,因为,所以,则当,即时,因为,所以当取得最小值时,故选：C【点睛】本题考查向量的数量积的应用,考查向量的模的应用,考查运算能力12已知球是正四面体的外接球，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ）ABCD【答案】A【解析】由题可得,当截面时,截面面积最小,设正四面体棱长为,先求得正四面体的外接球半径为,再求得,进而求得截面圆的半径,从而得到截面圆面积【详解】由题,设平面为过的球的截面,则当平面时,截面积最小,设截面半径为,球的半径为,则,因为正四面体棱长为,设过点垂直于平面的直线交平面于点,则,令,则,在中,即,则,在中,即,则,解得,则,在中,因为点在线段上,设中点为,则,所以,在中,即,所以,因为,所以,所以截面面积为,故选：A【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题,考查空间想象能力与转化思想,考查运算能力二、填空题13“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1右图为研究角谷定理的一个程序框图若输入的值为6，则输出的值为_【答案】8【解析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦满足条件就退出循环,执行语句输出,从而到结论【详解】当时,是偶数,则,；当时,不是偶数,则,；当时,是偶数,则,；当时,不是偶数,则,；当时,是偶数,则,；当时,是偶数,则,；当时,是偶数,则,；当时,是偶数,则,故答案为：8【点睛】本题考查循环结构,其中根据已知的程序流程图分析出程序的功能是解答本题的关键14已知，则_【答案】【解析】利用转化为已知角的函数值求解即可.【详解】解：，故答案为：.【点睛】本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，关键是要找到已知角和未知角之间的关系，将未知角用已知角表示出来，是基础题.15若展开式中的系数为13，则展开式中各项系数和为_（用数字作答）【答案】64【解析】先根据的系数为13求得,再令即可求得展开式中各项系数和【详解】由题,的系数为,则,所以原式为,令,则展开式中各项系数和为,故答案为：64【点睛】本题考查二项式定理的应用,考查利用赋值法求二项式展开式各项系数和16已知函数（其中为自然对数的底数），则不等式的解集为_【答案】【解析】先分别求得与的分段函数形式,再讨论与的情况,根据函数单调性求解即可【详解】由题,欲解,即,当时,单调递增,在单调递减,在上单调递减,则,所以满足,当时,单调递减,在上递减,在上递增,则另,即,解得,所以当时,综上,故答案为：【点睛】本题考查利用函数单调性解不等式,考查分类讨论思想,考查指数型函数的应用三、解答题17已知数列中，且（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前项和【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）根据递推公式可得,即可证明；（2）由（1）,进而利用分组法求得数列的和即可【详解】（1）证明：,为等比数列,首项为,公比为3（2）解：由（1）得,【点睛】本题考查由递推公式证明等比数列,考查数列求和,考查运算能力18如图，在中，内角所对的边分别为，且（1）求角A的大小；（2）若，边上的中线的长为7，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理化边为角可得,则,进而求得角即可；（2）由（1）可得,则,设,则,在中,根据余弦定理得,可得,进而求得的面积即可【详解】（1）因为,根据正弦定理,得,即,所以,整理得,因为,所以,又因为,则（2）由（1）知,又因为,所以,所以,因为是中点,设,则,在中,根据余弦定理,得,即 即,解得,故的面积【点睛】本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力19如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心点，点在棱上，且的面积为1（1）若点是的中点，求证：平面平面；（2）在棱上是否存在一点使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在点符合题意，点为棱靠近端点的三等分点【解析】（1）利用等腰三角形“三线合一”证明平面,进而证明平面平面；（2）分别以为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,利用平面的法向量求二面角,进而计算得到即可【详解】（1）点在底面上的射影为点,平面,四边形是边长为的正方形,三角形的面积为1,即,点是的中点,同理可得,又因为,平面,平面,平面,平面平面（2）存在,如图,连接,易得两两互相垂直,分别以为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则,假设存在点使得二面角的余弦值为,不妨设,点在棱上,又,设平面的法向量为,则,令,可得,平面的一个法向量为,又平面的一个法向量为,二面角的余弦值为,即,解得或（舍）所以存在点符合题意,点为棱靠近端点的三等分点【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查利用空间向量处理已知二面角求参问题,考查运算能力20东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费上述标准不足一小时的按一小时计费为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：（小时）频数（车次）10010020020035050以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的列联表：男女合计不超过6小时306小时以上20合计100完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？（2）（i）表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求的概率分布列及期望；（ii）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，表示3辆车中停车费用大于的车辆数，求的概率参考公式：，其中0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.024【答案】（1）列联表见解析，没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关；（2）（i）分布列见解析，；（ii）【解析】（1）先根据频数分布表填写列联表,再将数据代入公式求解即可；（2）（i）的可取值为5,8,11,15,19,30,根据频数分布表分别求得概率,进而得到分布列,并求得期望；（ii）先求得,则,进而求得概率即可【详解】（1）由题,不超过6小时的频率为,则100辆车中有40辆不超过6小时,60辆超过6小时, 则列联表如下：男女合计不超过6小时1030406小时以上204060合计3070100根据上表数据代入公式可得所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关（2）（i）由题意知：的可取值为5,8,11,15,19,30,则所以的分布列为：5811151930（ii）由题意得,所以,所以【点睛】本题考查独立性检验的应用,考查二项分布,考查离散型分布列及期望,考查数据处理能力与运算能力21已知函数（其中为自然对数的底数）（1）求的单调性；（2）若，对于任意，是否存在与有关的正常数，使得成立？如果存在，求出一个符合条件的；否则说明理由【答案】（1）当时,在上的单调递增；当时,在上单调递减,在上单调递增；（2）存在与有关的正常数【解析】（1）求导可得,分别讨论,时的情况,进而判断单调性即可；（2）存在与有关的正常数使得,即,则,设,满足即可,利用导数可得,再设,利用导函数判断函数性质即可求解【详解】（1）,当时,恒成立,所以在上的单调递增；当时,所以在上的单调递增；当时,令,得,当时,单调递减；当时,单调递增；综上所述：当时,在上的单调递增；当时,在上单调递减,在上单调递增（2）存在,当时,设存在与有关的正常数使得,即,需求一个,使成立,只要求出的最小值,满足,在上单调递减,在上单调递增,只需证明在内成立即可,令,在单调递增,所以,故存在与有关的正常数使成立【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用导函数处理函数的恒成立问题,考查运算能力与转化思想22在直角坐标系中，圆的普通方程为在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为（1）写出圆的参数方程和直线的直角坐标方程；（2）设点在上，点Q在上，求的最小值及此时点的直角坐标【答案】（1）圆的参数方程：，直线：；（2），此时点的坐标为【解析】（1）整理圆的方程为,即可写出参数方程,利用将直线方程写为直角坐标方程即可；（2）法一：利用参